Website:tailieumontoan.com ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH BÌNH THUẬN NĂM HỌC 2017-2018 Câu (4,0 điểm) x x 3x x 3( x 1) Q 25 x : x x 1 x x1 Cho biểu thức: với x 1 x a) Rút gọn biểu thức Q b) Tìm x để biểu thức Q nhận giá trị nguyên Câu (4,0 điểm) ax y a y x Cho hệ phương trình ẩn : (a 1) x ay 2a a) Giải hệ phương trình với a 1 b) Tìm a để hệ phương trình có nghiệm Câu (4,0 điểm) x; y thỏa P xy đạt giá trị lớn Bk x N * / x bội số k k Với số nguyên dương, ký hiệu Cho m, n số nguyên dương a) Chứng minh Bmn tập hợp Bm Bn b) Tìm điều kiện m n để Bm Bn tập hợp Bmn Câu (6,0 điểm) Cho hình vng ABCD Gọi E điểm thay đổi BC ( E không trùng B C ) F thay đổi CD cho EAF 45 , BD cắt AE , AF M N a) Chứng minh năm điểm E , M , N , F , C nằm đường trịn MN b) Tính tỷ số FE c) Chứng minh đường thẳng EF ln tiếp xúc với đường trịn cố định E , F thay đổi Câu (2,0 điểm) Trên mặt phẳng cho 4035 điểm phân biệt Biết ba điểm số ln tồn hai điểm có khoảng cách chúng nhỏ Chứng minh tồn hình trịn bán kính chứa khơng 2018 điểm cho -Hết - Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH BÌNH THUẬN NĂM HỌC 2017-2018 (4,0 điểm) Câu x x 3x x 3( x 1) Q 25 x : x x 1 x x1 Cho biểu thức: với x 1 x a) Rút gọn biểu thức Q b) Tìm x để biểu thức Q nhận giá trị nguyên Lời giải a) Rút gọn Với x 1 x , ta có: x2 x 3x x 3( x 1) Q 25 x : x x 5 x : x x x 1 x 1 x x 1 x 5 x : x x x x 5 x : x x x x b) Tìm x để biểu thức Q nhận giá trị nguyên Dễ thấy Q Phương trình sau có nghiệm x 0, x 1 Q x x x Q.x Q x Q 0 có nghiệm x 0, x 1 Q y Q y Q 0 có nghiệm y 0, y 1 Q 4Q 3Q Q 0 Q Q Z Mà Q nên Q 1 Q 2 Với Q 1 tìm x 7 4 (Thỏa mãn) Với Q 2 phương trình vơ nghiệm Câu (4,0 điểm) ax y a Cho hệ phương trình ẩn x y : (a 1) x ay 2a a) Giải hệ phương trình với a 1 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com x; y b) Tìm a để hệ phương trình có nghiệm thỏa P xy đạt giá trị lớn Lời giải: x 0 a) Nghiệm HPT là: y 1 ax y a a x ay a b) a x ay a 2a a 1 x ay 2a a + a + 1 x a3 a 1 x ay 2a x a y a (với a) 3 a a a 2 Nên P xy a P đạt giá trị lớn đạt Câu (4,0 điểm) B x N * / x bội số k Với k số nguyên dương, ký hiệu k Cho m, n số nguyên dương a) Chứng minh Bmn tập hợp Bm Bn b) Tìm điều kiện m n để Bm Bn tập hợp Bmn Lời giải: a) Ta có: Bmn x N * / x bội mn mn; 2mn; 3mn; ; kmn Bm Bn x N * / x bội m vaø n BCNN m, n ; BCNN m, n ; ; hBCNN m, n mnm mn BC m, n kmn BC m, n Vì mnn Nên Bmn tập hợp Bm Bn b) Để Bm Bn tập hợp Bmn mà theo câu a Bmn tập hợp Bm Bn Nên Bmn Bm Bn BCNN m, n mn m, n 1 Hay m n hai số nguyên tố Câu (6,0 điểm) Cho hình vng ABCD Gọi E điểm thay đổi BC ( E không trùng B C ) F thay đổi CD cho EAF 45 , BD cắt AE , AF M N Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com a) Chứng minh năm điểm E , M , N , F , C nằm đường trịn MN b) Tính tỷ số FE c) Chứng minh đường thẳng EF tiếp xúc với đường tròn cố định E , F thay đổi Lời giải: a) Tứ giác AMFD nội tiếp đường trịn ( MAF MDF 45 ) AFM ADM 450 AMF vuông cân FM AE Tương tự: EN AF M , N , C nhìn EF góc vuông M , N , F , C , E nằm đường trịn đường kính EF b) ANE ∽ AMF(g-g) AMN ∽ AEF(c-g-c) MN AM sin 450 FE FA c) Tính chất trực tâm tam giác AEF FE AH Dễ thấy : FAD FMD FEN FAH (Các tứ giác ADFM ; EFNM ; ANHE nội tiếp) FAD FAH (ch gn) AH AD (Không đổi) Mà FE AH EF tiếp xúc với đường tròn A; AD cố định Câu (2,0 điểm) Trên mặt phẳng cho 4035 điểm phân biệt Biết ba điểm số ln tồn hai điểm có khoảng cách chúng nhỏ Chứng minh tồn hình trịn bán kính chứa khơng 2018 điểm cho Lời giải: Dùng nguyên lý Dirichlet: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com - Nếu khoảng cách hai điểm bé ta cần chọn điểm A số 4035 điểm cho vẽ đường tròn điều phải chứng minh A;1 đường tròn chứa tất 4034 điểm cịn lại nên ta có - Giả sử có hai điểm A B số 4035 điểm cho có khoảng cách lớn 1, vẽ đường trịn tâm A B có bán kính 1, ta lại 4033 điểm Mỗi điểm C số 4033 điểm ấy, theo giả thiết AB; AC ; BC phải có đoạn thẳng có độ dài bé mà AB , A;1 B;1 nên AC BC Do C nằm đường trịn , có 4033 điểm 4033 2017 C nên theo nguyên lý Dirichlet có điểm nằm đường tròn (Trong hai đường tròn xét) Giả sử đường trịn điểm nằm đường tròn A;1 A;1 Cùng với điểm A ta có 2018 ĐPCM -Hết - Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC