Website:tailieumontoan.com ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2017-2018 Câu 1: 1) Chứng minh n − 2n + n 2) Cho ba số phân biệt 36 chia hết cho a, b, c n nguyên dương Đặt: x = ( a + b + c ) − 9ab, y = ( a + b + c ) − 9bc, z = ( a + b + c ) − 9ac Chứng minh ba số với x, y , z có số dương Câu 2: 1) Tìm nghiệm nguyên phương trình: 2) Giải phương trình: ( x − y ) ( x + y + 1) + ( y − 1) = 13 x + x + 2018 = 2018 Câu 3: 1) Cho ba số a + b + c ≤ ( ab + bc + ca ) a , b, c không âm thỏa mãn điều kiện: p+q+r =0 apq + bqr + crp ≤ ba số thỏa mãn: Chứng minh rằng: 2) Cho số dương a, b thỏa mãn a.b = p , q, r Tìm giá trị nhỏ biểu thức: M = ( a + b + 1) ( a + b2 ) + a+b Câu 4: 1) Cho tam giác nhọn ABC a) Chứng minh rằng: có đường cao AD, BE , CF trực tâm H AC BD.CE = BE.CD.BH I , J BC AH AH b) Gọi trung điểm Đường trịn đường kính cắt IJ ABC AK K M đoạn thẳng Tia cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác cắt đoạn Q BC ABC P MD thẳng Tia cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác Chứng minh tứ AQDP giác tứ giác nội tiếp Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word môn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com D, E ABC A 2) Cho tam giác vuông cân Các điểm theo thứ tự di chuyển cạnh AB, AC D, E BD = AE cho Xác định vị trí điểm cho: DE a) có độ dài nhỏ b) Tứ giác Liên hệ tài 039.373.2038 liệu BDEC word có diện tích nhỏ mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com LỜI GIẢI ĐỀ HỌC SINH GIỎI TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2017-2018 Câu 1: 1) Chứng minh n − 2n + n 2) Cho ba số phân biệt a, b, c chia hết cho với n nguyên dương Đặt: x = ( a + b + c ) − 9ab, y = ( a + b + c ) − 9bc, z = ( a + b + c ) − 9ac Chứng minh ba số 36 x, y , z có số dương Lời giải 1) Ta có: Đặt n − 2n + n = n − n − n + n = n ( n − 1) − n ( n − 1) = n ( n − 1) ( n + 1) A = n ( n − 1) ( n + 1) , ta có AM2 AM3 ( 2, 3) = ⇒ AM6 ⇒ n ( n − 1) ( n + 1) M36 2 (đpcm) 2) Ta có: x + y + z = ( a + b + c ) − 9ab + ( a + b + c ) − 9bc + ( a + b + c ) − 9ac = ( a + b + c ) − ( ab + bc + ca ) 2 = a + b2 + c − ( ab + bc + ca ) = Vì a , b, c ba số phân biệt nên Do ba số x, y , z 2 3 2 ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) 3 2 ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) > ⇒ x + y + z > phải có số dương Câu 2: 1) Tìm nghiệm nguyên phương trình: 2) Giải phương trình: ( x − y ) ( x + y + 1) + ( y − 1) = 13 x + x + 2018 = 2018 Lời giải 1) Ta có: Liên hệ tài 039.373.2038 ( x − y ) ( x + y + 1) + ( y − 1) = 13 ⇔ x + xy + x − xy − y − y + y − − 13 = liệu word môn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com ( 2x − xy + x ) + ( xy − y + y ) − ( x − y + 15) = ⇔ x ( x − y + 3) + y ( x − y + 3) − ( x − y + 3) = ⇔ ( x − y + 3) ( x + y − 5) = + TH1: + TH2: + TH3: + TH4: 10 x= x − y + = x − y = −2 ⇔ ⇔ 2 x + y − = 2 x + y = 12 y = 16 10 x = x − y + = x − y = ⇔ ⇔ 2 x + y − = 2 x + y = y = −2 (loại) x − y + = −1 x − y = −4 x = −2 ⇔ ⇔ x + y − = −7 x + y = −2 y = x − y + = −7 x − y = −10 x = −2 ⇔ ⇔ x + y − = −1 2 x + y = y = Vậy pt cho có nghiệm nguyên 2) ĐKXĐ: Ta có (loại) x ≥ −2018 , đặt ( x; y ) là: (thỏa mãn) (thỏa mãn) ( −2;2 ) ( −2;8) , x + 2018 = t , t ≥ ⇒ t − x = 2018 , x + t = x + x + 2018 = 2018 ⇔ x + t = t − x ⇔ ( x + t ) ( x − t + 1) = ⇔ x +1 = t + TH1: + TH2: x − x − 2018 = x + t = − 897 ⇔ ⇒x= −2018 ≤ x ≤ −2018 ≤ x ≤ x + x − 2017 = x +1 = t −1 + 8069 ⇔ ⇒x= x ≥ −1 x ≥ −1 x= Vậy phương trình cho có nghiệm là: − 897 x= ; −1 + 8069 Câu 3: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com 1) Cho ba số a + b + c ≤ ( ab + bc + ca ) a , b, c không âm thỏa mãn điều kiện: p + q + r = apq + bqr + crp ≤ ba số thỏa mãn: Chứng minh rằng: 2) Cho số dương a, b thỏa mãn a.b = p , q, r Tìm giá trị nhỏ biểu thức: M = ( a + b + 1) ( a + b2 ) + a+b Lời giải a + b + c ≤ ( ab + bc + ca ) ⇔ ( a − b − c ) ≤ 4bc ⇔| a − b − c |≤ bc 1) Từ gt: p + q +r = ⇔ r = −p − q Lại có: ⇒ apq + bqr + crp = apq + bq ( − p − q ) + cp ( − p − q ) = apq − bpq − bq − cpq − cp = pq ( a − b − c ) − ( bq + cp ) Ta có: bq + cp ≥| pq | bc ≥| pq || a − b − c |≥ pq ( a − b − c ) ⇒ pq ( a − b − c ) − ( bq + cp ) ≤ ⇒ apq + bqr + crp ≤ a + b ≥ 2ab = 2) Sử dụng BĐT AM – GM, ta có: ⇒ M = ( a + b + 1) ( a + b ) + ≥2 ( a + b) (đpcm) 4 ≥ ( a + b + 1) + = a + b + ÷+ a + b + a+b a+b a+b + ab + = 2.2 + + = a+b Vậy giá trị nhỏ M a = b =1 Dấu “=” xảy a = b =1 Câu 4: 1) Cho tam giác nhọn ABC a) Chứng minh rằng: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word có đường cao AD, BE , CF trực tâm H AC BD.CE = BE.CD.BH mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com I , J BC AH AH b) Gọi trung điểm Đường tròn đường kính cắt IJ ABC AK K M đoạn thẳng Tia cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác cắt đoạn Q BC ABC P MD thẳng Tia cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác Chứng minh tứ AQDP giác tứ giác nội tiếp D, E ABC A 2) Cho tam giác vuông cân Các điểm theo thứ tự di chuyển cạnh AB, AC D, E BD = AE cho Xác định vị trí điểm cho: DE a) có độ dài nhỏ b) Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ Lời giải ∆BDH ∽ ∆BEC a) Ta có: ∆BEC ∽ ∆ADC ⇒ (g.g) Từ (1) (2) suy ra: ⇒ (g-g) BD BH = BE BC ⇒ BH BE = BC BD BC CE = ⇒ BC.CD = CE AC AC CD Liên hệ tài 039.373.2038 · · AEH = AFH = 900 ⇒ liệu word (2) BH BE BC.CD = BC BD.CE AC ⇒ AC BD.CE = BE.CD BH b) Ta có: (1) mơn Tứ giác tốn: AEHF (đpcm) nội tiếp TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com IE = IF = Ta có: 1 AH JE = JF = BC ⇒ ∆IEJ = ∆IFJ 2 ; (c-c-c) · · KIE KIF · = JIF · ⇒ KIE · · · · · · AB ⇒ MC ¼ = MB ¼ ⇒ JIE = KIF ⇒ = ⇒ KAE = KAF ⇒ MAC =M 2 · · · Q = MAB · · · ⇒ BDQ = MBC + BM + BAQ = QAP ⇒ AQDP giác a) Kẻ Tứ nội tiếp AH ⊥ BC ( H ∈ BC ) , qua D kẻ DK ⊥ AB ( K ∈ BC ) · · ⇒ DKB = 900 − ABC = 450 ⇒ ∆BDK ⇒ BD = DK = AE ⇒ ⇒ DE = AK Tứ giác ADKE vuông cân D hình chữ nhật AK ≥ AH ⇒ DE ≥ AH DE K≡H Ta có: Vậy nhỏ khi D trung điểm AC AB E trung điểm b) Đặt AB = AC = a , ( a > 0) ; BD = AE = x ⇒ AD = a − x Ta chứng minh BĐT: Với ⇔ ( a − b) ≥ a, b ta ln có: ( a + b) ≥ 4ab (*) Thật vậy: (*) SADE = Áp dụng (*) ta có: SABC = Liên hệ tài 039.373.2038 a2 AB.AC = 2 liệu word (BĐT đúng) 1 a2 AD.AE = ( a − x ) x ≤ ( a − x ) + x = 2 8 SBDEC = SABC − SADE ≥ Do đó: mơn tốn: a a 3a − = 8 khơng đổi TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com a−x= x⇔ x= Dấu “=” xảy 3a 3AB2 = 8 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu D, E word a Vậy tứ giác BDEC có diện tích nhỏ trung điểm mơn tốn: AB AC TÀI LIỆU TOÁN HỌC ... nguyên 2) ĐKXĐ: Ta có (loại) x ≥ −2 018 , đặt ( x; y ) là: (thỏa mãn) (thỏa mãn) ( −2;2 ) ( −2;8) , x + 2 018 = t , t ≥ ⇒ t − x = 2 018 , x + t = x + x + 2 018 = 2 018 ⇔ x + t = t − x ⇔ ( x + t ) (... 2017-2 018 Câu 1: 1) Chứng minh n − 2n + n 2) Cho ba số phân biệt a, b, c chia hết cho với n nguyên dương Đặt: x = ( a + b + c ) − 9ab, y = ( a + b + c ) − 9bc, z = ( a + b + c ) − 9ac Chứng minh. .. − x ⇔ ( x + t ) ( x − t + 1) = ⇔ x +1 = t + TH1: + TH2: x − x − 2 018 = x + t = − 897 ⇔ ⇒x= −2 018 ≤ x ≤ −2 018 ≤ x ≤ x + x − 2017 = x +1 = t −1 + 8069 ⇔ ⇒x= x ≥ −1 x ≥ −1