75 hsg 18 binh dinh minh ha trieu

Website:tailieumontoan.com ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2017-2018 Câu 1: 1) Chứng minh n  2n  n chia hết cho 36 với n nguyên dương 2) Cho ba số phân biệt a , b, c Đặt: x  a  b  c   9ab, 2 y  a  b  c   9bc , z  a  b  c   9ac Chứng minh ba số x, y , z có số dương Câu 2: 1) Tìm nghiệm nguyên phương trình:  x  y   x  y  1   y  1 13 2) Giải phương trình: x  x  2018 2018 Câu 3: a  b2  c 2  ab  bc  ca  1) Cho ba số a , b, c không âm thỏa mãn điều kiện: p, q, r ba số thỏa mãn: p  q  r 0 Chứng minh rằng: apq  bqr  crp 0 2) Cho số dương a, b thỏa mãn a.b 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: M  a  b  1  a  b2   a b Câu 4: 1) Cho tam giác nhọn ABC có đường cao AD, BE , CF trực tâm H a) Chứng minh rằng: AC.BD.CE BE.CD BH b) Gọi I , J trung điểm AH BC Đường trịn đường kính AH cắt đoạn thẳng IJ K Tia AK cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC M cắt đoạn thẳng BC P Tia MD cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Q Chứng minh tứ giác AQDP tứ giác nội tiếp 2) Cho tam giác ABC vuông cân A Các điểm D, E theo thứ tự di chuyển cạnh AB, AC cho BD AE Xác định vị trí điểm D, E cho: a) DE có độ dài nhỏ b) Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com LỜI GIẢI ĐỀ HỌC SINH GIỎI TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2017-2018 Câu 1: 1) Chứng minh n  2n  n chia hết cho 36 với n nguyên dương 2) Cho ba số phân biệt a , b, c Đặt: x  a  b  c   9ab, 2 y  a  b  c   9bc , z  a  b  c   9ac Chứng minh ba số x, y , z có số dương Lời giải n  2n  n n  n  n  n n  n  1  n  n  1   n  n  1  n  1  1) Ta có:  A2  A n  n  1  n  1 2,3 1  A6   n  n  1  n  1  36  A   Đặt , ta có (đpcm) 2) Ta có: 2 2 x  y  z  a  b  c   9ab   a  b  c   9bc   a  b  c   9ac 3  a  b  c    ab  bc  ca  2 3  a  b  c   ab  bc  ca      a  b    b  c    c  a    2 3 2 a  b   b  c    c  a     x  y  z     Vì a , b, c ba số phân biệt nên Do ba số x, y , z phải có số dương Câu 2: 1) Tìm nghiệm nguyên phương trình:  x  y   x  y  1   y  1 13 2) Giải phương trình: x  x  2018 2018 Lời giải 1) Ta có:  2x  x  y   x  y  1   y  1 13  x  xy  x  xy  y  y  y   13 0  xy  x    xy  y  y    5x  y  15 7  x  x  y  3  y  x  y  3   x  y  3 7   x  y  3  x  y  5 7 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com  x  y  1    x  y  7  x  y    2 x  y 12 + TH1:  x  y  7  x  y 4     x  y  1 2 x  y 6 + TH2: 10   x    y 16  (loại) 10   x    y   (loại)  x  y    x  y   x     2 x  y   y 2 (thỏa mãn) + TH3: 2 x  y    x  y    x  y  10  x      y 8 (thỏa mãn) + TH4:  x  y   2 x  y 4 Vậy pt cho có nghiệm nguyên 2) ĐKXĐ: x  2018 , đặt  x; y  là:   2;2  ,   2;8 x  2018 t , , t 0  t  x 2018  x  t 0 x  x  2018 2018  x  t t  x   x  t   x  t  1 0    x  t Ta có  x  t 0    2018  x 0  + TH1:  x  x  2018 0  897  x    2018  x 0  x  x  2017 0  x  t   8069   x   x   x  + TH2:    8069  897 x x 2 Vậy phương trình cho có nghiệm là: ; Câu 3: a  b2  c 2  ab  bc  ca  1) Cho ba số a , b, c không âm thỏa mãn điều kiện: p, q, r ba số thỏa mãn: p  q  r 0 Chứng minh rằng: apq  bqr  crp 0 2) Cho số dương a, b thỏa mãn a.b 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: M  a  b  1  a  b2   a b Lời giải Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com 1) Từ gt: a  b2  c 2  ab  bc  ca    a  b  c  4bc  | a  b  c |2 bc p  q  r 0  r  p  q Lại có:  apq  bqr  crp apq  bq   p  q   cp   p  q  apq  bpq  bq  cpq  cp  pq  a  b  c    bq  cp  Ta có: bq  cp | pq | bc | pq || a  b  c | pq  a  b  c   pq  a  b  c    bq  cp  0  apq  bqr  crp 0 (đpcm) 2 2) Sử dụng BĐT AM – GM, ta có: a  b 2ab 2  M  a  b  1  a  b   2  a  b 4    a  b  1   a  b   a b2 a b a b  a b  ab  2.2   8 a b Dấu “=” xảy a b 1 Vậy giá trị nhỏ M a b 1 Câu 4: 1) Cho tam giác nhọn ABC có đường cao AD, BE , CF trực tâm H a) Chứng minh rằng: AC.BD.CE BE.CD BH b) Gọi I , J trung điểm AH BC Đường trịn đường kính AH cắt đoạn thẳng IJ K Tia AK cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC M cắt đoạn thẳng BC P Tia MD cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Q Chứng minh tứ giác AQDP tứ giác nội tiếp 2) Cho tam giác ABC vuông cân A Các điểm D, E theo thứ tự di chuyển cạnh AB, AC cho BD AE Xác định vị trí điểm D, E cho: a) DE có độ dài nhỏ b) Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ Lời giải Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com A E I F Q H P D B K J C M a) Ta có: BDH ∽ BEC (g-g) BEC ∽ ADC (g.g)   BD BH  BE BC  BH BE BC.BD (1) BC CE =  BC CD CE AC (2) AC CD Từ (1) (2) suy ra: BH BE BC CD BC.BD.CE AC  AC.BD.CE BE CD BH (đpcm)   b) Ta có: AEH = AFH  90  Tứ giác AEHF nội tiếp 1 IE  IF  AH JE  JF  BC  IEJ IFJ (c-c-c) 2 Ta có: ;   KIE KIF   JIF   KIE       AB  MC   MB   JIE KIF    KAE  KAF  MAC M 2    Q  MAB     BDQ MBC  BM  BAQ QAP  Tứ giác AQDP nội tiếp a) Kẻ AH  BC  H  BC  , qua D kẻ B DK  AB  K  BC     DKB 900  ABC 450  BDK vuông cân D  BD DK  AE  Tứ giác ADKE hình chữ nhật K D H  DE  AK A Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: E TÀI LIỆU TỐN HỌC C Website:tailieumontoan.com Ta có: AK  AH  DE  AH Vậy DE nhỏ K  H D trung điểm AB E trung điểm AC b)  a  0 ; BD  AE  x  AD a  x Đặt AB  AC a ,  a + b   ab (*) Ta chứng minh BĐT: Với a, b ta ln có: Thật vậy: (*)   a  b 0 Áp dụng (*) ta có: SABC = SADE (BĐT đúng) 1 a2 = AD.AE =  a  x  x    a  x   x   2 8 a2 a a 3a AB.AC = SBDEC  SABC  SADE    2 Do đó: 8 khơng đổi Dấu “=” xảy a  x x  x  a Vậy tứ giác BDEC có diện tích nhỏ 3a 3AB2  8 D, E trung điểm AB AC Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC