12 hsg 9 tỉnh cà mau 22 23

Tổng Hợp Bùi Hoàng Nam CLB Toán THCS Zalo 0989 15 2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022 2023 CLB Toán THCS Zalo 0989 15 2268  Trang 1  Tỉnh Cà Mau ĐỀ THI Câu 1 (3,0 điểm) Cho biểu thức[.]

Trang 1

Tỉnh Cà MauĐỀ THI

Câu 1.(3,0 điểm) Cho biểu thức 1 3 2 13

3 2 5 6xxxxAxxxx         .a) Rút gọn biểu thức A

b) Tính giá trị của biểu thức A khi x  3 523 52

Câu 2.(3,0 điểm) a) Giải phương trình: 3x210x5x23x x2 b) Giải hệ phương trình: 22222 2 4 13 2 6 4 5xyyxxyxy       .Câu 3.(3,0 điểm)

Tại lễ tuyên dương học sinh đạt giải cao trong kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh vừa qua, Ban tổ chức đã trao thưởng với tổng số tiền là 3690000 đồng cho 16 giải Biết rằng mỗi giải nhất được thưởng 360000 đồng; mỗi giải nhì được thưởng 270000 đồng; mỗi giải ba được thưởng 180000 đồng, trong đó số giải nhất nhỏ hơn số giải nhì, tổng số giải nhất và giải nhì nhỏ hơn số giải ba Hỏi Ban tổ chức đã trao thưởng bao nhiêu giải nhất, giải nhì, giải ba?

Câu 4.(3,0 điểm)

Cho Parabol ( ):P y x 2 và đường thẳng ( ) :dy 4(m x2) (với m là tham số) a) Khi 1

2

m   vẽ (P) và ( )d trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy và tìm tọa độ các giao điểm của chúng

b) Chứng tỏ rằng, với mọi m thì đường thẳng (d) ln cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt

A và B Với giá trị nào của m thì độ dài đoạn thẳng AB nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ nhất đó

Câu 5.(3,0 điểm)

a) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:

2211xxAx  b) Tìm số nguyên b để 22322b  là số chính phương.

Câu 6.(6,0 điểm) Cho đường trịn (O) hai đường kính AH và DM khơng vng góc với nhau Tiếp tuyến của đường trịn (O) tại H cắt tia AD và tia AM lần lượt ở B và C

a) Chứng minh rằng tứ giác BCMD nội tiếp đường trịn

b) Ðường trịn tâm I có đường kính BC cắt đường trịn tâm O ở E ( E khác A ) Gọi P

là giao điểm của DM và BC.Chứng minh rằng điểm O là trực tâm của tam giác AIP.

c) Chứng minh rằng ba điểm A E P, , thẳng hàng

9

Trang 2

d) Gọi R S K, , lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng H C H B H O, , Chứng minh rằng RK

vng góc với SA.

Trang 3

HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 1.(3,0 điểm) Cho biểu thức 1 3 2 13

3 2 5 6xxxxAxxxx         .a) Rút gọn biểu thức A

b) Tính giá trị của biểu thức A khi x  3 523 52

Trang 4

223(x 3 ) 5xx 3x 2 0.     23a 5a 2 0   a2 3a10Vì ax23x03a 1 0 2 0 2aa    232xx (điều kiện 23 0x  x ) 23 4xx  234 01;4xxxx     b) 22222 2 4 13 2 6 4 5xyyxxyxy       222224221 4363 242 6xxyyxxyy    22222 1 1 43 1 2 1 6xyxy        2227 1 142 1 1 4xxy      221 2 1 211 0xxyy             Câu 3.(3,0 điểm)

Tại lễ tuyên dương học sinh đạt giải cao trong kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh vừa qua, Ban tổ chức đã trao thưởng với tổng số tiền là 3690000 đồng cho 16 giải Biết rằng mỗi giải nhất được thưởng 360000 đồng; mỗi giải nhì được thưởng 270000 đồng; mỗi giải ba được thưởng 180000 đồng, trong đó số giải nhất nhỏ hơn số giải nhì, tổng số giải nhất và giải nhì nhỏ hơn số giải ba Hỏi Ban tổ chức đã trao thưởng bao nhiêu giải nhất, giải nhì, giải ba?

Lời giải

Gọi số giải nhất, nhì, ba ban tổ chức trao lần lượt là:  *

, , , ,

x y z x y x  

Theo bài ra, ta có: x yz16 (1)

360 000x270 000y180 000z3 690 000 (2) ;xy x yz (3) Từ (2) 4x3y2z41 mà xyz162x y9 Mà x y92x y3x x3 Mà x* x 1;2

- Với x 1 y7 z8 (không thoả mãn (3)) Với x2 y5 z9 (không thoả mãn (3)) Vậy số giải nhất, nhì, ba lần lượt là: 2; 5; 9

Câu 4.(3,0 điểm)

Cho Parabol ( ):P y x 2 và đường thẳng ( ) :dy 4(m x2) (với m là tham số)

a) Khi 1

2

Trang 5

b) Chứng tỏ rằng, với mọi m thì đường thẳng ( )d luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt

A và B Với giá trị nào của m thì độ dài đoạn thẳng AB nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ nhất đó

Lời giải a Khi 12m   ta có ( ) :dy 4(m x2) 14 2 2 82 xx       

Xét phương trình hồnh độ giao điểm ta có: 2

2 8x   x22 8 0x  x   24 2 8 0x  x x  x x42x4 0x2x4024xx   

b Phương trình hoành độ giao điểm của  P và  d là:

 

2 42 2 48 0 1

xmxxmx 

Trang 6

4m2 2.8 14m2   2  2 16m 16 16m 1 16.1 16    4AB Dấu " " xảy ra m0

Vậy giá trị nhỏ nhất của AB 4 khi m 0

Câu 5.(3,0 điểm)

a) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:

2211xxAx  b) Tìm số nguyên b để 22322b  là số chính phương.Lời giải a 2222111xxAAxA xxx  A1x2 x A1 0   + Nếu A 1 x0.+ Nếu A 1, ta có: 21 4 A 1    0  12 14A      1 1 1 1 52 A 2 2 A 4      

 Giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là: 1

2 khi x  1  Giá trị lớn nhất của biểu thức A là: 5

4 khi x  23 b Nếu 2

2 4

b b  mà 2322 chia cho 4 dư 2 2

2322

b

  chia cho 4 dư 2 mà 2

2322

b  là số chính phương   (loại) b 2Nếu b 2  b2 chia 4 dư 1

Mà 2322 chia cho 4 dư 2 2

2322

b

  chia cho 4 dư 3 Mà 2

2322

b  là số chính phương b2 (loại) Vậy khơng có số ngun b thoả mãn

Câu 6.(6,0 điểm) Cho đường trịn (O) hai đường kính AH và DM khơng vng góc với nhau Tiếp tuyến của đường tròn (O) tại H cắt tia AD và tia AM lần lượt ở B và C

Trang 7

b) Ðường trịn tâm I có đường kính BC cắt đường trịn tâm O ở E ( E khác A ) Gọi P

là giao điểm của DM và BC.Chứng minh rằng điểm O là trực tâm của tam giác AIP.

c) Chứng minh rằng ba điểm A E P, , thẳng hàng

d) Gọi R S K, , lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng H C H B H O, , Chứng minh rằng RK

vng góc với SA.

Lời giải

a Ta có: ABCHAC ; AMDHAC OA OMSuy ra:  ABCAMD nên tứ giác BCMD nội tiếp

b Ta có:   0

90

OAMACH

Mà IACACH IA IC OAM;OMA

nên: OMA IAC  900nên suy ra:POAI

Mà: AOPI nên O là trực tâm IAP (1)

c Ta có: IAIE OA; OEnên IO là đường trung trực của AE, suy ra IOAE

Mà: IO AP từ (1) Suy ra A,E,P thẳng hàng

d Do S,O lần lượt là trung điểm của HB và HA nên SO//AB mà AB ACnên SO AC

Suy ra O là trực tâm tam giác SAC