28 hsg 9 tinh hau giang 22 23

Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 Học sinh giỏi Câu TUYỂN TẬP ĐỀ THI HSG TOÁN – NĂM 2022-2023 99 TỈNH HẬU GIANG (5,0 điểm)  2a     a3 a A     a  a  a     a  1) Cho biểu thức  a   a) Tìm điều kiện a để biểu thức A có nghĩa rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị a để x3  2) Cho số thực x thỏa mãn Câu A 1 18 P x  x x Tính giá trị biểu thức (5,0 điểm) 1) Cho đa thức f  x   x  x3  mx  n a) Phân tích đa thức , với m, n số thực P  x  x  x  thành nhân tử f x P x b) Tìm m n biết   chia hết cho   2) Trong mặt phẳng Oxy , cho hàm số y 2mx  m  (với m tham số thực) có đồ thị P đường thẳng d hàm số y  x có đồ thị parabol   Tìm tất cá giá trị tham P số m để đường thẳng d cắt parabol   hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 thỏa mãn x1    x2 3) Tìm tất số nguyên x, y thỏa mãn x  y Câu x  y  2023 (5,0 điểm) 3 1) Giải phương trình 3x  x  3x   x    y  x   y  0    y y  x   x  0 2) Giải hệ phương trình   Câu  (5,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A Trên cạnh AC , lấy điểm N khác C cho NC  AN Vẽ O O đường trịn   có tâm O đường kính NC , đường tròn   cắt BC E (với E khác C ) cắt đường thẳng BN D (với D kác N ) 1) Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp    2) Chứng minh ABN  AEN NE tia phân giác AED CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268  Trang  Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ THI HSG TOÁN – NĂM 2022-2023 3) Giả sử EN cắt CD F Chứng minh ba điểm A, B F thẳng hàng -Hết - CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268  Trang  Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ THI HSG TOÁN – NĂM 2022-2023 HƯỚNG DẪN GIẢI Câu (5,0 điểm)  2a     a3 a A     a  a  a     a  1) Cho biểu thức  a   Lời giải a) Tìm điều kiện a để biểu thức A có nghĩa rút gọn biểu thức A a 0 a 0   a 1 Điều kiện xác định:  a  0   2a     a3 a A    a     a  a  a     a   Ta có:       1 a 1 a  a 2a  a  A     a  a  a 1 a  a 1  1 a    2a   a a    1 a  a  a A   a  a  a 1             A     A         a  a  a 1     a  a 1   b) Tìm giá trị a để Ta có:    1 a  a a  a  a 1   2a   a  a A   So với điều kiện a 0, a 1 , ta thấy 2) Cho số thực x thỏa mãn   a1  a1  a  1   a1    a    x3   a     a 4    a 1  a 49   a 16  a  16  49 a 16 , thỏa điều kiện 1 18 P x  x x Tính giá trị biểu thức Lời giải Dễ nhận thấy x 0 x3  18  x3 1 1 1   x    3x  x   18  x x x  CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 1 1    x     x   18 x x    Trang  Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ THI HSG TOÁN – NĂM 2022-2023  3 x   x  3  x  x  0   x  3 x   Câu (5,0 điểm) 1) Cho đa thức f  x   x  3x  mx  n , với m, n số thực Lời giải P x x  x  a) Phân tích đa thức   thành nhân tử 2 P x  x  x  x  x  3x   x  x  1   x  1  x  1  x   Ta có:   f x P x b) Tìm m n biết   chia hết cho    x 1 P ( x)  x  1  x   0    x 3 Cho P x f x 0 chia hết cho     phải có hai nghiệm x 1 x 3 f x 0 14  3.13  m  n 0  m  n 2  1 Thay x 1 vào   , ta được: f x 0 34  3.33  m  n 0  3m  n 0  2 Thay x 3 vào   , ta được: m  n 2  m     n 3 Từ     ta có hệ phương trình: 3m  n 0 Để f  x 2) Trong mặt phẳng Oxy , cho hàm số y 2mx  m  (với m tham số thực) có đồ thị P đường thẳng d hàm số y  x có đồ thị parabol   Tìm tất cá giá trị tham P số m để đường thẳng d cắt parabol   hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 thỏa mãn x1    x2 Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm  P d :  x 2mx  m   x  2mx  m  0  1 2 Ta có:  ' b '  ac m  m  m    '   m  m     P m  Để   d cắt điểm phân biệt CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268  Trang  Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ THI HSG TOÁN – NĂM 2022-2023 b   S  x1  x2  a  2m   P x x  c m  2 a Theo định ví Vi-et ta có:  Để phương trình  1 có hai nghiệm phân biệt thỏa x1    x2 khi:  x1  1  x2  1   x1 x2  x1  x2    m   2m    m 3 m    So với điều kiện  m  ta điều kiện m  thoải điều kiện 3) Tìm tất số nguyên x, y thỏa mãn x  y x  y  2023 Lời giải Ta có: x  y  2023 17  x a  a, b     y b   Đặt suy ra: x  y a  b 17  a  b 17 Vì x, y số nguyên x  y  a  b , ta có bảng thống kê giá trị thỏa mãn sau: a b x y Câu 17 2023 16 1792 15 1575 12 13 16 25 1181 1008 14 1372 11 36 847 10 42 700 64 567 (5,0 điểm) 2 1) Giải phương trình 3x  x  x  x  Lời giải 2 Pt  x   x  x  x Đặt 3x  t , phương trình có dạng: tt3  x  x3   x  t  x  x t  1   x  xtt  xtt     0  0   CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268  Trang  Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 Xét  2  1  có:  TUYỂN TẬP ĐỀ THI HSG TOÁN – NĂM 2022-2023   tt2  tt2     0,  pt  2 vô nghiệm  x 1   3x  x  x  x  0   x 1    x 1 KL: nghiệm pt   S  1 3;1  3;1   y  x   y  0    y y  x   x  0 2) Giải hệ phương trình    Lời giải Điều kiện: x  a  x   a 0  Đặt đó: x a  Hệ phương trình cho trở thành:   y  a  y  0    y  y  a   a   0 Thay   a  y 8 ay  1 a  y  2ay  0     a  y  ay  0  a  y   ay  0   a  y vào   , ta được:   2 a  y 8  0 2   a  y    a  y  0  a  y 0    a  y    a y   a y    1  Với a  y , phương trình  a  y 2  y 2   x  2  x 1 Vậy với  a y  , phương trình: Với y  1   y 2 y 4     y   a 2   a   l   y 8 1   y   y  y  y  15 0  2  CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268   61 y     61 y    61 l  a    61   n a    Trang  Tổng Hợp: Bùi Hoàng Nam CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268   a  y     x   61   Vậy với  TUYỂN TẬP ĐỀ THI HSG TOÁN – NĂM 2022-2023  61 y     x  25  61   65 y     y 2  x  25  61   So với điều kiện x   , hpt có nghiệm  x 1  Câu (5,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A Trên cạnh AC , lấy điểm N khác C cho NC  AN Vẽ O O đường trịn   có tâm O đường kính NC , đường trịn   cắt BC E (với E khác C ) cắt đường thẳng BN D (với D kác N ) Lời giải 1) Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp  O Ta có: CDN 90 (gnt chắn nửa   đường kính CN ) Xét tứ giác ABCD , ta có: ABC  ADC  90   Tứ giác ABCD nội tiếp có hai đỉnh nhìn cạnh hai góc    2) Chứng minh ABN  AEN NE tia phân giác AED CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268  Trang  Tổng Hợp: Bùi Hoàng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ THI HSG TỐN – NĂM 2022-2023  O Ta có: CEN 90 (gnt chắn nửa   đường kính CN )  NE  BC Xét tứ giác ABEN , ta có:   BAN BEN 180  Tứ giác ABEN nội tiếp có hai góc đối bù  ABN  AEN ( gnt chắn AN )   Mà: ABN  ACD (tứ giác ABCD nội tiếp)   O Và DEN  ACD (tứ giác CEND nội tiếp   )   Nên: ABN DEN  EN phân giác AED 3) Giả sử EN cắt CD F Chứng minh ba điểm A, B F thẳng hàng Xét BCF , ta có: BD đường cao ( BD  CF ) FE đường cao ( FE  BC ) BD cắt FE N  N trực tâm BCF  CN đường cao thứ ba BCF  CN  BF A Lại có: CA  AB A ( ABC vng A ) Suy ra: BA trùng BF Hay B , A , F thẳng hàng -Hết - CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268  Trang 