09 t9 hsg tỉnh bình dương 22 23

Tổng Hợp Bùi Hoàng Nam CLB Toán THCS Zalo 0989 15 2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022 2023 Tỉnh Bình Dương ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS CẤP TỈNH Năm học 2022 2023 Môn t[.]

Trang 1

Tỉnh Bình Dương

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS CẤP TỈNH Năm học 2022-2023

Mơn thi: TỐN

Ngày thi : 18/3/2023

Thời gian: 150 phút (khơng tính thời gian phát đề)

Câu 1: (4 điểm) Cho biểu thức         21 1 1xx xxx xxAxx xxxx với x0,x1.1 Chứng minh rằng : A4

2 Với giá trị nào của x thì biểu thức 6

BA nhận giá trị nguyên Câu 2: (4 điểm) 1 Giải phương trình: 24 97728xxx với x0 2 Giải hệ phương trình:     3333436 238 3xxyyyzzzxCâu 3: (6 điểm)

1 Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3, chứng minh rằng p2  1 24

2 Cho A là tập hợp gồm 6 phần tử bất kỳ của tập hợp X x x N:  ,0x14 Chứng minh rằng tồn tại hai tập con B B1, 2 của tập hợp A (B B1, 2 khác nhau và khác rỗng) sao cho tổng các phần tử của tập B1 bằng tổng các phần tử của tập B2

3 Xét các số thực x y z, , không âm và khác 1 thỏa mãn xy z 1 Tìm giá trị nhỏ nhất

của biểu thức        1 14 5Pxyzxyzyxz Câu 4: (6 điểm)

1 Cho hình thang ABCD AB CD AB CD(//,) Gọi E là giao điểm của AD và BC, F là giao điểm của AC và BD Chứng minh rằng đường thẳng EF đi qua trung điểm của hai đáy

,

AB CD

2 Cho tam giác nhọn ABC D E F, , lần lượt là các điểm trên các cạnh BC CA AB,, Nối AD,

,.

BE CF AD cắt CF và BE lần lượt tại G và I, CF cắt BE lần lượt tại H Chứng minh rằng nếu diện tích của bốn tam giác AFG IHG BID CEH,,, bằng nhau thì diện tích của ba tứ giác

,,

AGHE BIGF CHID cũng bằng nhau

HẾT -

Thí sinh khơng được mang máy tính và tài liệu Cán bộ coi thi khơng giải thích gì thêm

Trang 2

HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1: (4 điểm) Cho biểu thức         2 1 1 1xx xxx xxAxx xxxx với x0,x11 Chứng minh rằng : A4

2 Với giá trị nào của x thì biểu thức 6

BA nhận giá trị nguyên Hướng dẫn 1 Với x0,x1, ta có:        2 1 1 1xx xxx xxAxx xxxx            1 1 1 1 11 1 1x xxxxxxxxxxxxx         1 1 1 11 1xx xxxxxxxxx         1 1 1 11xxxxxxxxxx   xx1x x1 x1xxx  2 1  1 2xxxxx

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho hai số không âm x, 1

x ta được A  2 2 A4.

Dấu “=” xảy ra khi  1  1

xx

x (không thỏa mãn điều kiện)

Trang 3

Ta có  302B và B  nên B1 suy ra  2 1 6 xx 641 0Axxx (1) Đặt t x, ta được phương trình ẩn t: t24t 1 0 (2)

Giải phương trình (2) ta được t1 2 3 (nhận) ; t1 2 3 (nhận) Với t1 2 3, ta có x 23x 7 4 3 (nhận)

Với t2 2 3, ta có x 23x 7 4 3 (nhận)

Thử lại ta thấy x7 4 3; 7 4 3   thỏa mãn điều kiện bài toán

Vậy x7 4 3; 7 4 3   thì biểu thức  6BA nhận giá trị nguyên Câu 2: (4 điểm) 1 Giải phương trình: 24 97728xxx với x02 Giải hệ phương trình:        3333436 238 3xxyyyzzzxHướng dẫn 1 Đặt       49112822xtt4 9 2 128 4xtt 2 7 4 9 2  17 7 7 7 (1)4 4 2xttttxTheo đề bài 24 97728xxx suy ra 2  17 7 (2)2xxt

Trang 4

    6501465014xxTa thấy  65014

x không thỏa mãn điều kiện

 

650

14

x thỏa mãn điều kiện

Thử lại ta thấy   6 5014

x thỏa mãn phương trình đã cho

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm: 6 5014S     .2.    23323333 21223432236 2324 2122238 3326 3 1 2 3 2xxyxxyxxyyyzyyzyyzzzxzzxzzx                       

Nhân theo vế 3 phương trình trên ta có:

x1 2 y1 2 z1 2 z2y2x2 6y2z2x2     22222211160zyxxyzx 2y 2z 2 0 do x 1 2 y 1 2 z 12 6 0          với mọi x, y, z 202020xyz    222xyz   

Thử lại ta thấy x y z; ;   2;2;2 thỏa mãn hệ phương trình Vậy hệ phương trình có nghiệm: x y z; ;   2;2;2

Câu 3: (6 điểm)

1 Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3, chứng minh rằng p2  1 24

2 Cho A là tập hợp gồm 6 phần tử bất kỳ của tập hợp X x x N:  ,0x14 Chứng minh rằng tồn tại hai tập con B B1, 2 của tập hợp A (B B1, 2 khác nhau và khác rỗng) sao cho tổng

Trang 5

3 Xét các số thực x y z, , không âm và khác 1 thỏa mãn xy z 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức        1 14 5Pxyzxyzyxz Hướng dẫn 1 Ta có p2  1 p1p1

Do p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p là số tự nhiên lẻ do đó p1,p1 là hai số chẵn liên tiếp

nên tồn tại một số chia hết cho 2 và một số chia hết cho 4 Suy ra p1p1 chia hết cho 8 Mặt khác trong ba số nguyên liên tiếp p1, ,p p1có một số chia hết cho 3 mà p 3 suy ra một trong hai số p1,p1 chia hết cho 3 Suy ra p1p1 chia hết cho 3

Ta có 1 1 81 1 3 1 1 248;3 1pppppp       Vậy p2 1 24 (đpcm)

2 Xét các tập hợp con không quá hai phần tử của tập hợp A

Giả sử các tổng của các phần tử của tập hợp con đó khác nhau Do đó các phần tử của tập hợp A đều khác 0 Giả sử sáu phần tử của tập hợp A là a1a2 a3a4  a5 a6

Khi đó    1 1, 212 2aaaa     31, 32, 3123 4aa aa aaaaTương tự, ta có a47;a512;a6 22Suy ra vơ lí vì ai0;1;2; ;14

Trang 6

        2244 1 11Pzzzz                22224 44 1 1 2 4 1 11 1Pzzzzzzzz P 8 z 1 z8

Dấu “=” xảy ra khi  1 , 02

xyz

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 8 khi  1 , 02

xyz

Câu 4: (6 điểm)

1 Cho hình thang ABCD AB CD AB CD(//,) Gọi E là giao điểm của AD và BC, F là giao điểm của AC và BD Chứng minh rằng đường thẳng EF đi qua trung điểm của hai đáy

,

AB CD

2 Cho tam giác nhọn ABC D E F, , lần lượt là các điểm trên các cạnh BC CA AB,, Nối AD,

,.

BE CF AD cắt CF và BE lần lượt tại G và I, CF cắt BE lần lượt tại H Chứng minh rằng nếu diện tích của bốn tam giác AFG IHG BID CEH,,, bằng nhau thì diện tích của ba tứ giác

,,

AGHE BIGF CHID cũng bằng nhau

Trang 7

Gọi Mlà trung điểm của CD và Nlà trung điểm của AB+ Xét CDF có CD AB// CDF∽ABF   2   2CDDFDMDFDMDFABBFBNBFBNBFLại có MDFNBF (so le trong, AB CD// ) DMF∽BNF c g c( ) MFDNFB (hai góc tương ứng)     MFD DFN NFB DFN DFB180oMFN 180oSuy ra ba điểm M F N, , thẳng hàng (1)+ Xét ABE có CD AB// DCE∽ABE   2   2DCDEDMDEDMDEABAEANAEANAE

Lại có EDMEAN (đồng vị, AB CD// ) DME∽ANE c g c( )



DEMAEN (hai góc tương ứng)

Suy ra ba điểm E M N, , thẳng hàng (2)

Từ (1) và (2) suy ra bốn điểm E F M N, , , thẳng hàng

Suy ra đường thẳng EF đi qua trung điểm của hai đáy AB CD, (đpcm)

Trang 8

Ta có SIHGSEHC SGIC SEIC

Suy ra hai đường cao kẻ từ G và E đến IC song song và bằng nhau EG CI//

 ICEG là hình thang

Theo câu 4 ý 1 suy ra AH đi qua trung điểm K của EG SAHG SAEH

Lại có SAGF SCEH

SAHF SAHC

HF HC

SBHFSBCH

Mà SIHGSBID

SBIGFSCHID (3)

Chứng minh tương tự ta có SCHID SAGHE (4) Từ (3) và (4) suy ra SAGHE SBIGF SCHID