56 HSG 18 BAC NINH MINH HA TRIEU

Website:tailieumontoan.com ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH BẮC NINH Năm học 2017 – 2018 Câu 1: x + x −1 + x − x −1 P= x + x −1 − x − x −1 x≥2 với x2 + = x 2) Cho x số thực dương thỏa mãn điều kiện Tính giá trị biểu thức 1) Rút gọn biểu thức: A = x5 + Câu 2: 1 ; B = x7 + x x (4,0 điểm) 1) Cho phương trình x + ( m + 1) x + m − = trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 (1) , thỏa mãn m tham số Tìm m để phương x1 − x2 − 55 + = x1 x2 + x2 x1 x1 x2  ( x + 1) + y = xy +  4 x − 24 x + 35 = y − 11 + y 2) Giải hệ phương trình Câu 3: ( ) (3,5 điểm) 1) Tìm tất số nguyên dương n −m m n , cho m + n2 chia hết cho m2 − n n + m2 chia hết cho k số nguyên dương Hãy tìm số nguyên dương nhỏ k a A có tính chất: Trong tập gồm phần tử tồn hai số phân biệt , 2) Cho tập hợp b Câu 4: cho A a + b2 gồm 16 số nguyên tố (6,0 điểm) Cho tam giác ABC cân BC A ( BM · > 90° ) ( BAC > CM ) nội tiếp đường trịn D ( O) AM bán kính R M ( O) điểm nằm cạnh Gọi giao điểm đường tròn ( BC A D H E khác ), điểm trung điểm đoạn thẳng Gọi điểm cung lớn » N BC BC ED , cắt Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com MA MD = MB.MC BN CM = BM CN 1) Chứng minh I BMD B I 2) Gọi tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác Chứng minh ba điểm , , E thẳng hàng AB = R 2MA + AD M 3) Khi , xác định vị trí để đạt giá trị nhỏ Câu 5: (2,5 điểm) x+ y+z=3 xy + yz + zx ≠ x y z 1) Cho , , số thực không âm thỏa mãn Chứng minh x +1 y +1 z +1 25 + + ≤ y + z + x + 3 xy + yz + zx ABC C CD CD K X 2) Cho tam giác vng có đường cao điểm thuộc đoạn , BK = BC T AT = AC AT AX BX điểm thuộc đoạn cho , thuộc đoạn cho , BK M MK = MT cắt Chứng minh LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH BẮC NINH NĂM HỌC 2017-2018 Câu 1: (4,0 điểm) x + x −1 + x − x −1 P= x + 2x − − x − 2x − x≥2 , với x2 + = x x 2) Cho số thực dương thỏa mãn điều kiện Tính giá trị biểu thức 1) Rút gọn biểu thức: A = x5 + x5 B = x7 + ; x7 Lời giải 1) x −1+ x −1 +1 + x −1− x −1 +1 P= = 2x −1 + 2x −1 + − 2x −1 − 2x −1 +1 2 Liên hệ tài 039.373.2038 ( )= x −1 +1+ x −1 −1 2x − + − 2x −1 + liệu word môn    = 2.2 x − = x − toán: ( ( ) ( x −1 +1 + ) 2x −1 + − (  x −1 −1 ÷  ) ) 2x − − TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com 2) 1 1    x + = ⇔  x + + ÷− = ⇔  x + ÷ = ⇒ x + = x x x x    x3 + Ta có x>0 (do )    =  x + ÷ x − + ÷ = 3.6 = 18 x  x  x    x + =  x + ÷ − = 47 x x   +)   1  5  x + ÷ x + ÷ = x + + x + = x + + 18 x  x  x x x  ⇒ x5 + +) 1 + 18 = 141 ⇔ x + = 123 x x 1    7  x + ÷ x + ÷ = x + x + + = x + + x  x  x x x  ⇒ x7 + Câu 2: 1 + = 846 ⇔ x + = 843 x x (4,0 điểm) x + ( m + 1) x + m − = (1) m m 1) Cho phương trình , tham số Tìm để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt 2) Giải hệ phương trình x1 x2 , thỏa mãn x1 − x2 − 55 + = x1 x2 + x2 x1 x1 x2  ( x + 1)2 + y = xy +  4 x − 24 x + 35 = y − 11 + y ( ) Lời giải ∆ = ( m + 1) − ( m − ) = m + ( m − 1) + > 1) Theo định lí Vi-ét ta có  x1 + x2 = − ( m + 1)   x1 x2 = m − 2 x1 − x2 − 55 ( x1 − 1) x1 + ( x2 − 1) x2 = ( x1 x2 ) + 55 + = x1 x2 + x2 x1 x1 x2 ⇔ x1 x2 x1 x2 ⇒ x12 − x1 + x22 − x2 = ( x1 x2 ) + 55 ⇔ ( x1 + x2 ) − x1 x2 − ( x1 + x2 ) − ( x1 x2 ) − 55 = Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com ( − ( m + 1) ⇔ ) − ( m − ) + ( m + 1) − ( m − ) − 55 = 2 ⇔ ( m + 2m + 1) − 4m + + m + − m + 4m − − 55 = ⇔ m + 2m − 24 = Đặt (2) m = a ( a ≥ 0) a + 2a − 24 = Phương trình (2) trở thành ∆′ = 25 > ⇒ Ta có phương trình có nghiệm: a1 = a = −6 a =9 (ĐK ⇔ y − 11 y = 10 − y ⇔ y − 11 = ( 10 − y ) 2 ( y − 11 + y ) 11 ⇔ y − 29 y + 100 =  y = 25(TM ) ⇔  y = 4(TM ) +) Thay y = x+3 x − 24 x + 35 = vào phương trình (2) ta ( ( x + 3) − 11 + x + ) ⇔ x − 24 x + 35 = x − + x + ⇔ x − 24 x + 35 − 3x − − x + = Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com ( ) ( ) ⇔ x − 28 x + 24 + 3x + − x − + x + − x + = ⇔ ( x − 1) ( x − ) + ( x − 1) ( x − ) x + + 3x − + ( x − 1) ( x − ) x +9+5 x +3 =0   ⇔ ( x − 1) ( x − )  + + ÷= 3x + + 3x − x + + x +   Vì   + 4 + ÷ > 0, ∀x ≥ 3x + + 3x − x + + x +    x =1⇒ y = ⇔ ⇒ ( x − 1) ( x − ) = x = ⇒ y = Vậy nghiệm Câu 3: ( x; y ) hệ là: ( 1; ) ( 1; 25) ( 6;9 ) , , (3,5 điểm) 1) Tìm tất số nguyên dương chia hết cho n2 − m m n , cho m + n2 chia hết cho m2 − n n + m2 k số nguyên dương Hãy tìm số nguyên dương nhỏ k a A có tính chất: Trong tập gồm phần tử tồn hai số phân biệt , 2) Cho tập hợp b cho A a + b2 gồm 16 số nguyên tố Lời giải  m + n Mm − n  2  n + m Mn − m 1) (1) ( m − n + 1) ( m + n ) ≥ m + n ≥ m2 − n ⇔ ⇔  2 ( n − m + 1) ( m + n ) ≥ n + m ≥ n − m m − n + ≥ ⇔ n − m + ≥ (do m n , nguyên dương) ⇔ −1 ≤ m − n ≤ m − n = −1 ⇔ m = n − *) TH1: m + n Mm − n +) m + n2 ⇒ m − n ∈Ζ Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com ⇒ n − + n2 ( n − 1) (n ⇒ ⇒ 2 − n ∈Ζ − 3n + 1) + 4n − n − 3n + ∈Ζ 4n − n − 3n + ∈ Ζ ⇒ n − 3n + ≤ 4n − 2 ⇒ n − 7n + ≤ ⇒ − 37 + 37 ≤n≤ 2 n ∈ Ν * ⇒ n ∈ { 1;2;3;4;5;6} ⇒ m ∈ { 1;2;3; 4;5} Thử lại vào (1) ta tìm cặp m−n =0⇔m=n *) TH2: ( m; n ) thỏa mãn là: ( 2;3) m + n Mm − n ⇒ m + n2 m2 − n ∈ Ζ n − n ) + 2n ( n + n2 ⇒ ⇒ ⇒ n −1 ∈ Ζ n − n ∈Ζ n −n ∈Ζ ⇒ n −1 ≤ ⇒ n ≤ Vì n ∈ Ν * ⇒ n ∈ { 1;2;3} ⇒ m ∈ { 1;2;3} Thử lại vào (1) ta tìm cặp số m − n = ⇔ m = n +1 *) TH3: ( m; n ) thỏa mãn là: ( 2;2 ) ( 3;3) , n + m Mn − m n + ( n + 1) n + m2 n + 3n + ⇒ ⇒ ⇒ n − m ∈Ζ n − n −1 ∈ Ζ n − n −1 ∈ Ζ ⇒ 4n + n − n − ∈ Ζ ⇒ n − n − ≤ 4n + ⇒ n − 5n − ≤ − 37 + 37 ≤n≤ ⇒ 2 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Vì n ∈ Ν * ⇒ n ∈ { 1;2;3;4;5} ⇒ m ∈ { 2;3;4;5;6} Thử lại vào (1) ta cặp số 2) Ta xét tập T ( m; n ) thỏa mãn là: gồm số chẵn thuộc tập A Khi ( 3;2 ) | T |= với a b , thuộc T ta có a + b2 k ≥9 , Xét cặp số sau: A = { 1; 4} ∪ { 3;2} ∪ { 5;16} ∪ { 6;15} ∪ { 7;12} ∪ { 8;13} ∪ { 9;10} ∪ { 11;14} Ta thấy tổng bình phương cặp số số nguyên tố | T |= A T T Xét tập , theo ngun lí Dirichlet chứa cặp nói k = Vậy Câu 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC cân A · > 90° ) ( BAC nội tiếp đường trịn ( O) bán kính R M ( O) BC ( BM > CM ) AM D điểm nằm cạnh Gọi giao điểm đường tròn ( BC A D H E khác ), điểm trung điểm đoạn thẳng Gọi điểm cung lớn » N BC BC ED , cắt MA MD = MB.MC BN CM = BM CN 1) Chứng minh I BMD B I 2) Gọi tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác Chứng minh ba điểm , , E thẳng hàng AB = R 2MA + AD M 3) Khi , xác định vị trí để đạt giá trị nhỏ Lời giải Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com ∆MAB : ∆MCD 1) +) Ta có (g.g) MA MB ⇒ = MC MD ⇒ MA MD = MB.MC +) Theo gt (1) A (đpcm) điểm cung nhỏ BC ⇒ DA tia phân giác · BDC ∆BDC (O ) BC ⇒ AE E Mặt khác, điểm cung lớn đường kính · ⇒ ADE = 90° ⇒ DA ⊥ DN (2) · ⇒ DN BDC ∆BDC Từ (1) (2) tia phân giác ngồi Do đó, theo tính chất cảu tia phân giác tia phân giác ngồi tam giác ta có: BM BD BN = = CM CD CN ⇒ BM CN = BN CM (đpcm) (I) J BE 2) Kẻ cắt · · EBD = EAD Ta có · · BJD = DMC (góc trong- góc ngồi) · · · · EAD + DMC = 90° ⇒ EBD + BJD = 90° Mà ⇒ I ∈ BJ ⇒ BD ⊥ JD ⇒ BJ I ∈ BE đường kính hay ⇒ B I E , , thẳng hàng (đpcm) ∆HAM ∽ ∆DAE 3) (g.g) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com AM AH = ⇒ AE AD ⇒ AM AD = AH AE Với AE = R ⇒ AM AD = AH = ; AB R = AE R2 Theo BĐT Cô- si: AM + AD ≥ 2 AM AD = 2 R2 =R OA BC AM = AD GTNN đạt khi: ⇒ M AD trung điểm ⇒ OM ⊥ AD ⇒ M Câu 5: giao điểm đường trịn đường kính với (2,5 điểm) y z x+ y+z=3 xy + yz + zx ≠ 1) Cho , , số thực không âm thỏa mãn Chứng minh x +1 y +1 z +1 25 + + ≤ y + z + x + 3 xy + yz + zx ABC C CD CD K X 2) Cho tam giác vng có đường cao điểm thuộc đoạn , BK = BC T AT = AC AT AX BX điểm thuộc đoạn cho , thuộc đoạn cho , BK M MK = MT cắt Chứng minh Lời giải 1) Áp dụng bất đẳng thức AM-GM: 25 25 25 VT = 3 2.2 ( xy + yz + zx ) ≥ xy + yz + zx + = xy + yz + zx + x + y + z + x ≥ 25 ( x + 1) ( y + 1) ( z + 1) ∑ ( x + 1) ( y + 1) ≤ 25 Cần chứng minh Sau rút gọn, BĐT trở thành Giả sử Liên hệ tài 039.373.2038 y nằm liệu x word z x2 y + y 2z + z2x ≤ , suy môn ( y − x) ( y − z) ≤ toán: hay y + zx ≤ xy + yz TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com y z + z x ≤ xyz + yz Do x y + y z + z x ≤ x y + xyz + yz ≤ y ( z + x ) 2 2 ( y + z + x + z + x) 2 1 y ( z + x ) ( z + x ) ≤ 54 = =4 2) Vẽ đường trịn Kẻ AX Ta có cắt (I) , ·AYB = 90° · BZA = 90° ⇒X ( A; AC ) ( B; BC ) Y BX cắt (I ) (I ) ngoại tiếp ∆ABC Z AZ BY P , cắt (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ( I ) ⇒ AY ⊥ BP ) ( I ) ⇒ BZ ⊥ AP (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ) trực tâm Ta thấy , đường tròn ∆ABP 2 ∆ABC ∽ ∆ACD ⇒ AC = AD AB = AT ⇒ ·ATD = ·ABT Tương tự, ta có Ta có · · · ⇒ APD = ABZ = ATZ ⇒ AT ⊥ PT ⇒ PK = PT liệu tứ giác ADTP tứ giác nội tiếp (1) Tương tự, ta có Liên hệ tài 039.373.2038 · · BKD = BAK BK ⊥ PK (2) (3) word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Từ (1), (2), (3), suy ⇒ MK = MT Liên hệ tài 039.373.2038 liệu ∆MKP = ∆MTP (cạnh huyền – cạnh góc vng) (đpcm) word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC ... BX điểm thuộc đoạn cho , thuộc đoạn cho , BK M MK = MT cắt Chứng minh LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH BẮC NINH NĂM HỌC 2017-2 018 Câu 1: (4,0 điểm) x + x −1 + x − x −1 P= x + 2x − − x − 2x − x≥2...  =  x + ÷ x − + ÷ = 3.6 = 18 x  x  x    x + =  x + ÷ − = 47 x x   +)   1  5  x + ÷ x + ÷ = x + + x + = x + + 18 x  x  x x x  ⇒ x5 + +) 1 + 18 = 141 ⇔ x + = 123 x x 1  ...Website:tailieumontoan.com MA MD = MB.MC BN CM = BM CN 1) Chứng minh I BMD B I 2) Gọi tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác Chứng minh ba điểm , , E thẳng hàng AB = R 2MA + AD M 3) Khi , xác định