Website:tailieumontoan.com ĐỀ HỌC SINH GIỎI TỐN SGD BÌNH DƯƠNG NĂM HỌC:2016 - 2017 Câu (5,0 điểm) x + y = 2017 a) Tìm tất ngiệm nguyên phương trình b) Xác định số điện thoại THCS X thành phố Thủ Dầu Một, biết số dạng số phương 82xxyy với xxyy Câu (4,0 điểm) Tam giác ABC nội tiếp đường tròn MA2 + MB + MC = R (O; R ) M ∈ (O; R) , Chứng minh rằng: Câu (3,0 điểm) x2 + − x2 + a) Giải phương trình: b) Giải hệ phương trình: ( − − x2 ) =1 ( x + y ) 1 + ÷ = xy x + y 1 + = 49 ) x2 y2 ÷ ( Câu (3,0 điểm) a) Chứng minh với số a , b, c , d ta ln có: a, b > chứng minh rằng: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word + c2 ) ( b2 + d ) ≥ ( ab + cd ) a +b ≥ ( 4a + 3b ) ( 3a + 4b ) 25 b) Cho (a mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Câu (3,0 điểm) Cho tứ giác ABCD Gọi S ABCD ≤ MP.NQ ≤ Chứng minh rằng: M , N , P, Q trung điểm ( AB + CD ) ( AD + BC ) AB, BC , CD, DA Câu (2,0 điểm) Cho đa giác lồi có 12 cạnh a) Tìm số đường chéo b) Tìm số tam giác có cạnh cạnh đa giác ? -Hết - LỜI GIẢI ĐỀ HỌC SINH GIỎI TỐN SGD BÌNH DƯƠNG NĂM HỌC 2016 - 2017 Câu (5,0 điểm) a) Tìm tất nghiệm nguyên phương trình x + y = 2017 b) Xác định số điện thoại THCS X thành phố Thủ Dầu Một, biết số dạng số phương 82xxyy với xxyy Lời giải a) Phương trình: Do x + y = 2017 ( x, y ≥ 0) ⇔ x = 20172 + y − 4034 y x, y ∈ Z ⇒ y ∈ Z Vậy nghiệm tổng quát phương trình là: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word môn y = a2 x = (2017 − a) toán: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com b) Ta có: xxyy = 11 x0 y số phương nên : x + y = 11 x + y = 11 ⇔ ⇒ x0 y M11 ⇔ 100 x + y M11 ⇔ 99 x + x + y M11 ⇔ x + y M11 x + y = x = y = x= y =0 Với x + y = 11 Với ta tìm số : xxyy = 11 x0 y = 11 ( 99x + x + y ) = 11 ( 99 x + 11) = 11 ( x + 1) ta có: ⇒ 9x +1 xxyy = 0000 số phương ⇒ x=7⇒ y =4 Vậy: xxyy = 7744; xxyy = 0000 Câu (4,0 điểm) Tam giác ABC MA2 + MB + MC = R nội tiếp đường tròn (O; R ) M ∈ (O; R ) , Chứng minh rằng: Lời giải Giả sử: » M ∈ AC Dễ thấy: IB = MA Đặt: MA + MC = MB (trên MB lấy I chứng minh: ( 2 2 AM + BM + CM = x + y + ( x − y ) = x + y − xy Kẻ , ta ) MA = x ; MB = y ; MC = y − x Ta có: MI = MC cho AH ⊥ BM ⇒ MH = x ⇒ AH = x2 BH = MB − MH = y − Mà BH = MB − MH = y − x x x + y + x − xy 2 = x + y − xy (2) ⇒ AB = AH + BH = 4 ( Từ Câu (3,0 điểm) liệu (1) (1), (2) ⇒ AM + BM + CM = AB = R Liên hệ tài 039.373.2038 ) word mơn tốn: ) = 6R2 (đpcm) TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com x2 + − x2 + a) Giải phương trình: b) Giải hệ phương trình: ( − − x2 =1 ) ( x + y ) 1 + ÷ = xy x + y 1 + = 49 ) x2 y2 ÷ ( Lời giải x2 3+ 9− x + ( − − x2 a) Phương trình: Điều kiện: ) =1 9 − x ≥ −3 ≤ x ≤ ⇔ 3 − − x ≠ x ≠ x2 + ( 3− =1 ⇔ )( − x2 3+ − x2 )+ 4( 3− − x ) ) ( ( 3+ − x ) ⇔ ( 3− − x ) + =1 4( 3− 9− x ) ⇔ 4( 3− 9− x ) − 4( 3− 9− x ) + 1= 3+ − x2 3− − x 2 2 ) ( ⇔ 3− 9− x2 = =1 11 11 ⇔ x= ± (tmñk) ⇔ − x2 = ⇔ x2 = 2 1 ( x + y) 1+ ÷ = xy ñk : x, y ≠ x2 + y2 1+ = 49 ÷ x2y2 ( b) Hệ phương trình: 2 ) 1 1 x+ + y+ =5 x + y + + = x y x y ⇔ ⇔ 1 1 2 x + y + + x + ÷ + y + ÷ = 53 = 49 x y x2 y Đặt x + x = a y + = b y Liên hệ tài 039.373.2038 ta được: liệu a + b = a = − b b = 7; a = −2 ⇔ ⇔ 2 a + b = 53 2b − 10b − 28 = b = −2; a = word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com • x + x = −2 x = −1 ⇔ ⇔ a = −2 7±3 y+ =7 y = y b = x + x = 7±3 ⇔ x = ⇔ a = y + = −2 y y = −1 b = −2 • Câu (3,0 điểm) a) Chứng minh với số b) Cho a, b > a, b, c, d chứng minh rằng: ta ln có: (a + c2 ) ( b2 + d ) ≥ ( ab + cd ) a + b2 ≥ ( 4a + 3b ) ( 3a + 4b ) 25 Lời giải a) Ta có: (a + c2 ) ( b2 + d ) ≥ ( ab + cd ) ⇔ a 2b + a d + c 2b2 + c d ≥ a 2b + c 2d + 2abcd ⇔ a d + c2b2 − 2abcd ≥ ⇔ ( ad − cb ) ≥ b) Với a, b > (luôn đúng) Ta có: a +b ≥ ( 4a + 3b ) ( 3a + 4b ) 25 ⇔ 25a + 25b2 ≥ ( 4a + 3b ) ( 3a + 4b ) 2 ⇔ 13 ( a + b2 ) ≥ 25ab ⇔ 13 ( a − b ) + ab ≥ Dấu “=” không xảy ra, vậy: Câu (3,0 điểm) Cho tứ giác ABCD Chứng minh rằng: Gọi a + b2 > ( 4a + 3b ) ( 3a + 4b ) 25 M , N , P, Q trung điểm ≤ S ABCD ≤ MP.NQ AB, BC , CD, DA ( AB + CD ) ( AD + BC ) Lời giải Ta có: MP.NQ ≥ 2S MNPQ = S ABCD Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Gọi R NR = trung điểm AC , ta có : 1 AB; QR = CD 2 NQ ≤ NR + QR ≤ Suy ra: PM ≤ Tương tự: ( AB + CD ) 1 ( AD + BC ) ⇒ MP NQ ≤ ( AB + CD ) ( AD + BC ) ⇒ S ABCD ≤ MP.NQ ≤ ( AB + CD ) ( AD + BC ) Câu (2,0 điểm) Cho đa giác lồi có 12 cạnh a) Tìm số đường chéo b) Tìm số tam giác có cạnh cạnh đa giác ? Lời giải a) Số đường chéo đa giác là: 12 ( 12 − 3) = 54 b) Nhận thấy với cạnh đa giác, ta lập mà đa giác ban đầu có 12 10 tam giác mà tam giác thỏa mãn đề cạnh nên số tam giác thỏa mãn đề 10.12 = 120 Tuy nhiên tính theo cách tam giác mà có cạnh cạnh kề đa giác cho tính lần Ta có số tam giác tính lần 12 tam giác nên số tam giác thỏa mãn đề thực chất là: 120 − 12 = 108 tam giác -Hết - Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word môn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC ... trình: Do x + y = 2 017 ( x, y ≥ 0) ⇔ x = 2 0172 + y − 4034 y x, y ∈ Z ⇒ y ∈ Z Vậy nghiệm tổng quát phương trình là: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word môn y = a2 x = (2 017 − a) tốn: TÀI LIỆU... LỜI GIẢI ĐỀ HỌC SINH GIỎI TỐN SGD BÌNH DƯƠNG NĂM HỌC 2016 - 2 017 Câu (5,0 điểm) a) Tìm tất nghiệm nguyên phương trình x + y = 2 017 b) Xác định số điện thoại THCS X thành phố Thủ Dầu Một, biết