09 t9 hsg tỉnh bình dương 22 23

Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS CẤP TỈNH Năm học 2022-2023 Mơn thi: TỐN Tỉnh Bình Dương ĐỀ CHÍNH THỨC Ngày thi : 18/3/2023 Thời gian: 150 phút (khơng tính thời gian phát đề) Câu 1: (4 điểm) x2  x x  x  x x  x 1   x  x x x  x x với x  0, x 1 Cho biểu thức Chứng minh rằng : A  B A nhận giá trị nguyên Với giá trị của x thì biểu thức A Câu 2: (4 điểm) Giải phương trình: 7x2  7x  4x  28 với x   x  x 4  y   y  3y 6  z  z3  3z 8  x Giải hệ phương trình:  Câu 3: (6 điểm) Cho p số nguyên tố lớn 3, chứng minh rằng p  24 Cho A tập hợp gồm phần tử bất kỳ của tập hợp X  x : x  N ,0 x 14 Chứng B1 , B2 của tập hợp A ( B1 , B2 khác khác rỗng) cho tổng B B phần tử của tập bằng tổng phần tử của tập Xét số thực x , y, z không âm khác thỏa mãn x  y  z 1 Tìm giá trị nhỏ nhất minh rằng tồn tại hai tập P của biểu thức Câu 4: (6 điểm) 1    x  y    5z  x  yz y  xz Cho hình thang ABCD ( AB //CD, AB  CD ) Gọi E giao điểm của AD BC , F giao điểm của AC BD Chứng minh rằng đường thẳng EF qua trung điểm của hai đáy AB, CD Cho tam giác nhọn ABC D, E , F lần lượt điểm cạnh BC , CA, AB Nối AD, BE ,CF AD cắt CF BE lần lượt tại G I , CF cắt BE lần lượt tại H Chứng minh rằng nếu diện tích của bớn tam giác AFG, IHG, BID, CEH bằng thì diện tích của ba tứ giác AGHE , BIGF, CHID cũng bằng HẾT - Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 Thí sinh khơng mang máy tính tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: …………………………………………… Sớ báo danh: …………… Chữ kí GT1: ……………………… Chữ kí giám thị 2: ………………… HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1: (4 điểm) x2  x x  x  x x  x 1   x  x x x  x x với x  0, x 1 Cho biểu thức Chứng minh rằng : A  B A nhận giá trị nguyên Với giá trị của x thì biểu thức A Hướng dẫn Với x  0, x 1 , ta có: A x2  x x  x  x x  x 1   x x x x x x  x   x  1 x  x 1  x 1  x  x  1 x  1 x  x  1  x  1 x x 1   x  x 1  x 1  x x  x  x  1 x  1   x  1 x  x  1  x  x  1 x     x x x  x  1 x1  x1 x x     x  x  x  x 1 x 1   x x x x  x 1 x  x x 2 x, Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho hai số không âm x Dấu “=” xảy x x ta được A 2   A 4  x 1 Vậy A  với x  0, x 1 (đpcm) (khơng thỏa mãn điều kiện) Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 Ta có: 6 x x B   A x  x 1 x 1  Do x  0, x 1 nên B  , mà Ta có 0B  A4 6 3    B A 2 x  x 1 A 6  6  x  x  0 x B   nên B 1 suy (1) Đặt t  x , ta được phương trình ẩn t: t  4t  0 (2) Giải phương trình (2) ta được t1 2  (nhận) ; t1 2  (nhận) Với t1 2  , ta có x 2   x 7  (nhận) Với t2 2  , ta có x 2  Thử lại ta thấy Vậy   x 7  (nhận) x   3;7   x   3;7    thỏa mãn điều kiện toán thì biểu thức B A nhận giá trị nguyên Câu 2: (4 điểm) Giải phương trình: 7x2  7x  Giải hệ phương trình: 4x  28 với x   x  x 4  y   y  3y 6  z  z3  3z 8  x  Hướng dẫn Đặt  4x   1 t   t   28  2 4x  t  t  28  7t  7t  4x    7t  7t  x  (1) 4 Theo đề bài 7x2  7x  4x  x  x t  28 suy Trừ từng vế của (2) cho (1) ta được: (2)  x  t   x  t    x  t  t  x   x  t   x  7t   0 (3) Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 Vì nên x  7t   (4) x  0, t  Từ (3) (4) suy x  t 0  x t suy x  x x  1  x  x  0 2    50 x  14     50 x   14 Ta thấy x x   50 14   50 14 Thử lại ta thấy x không thỏa mãn điều kiện thỏa mãn điều kiện   50 14 thỏa mãn phương trình đã cho    50  S   14    Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm:  x  1  x     y    x3  3x 4  y  x3  3x  2  y     y  y   z  y  y    z     y  1  y     z    z  3z 8  3x  z  3z  6  3x     z  1  z     x   Nhân theo vế phương trình ta có: 2  x  1  y  1  z  1  z    y    x     y    z    x     z    y    x     x  1    x    y    z   0 2  y  1  z  1  x  1 2   0   y  1  z  1 6 0  x  0  x 2     y  0   y 2  z 2  z  0  Thử lại ta thấy  x; y; z   2;2;2  thỏa mãn hệ phương trình Vậy hệ phương trình có nghiệm: Câu 3: (6 điểm)  x; y; z   2;2;2  với mọi x, y, z Tổng Hợp: Bùi Hoàng Nam CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 Cho p số nguyên tố lớn 3, chứng minh rằng p  24 X  x : x  N ,0 x 14 Cho A tập hợp gồm phần tử bất kỳ của tập hợp minh rằng tồn tại hai tập phần tử của tập Chứng B1 , B2 của tập hợp A ( B1 , B2 khác khác rỗng) cho tổng B1 bằng tổng phần tử của tập B2 Xét số thực x , y, z không âm khác thỏa mãn x  y  z 1 Tìm giá trị nhỏ nhất P của biểu thức 1    x  y    5z  x  yz y  xz Hướng dẫn Ta có p2   p  1  p  1 Do p số nguyên tố lớn nên p số tự nhiên lẻ đó p  1, p  hai số chẵn liên tiếp nên tồn tại một số chia hết cho một số chia hết cho Suy  p  1  p  1 chia hết cho Mặt khác ba số nguyên liên tiếp p  1, p, p  có một số chia hết cho mà p 3 suy một p  p 1 hai số p  1, p  chia hết cho Suy chia hết cho     p  1  p  1 8   p  1  p  1 3   p  1  p  1 24   8;3 1 Ta có  Vậy p  24 (đpcm) Xét tập hợp không hai phần tử của tập hợp A Giả sử tổng của phần tử của tập hợp đó khác Do đó phần tử của tập hợp A khác Giả sử sáu phần tử của tập hợp A Khi đó a1 1, a2 a1  a2 2 a3 a1 , a3 a2 , a3 a1  a2  a3 4 a1  a2  a3  a4  a5  a6 Tổng Hợp: Bùi Hoàng Nam CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 Tương tự, ta có a4 7; a5 12; a6 22 Suy vơ lí vì   0;1;2; ;14 Vậy tập hợp xét có nhất hai tập hợp có tổng phần tử bằng Ta có x  y  z 1  x  y 1  z Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz bất đẳng thức AM-GM, ta có: P P   ( x  y )(4  5z) x  yz  y  zx  x  y   z  1  (1  z )(4  z ) P   z2  z.  z  1 z    4 P   z2  z   z  2  z2  z   z  2 1 z 1 z       P 8  z.  z  8 x y  , z 0 Dấu “=” xảy x y  , z 0 Vậy giá trị nhỏ nhất của P Câu 4: (6 điểm) Cho hình thang ABCD ( AB //CD, AB  CD ) Gọi E giao điểm của AD BC , F giao điểm của AC BD Chứng minh rằng đường thẳng EF qua trung điểm của hai đáy AB, CD Cho tam giác nhọn ABC D, E , F lần lượt điểm cạnh BC , CA, AB Nối AD, BE ,CF AD cắt CF BE lần lượt tại G I , CF cắt BE lần lượt tại H Chứng minh rằng nếu diện tích của bốn tam giác AFG, IHG, BID, CEH bằng thì diện tích của ba tứ giác AGHE , BIGF, CHID cũng bằng Hướng dẫn Tổng Hợp: Bùi Hoàng Nam CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 E D C M F A N Gọi M trung điểm của CD N trung điểm của AB + Xét CDF có CD //AB  CDF ∽ ABF  CD DF 2DM DF DM DF      AB BF 2BN BF BN BF   Lại có MDF NBF (so le trong, AB //CD )  DMF ∽ BNF (c.g.c)    MFD NFB (hai góc tương ứng)       MFD  DFN NFB  DFN DFB 180o   MFN 180o Suy ba điểm M , F , N thẳng hàng (1) + Xét ABE có CD //AB  DCE ∽ ABE  DC DE DM DE DM DE      AB AE AN AE AN AE   Lại có EDM EAN (đồng vị, AB //CD )  DME ∽ ANE (c.g.c) B Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023  DEM AEN (hai góc tương ứng) Suy ba điểm E , M , N thẳng hàng (2) Từ (1) (2) suy bốn điểm E , F , M , N thẳng hàng Suy đường thẳng EF qua trung điểm của hai đáy AB,CD (đpcm) Ta có S IHG S EHC  SGIC S EIC Suy hai đường cao kẻ từ G E đến IC song song bằng  EG //CI  ICEG hình thang  SAHG S AEH Theo câu ý suy AH qua trung điểm K của EG Lại có SAGF SCEH  SAHF SAHC  HF HC  SBHF SBCH Mà SIHG SBID  SBIGF SCHID (3) Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 Chứng minh tương tự ta có SCHID S AGHE Từ (3) (4) suy (4) SAGHE SBIGF SCHID Vậy nếu diện tích của bớn tam giác AFG, IHG, BID, CEH bằng thì diện tích của ba tứ giác AGHE , BIGF , CHID cũng bằng (đpcm)