Website:tailieumontoan.com ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2017-2018 Câu 1: 1) Chứng minh n 2n n chia hết cho 36 với n nguyên dương 2) Cho ba số phân biệt a , b, c Đặt: x a b c 9ab, 2 y a b c 9bc , z a b c 9ac Chứng minh ba số x, y , z có số dương Câu 2: 1) Tìm nghiệm nguyên phương trình: x y x y 1 y 1 13 2) Giải phương trình: x x 2018 2018 Câu 3: a b2 c 2 ab bc ca 1) Cho ba số a , b, c không âm thỏa mãn điều kiện: p, q, r ba số thỏa mãn: p q r 0 Chứng minh rằng: apq bqr crp 0 2) Cho số dương a, b thỏa mãn a.b 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: M a b 1 a b2 a b Câu 4: 1) Cho tam giác nhọn ABC có đường cao AD, BE , CF trực tâm H a) Chứng minh rằng: AC.BD.CE BE.CD BH b) Gọi I , J trung điểm AH BC Đường trịn đường kính AH cắt đoạn thẳng IJ K Tia AK cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC M cắt đoạn thẳng BC P Tia MD cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Q Chứng minh tứ giác AQDP tứ giác nội tiếp 2) Cho tam giác ABC vuông cân A Các điểm D, E theo thứ tự di chuyển cạnh AB, AC cho BD AE Xác định vị trí điểm D, E cho: a) DE có độ dài nhỏ b) Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com LỜI GIẢI ĐỀ HỌC SINH GIỎI TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2017-2018 Câu 1: 1) Chứng minh n 2n n chia hết cho 36 với n nguyên dương 2) Cho ba số phân biệt a , b, c Đặt: x a b c 9ab, 2 y a b c 9bc , z a b c 9ac Chứng minh ba số x, y , z có số dương Lời giải n 2n n n n n n n n 1 n n 1 n n 1 n 1 1) Ta có: A2 A n n 1 n 1 2,3 1 A6 n n 1 n 1 36 A Đặt , ta có (đpcm) 2) Ta có: 2 2 x y z a b c 9ab a b c 9bc a b c 9ac 3 a b c ab bc ca 2 3 a b c ab bc ca a b b c c a 2 3 2 a b b c c a x y z Vì a , b, c ba số phân biệt nên Do ba số x, y , z phải có số dương Câu 2: 1) Tìm nghiệm nguyên phương trình: x y x y 1 y 1 13 2) Giải phương trình: x x 2018 2018 Lời giải 1) Ta có: 2x x y x y 1 y 1 13 x xy x xy y y y 13 0 xy x xy y y 5x y 15 7 x x y 3 y x y 3 x y 3 7 x y 3 x y 5 7 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com x y 1 x y 7 x y 2 x y 12 + TH1: x y 7 x y 4 x y 1 2 x y 6 + TH2: 10 x y 16 (loại) 10 x y (loại) x y x y x 2 x y y 2 (thỏa mãn) + TH3: 2 x y x y x y 10 x y 8 (thỏa mãn) + TH4: x y 2 x y 4 Vậy pt cho có nghiệm nguyên 2) ĐKXĐ: x 2018 , đặt x; y là: 2;2 , 2;8 x 2018 t , , t 0 t x 2018 x t 0 x x 2018 2018 x t t x x t x t 1 0 x t Ta có x t 0 2018 x 0 + TH1: x x 2018 0 897 x 2018 x 0 x x 2017 0 x t 8069 x x x + TH2: 8069 897 x x 2 Vậy phương trình cho có nghiệm là: ; Câu 3: a b2 c 2 ab bc ca 1) Cho ba số a , b, c không âm thỏa mãn điều kiện: p, q, r ba số thỏa mãn: p q r 0 Chứng minh rằng: apq bqr crp 0 2) Cho số dương a, b thỏa mãn a.b 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: M a b 1 a b2 a b Lời giải Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com 1) Từ gt: a b2 c 2 ab bc ca a b c 4bc | a b c |2 bc p q r 0 r p q Lại có: apq bqr crp apq bq p q cp p q apq bpq bq cpq cp pq a b c bq cp Ta có: bq cp | pq | bc | pq || a b c | pq a b c pq a b c bq cp 0 apq bqr crp 0 (đpcm) 2 2) Sử dụng BĐT AM – GM, ta có: a b 2ab 2 M a b 1 a b 2 a b 4 a b 1 a b a b2 a b a b a b ab 2.2 8 a b Dấu “=” xảy a b 1 Vậy giá trị nhỏ M a b 1 Câu 4: 1) Cho tam giác nhọn ABC có đường cao AD, BE , CF trực tâm H a) Chứng minh rằng: AC.BD.CE BE.CD BH b) Gọi I , J trung điểm AH BC Đường trịn đường kính AH cắt đoạn thẳng IJ K Tia AK cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC M cắt đoạn thẳng BC P Tia MD cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Q Chứng minh tứ giác AQDP tứ giác nội tiếp 2) Cho tam giác ABC vuông cân A Các điểm D, E theo thứ tự di chuyển cạnh AB, AC cho BD AE Xác định vị trí điểm D, E cho: a) DE có độ dài nhỏ b) Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ Lời giải Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com A E I F Q H P D B K J C M a) Ta có: BDH ∽ BEC (g-g) BEC ∽ ADC (g.g) BD BH BE BC BH BE BC.BD (1) BC CE = BC CD CE AC (2) AC CD Từ (1) (2) suy ra: BH BE BC CD BC.BD.CE AC AC.BD.CE BE CD BH (đpcm) b) Ta có: AEH = AFH 90 Tứ giác AEHF nội tiếp 1 IE IF AH JE JF BC IEJ IFJ (c-c-c) 2 Ta có: ; KIE KIF JIF KIE AB MC MB JIE KIF KAE KAF MAC M 2 Q MAB BDQ MBC BM BAQ QAP Tứ giác AQDP nội tiếp a) Kẻ AH BC H BC , qua D kẻ B DK AB K BC DKB 900 ABC 450 BDK vuông cân D BD DK AE Tứ giác ADKE hình chữ nhật K D H DE AK A Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: E TÀI LIỆU TỐN HỌC C Website:tailieumontoan.com Ta có: AK AH DE AH Vậy DE nhỏ K H D trung điểm AB E trung điểm AC b) a 0 ; BD AE x AD a x Đặt AB AC a , a + b ab (*) Ta chứng minh BĐT: Với a, b ta ln có: Thật vậy: (*) a b 0 Áp dụng (*) ta có: SABC = SADE (BĐT đúng) 1 a2 = AD.AE = a x x a x x 2 8 a2 a a 3a AB.AC = SBDEC SABC SADE 2 Do đó: 8 khơng đổi Dấu “=” xảy a x x x a Vậy tứ giác BDEC có diện tích nhỏ 3a 3AB2 8 D, E trung điểm AB AC Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC