Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 Học sinh giỏi 99 Tỉnh Cà Mau ĐỀ THI A Câu (3,0 điểm) Cho biểu thức x 1 x x x 13 x x x x 6 a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị biểu thức A x 5 Câu (3,0 điểm) 2 a) Giải phương trình: x 10 x 5 x x x 2 x y y 4 x 2 b) Giải hệ phương trình: 3 x y x 4 y Câu (3,0 điểm) Tại lễ tuyên dương học sinh đạt giải cao kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh vừa qua, Ban tổ chức trao thưởng với tổng số tiền 3690000 đồng cho 16 giải Biết giải thưởng 360000 đồng; giải nhì thưởng 270000 đồng; giải ba thưởng 180000 đồng, số giải nhỏ số giải nhì, tổng số giải giải nhì nhỏ số giải ba Hỏi Ban tổ chức trao thưởng giải nhất, giải nhì, giải ba? Câu (3,0 điểm) Cho Parabol m ( P) : y x đường thẳng (d ) : y 4( mx 2) (với m tham số) vẽ ( P ) (d ) mặt phẳng tọa độ Oxy tìm tọa độ giao a) Khi điểm chúng b) Chứng tỏ rằng, với m A B Với giá trị Câu đường thẳng (d ) cắt parabol ( P) hai điểm phân biệt m độ dài đoạn thẳng AB nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ (3,0 điểm) x2 x 1 A x 1 a) Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức: Câu b) Tìm số nguyên b để b 2322 số phương (6,0 điểm) Cho đường trịn (O) hai đường kính AH DM khơng vng góc với Tiếp tuyến đường tròn (O ) H cắt tia AD tia AM B C a) Chứng minh tứ giác BCMD nội tiếp đường trịn b) Ðường trịn tâm I có đường kính BC cắt đường trịn tâm O E ( E khác A ) Gọi P giao điểm DM BC Chứng minh điểm O trực tâm tam giác AIP CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 Trang Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 c) Chứng minh ba điểm A, E , P thẳng hàng d) Gọi R, S, K trung điểm đoạn thẳng HC , HB, HO Chứng minh RK vng góc với SA -Hết - CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 Trang Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 HƯỚNG DẪN GIẢI A Câu (3,0 điểm) Cho biểu thức x 1 x x x 13 x x x x 6 a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị biểu thức A x 5 Lời giải a Điều kiện: x ³ 0;x ¹ 4;x ¹ x 1 x x x 13 x 2 x x x 6 A A= A= ( ( b x = )( x +1 ) ( x + 3)( x - 3) + x + x - 13 ( x - 3)( x - 2) x- - x+ x- )( x- 3 )= x- 5+2- x3 = + - ( x +3 x - 5- ) - - 33 ( )( 5+2 ) 5- x 4 x x 3x 0 x 1 x x 0 x 0 x 1 TMDK A Thay vào ta có: 13 1 Câu (3,0 điểm) 2 a) Giải phương trình: x 10 x 5 x x x 2 x y y 4 x 2 b) Giải hệ phương trình: 3 x y x 4 y Lời giải CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 Trang Tổng Hợp: Bùi Hoàng Nam CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 a Đặt x 3x a , ta có phương trình x 10 x 5 x x x 3( x x) x x 0 3a 5a 0 a 3a 1 0 Vì a x 3x 0 3a a 0 a 2 x 3x 2 (điều kiện x x 0 ) x x 4 x 3x 0 x 1; x 2 x y y 4 x 2 b) 3 x y x 4 y 2 2 x 1 y 1 4 2 3 x 1 y 1 6 Câu 2 x x y y 4 2 3x x y y 6 2 7 x 1 14 x 1 2 2 y 1 0 2 x 1 y 1 4 x 1 y (3,0 điểm) Tại lễ tuyên dương học sinh đạt giải cao kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh vừa qua, Ban tổ chức trao thưởng với tổng số tiền 3690000 đồng cho 16 giải Biết giải thưởng 360000 đồng; giải nhì thưởng 270000 đồng; giải ba thưởng 180000 đồng, số giải nhỏ số giải nhì, tổng số giải giải nhì nhỏ số giải ba Hỏi Ban tổ chức trao thưởng giải nhất, giải nhì, giải ba? Lời giải Gọi số giải nhất, x, y , z x , y , x * nhì, ba ban tổ chức trao là: Theo ra, ta có: x y z 16 (1) 360 000 x 270 000 y 180 000 z 3690 000 (2) x y; x y z (3) Từ (2) x y z 41 mà x y z 16 x y 9 Mà x y 2 x y 3x x Mà x * x 1; 2 - Với x 1 y 7 z 8 (không thoả mãn (3)) Với x 2 y 5 z 9 (khơng thoả mãn (3)) Vậy số giải nhất, nhì, ba là: 2;5;9 CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 Trang Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 Câu (3,0 điểm) ( P ) : y x Cho Parabol đường thẳng m (d ) : y 4( mx 2) (với m tham số) vẽ ( P ) (d ) mặt phẳng tọa độ Oxy tìm tọa độ giao a) Khi điểm chúng b) Chứng tỏ rằng, với m đường thẳng (d ) ln cắt parabol ( P) hai điểm phân biệt A B Với giá trị m độ dài đoạn thẳng AB nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ Lời giải a Khi m 1 4 x x ta có (d ) : y 4(mx 2) Xét phương trình hồnh độ giao điểm ta có: x x x x 0 x x x 0 x x x 0 x x 0 x 2 x b Phương trình hồnh độ giao điểm P d là: x 4 mx x 4mx 0 1 1 có nghiệm Ta có: ac Phương trình Phân biệt d ln cắt P hai điểm phân biệt CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 Trang Tổng Hợp: Bùi Hoàng Nam CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 Theo Vi-et ta có: x A xB x A x B 4 m Ta có: 2 AB x A xB y A yB x A xB x A2 xB2 x A xB x A xB 2 x A x B x A x B x A x B 2 4m 2.8 4m 16m 16 16m 1 16.1 16 AB 4 Dấu " " xảy m 0 Vậy giá trị nhỏ AB 4 m 0 Câu (3,0 điểm) a) Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức: A x2 x 1 x2 1 b) Tìm số nguyên b để b 2322 số phương Lời giải x2 x 1 A Ax A x x x 1 a A 1 x x A 0 + Nếu A 1 x 0 + Nếu A 1 , ta có: 1 1 1 A 1 0 A 1 A A Giá trị nhỏ biểu thức A là: x Giá trị lớn biểu thức A là: x 2 b Nếu b 2 b 4 mà 2322 chia cho dư b 2322 chia cho dư 2 mà b 2322 số phương b2 (loại) Nếu b 2 b chia dư Mà 2322 chia cho dư CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 Trang Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 b 2322 chia cho dư Mà b 2322 số phương b 2 (loại) Vậy khơng có số nguyên b thoả mãn Câu (6,0 điểm) Cho đường trịn (O) hai đường kính AH DM khơng vng góc với Tiếp tuyến đường trịn (O ) H cắt tia AD tia AM B C a) Chứng minh tứ giác BCMD nội tiếp đường tròn b) Ðường tròn tâm I có đường kính BC cắt đường trịn tâm O E ( E khác A ) Gọi P giao điểm DM BC Chứng minh điểm O trực tâm tam giác AIP c) Chứng minh ba điểm A, E , P thẳng hàng d) Gọi R, S, K trung điểm đoạn thẳng HC , HB, HO Chứng minh RK vng góc với SA Lời giải ; AMD HAC OA OM a Ta có: ABC HAC Suy ra: ABC AMD nên tứ giác BCMD nội tiếp b Ta có: OAM ACH 90 Mà IAC ACH IA IC ; OAM OMA CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 Trang Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 nên: OMA IAC 90 nên suy ra: PO AI Mà: AO PI nên O trực tâm IAP (1) c Ta có: IA IE ; OA OE nên IO đường trung trực AE, suy IO AE Mà: IO AP từ (1) Suy A,E,P thẳng hàng d Do S,O trung điểm HB HA nên SO//AB mà AB AC nên SO AC Suy O trực tâm tam giác SAC Suy SA OC (2) mà K,R trung điểm HC,HO nên KR//OC (3) Từ (2) (3) suy SO AC CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 Trang