68 HSG 18 bắc NINH BUI CAM

Website:tailieumontoan.com ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH BẮC NINH NĂM HỌC 2017 – 2018 Câu 1: (4,0 điểm) P= 1) Rút gọn biểu thức: 2) Cho x + x −1 + x − x −1 x + 2x −1 − x − x −1 x , với số thực dương thỏa mãn điều kiện 1 A = x5 + B = x7 + x x biểu thức ; Câu 2: x≥2 x2 + = x Tính giá trị (4,0 điểm) x + (m + 1) x + m − = (1) m m 1) Cho phương trình , tham số Tìm để x1 x2 (1) phương trình có hai nghiệm phân biệt , thỏa mãn x1 − x2 − 55 + = x1 x2 + x2 x1 x1 x2  ( x + 1) + y = xy +  4 x − 24 x + 35 = y − 11 + y 2) Giải hệ phương trình ( Câu 3: ) (3,5 điểm) m n m + n2 1) Tìm tất số nguyên dương , cho chia hết cho 2 m −n n+m n −m chia hết cho A 2) Cho tập hợp gồm 16 số nguyên dương Hãy tìm số k k ngun dương nhỏ có tính chất: Trong tập gồm phần 2 a b a +b A tử tồn hai số phân biệt , cho số nguyên tố Câu 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC · > 90° ) ( BAC ( O) nội tiếp đường tròn bán BC ( BM > CM ) R M D kính điểm nằm cạnh Gọi giao điểm ( O) D AM A H đường tròn ( khác ), điểm trung điểm đoạn » BC BC BC N E ED thẳng Gọi điểm cung lớn , cắt Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word cân A mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com MA.MD = MB.MC BN CM = BM CN 1) Chứng minh I BMD 2) Gọi tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác Chứng minh B I E ba điểm , , thẳng hàng AB = R M MA + AD 3) Khi , xác định vị trí để đạt giá trị nhỏ Câu 5: (2,5 điểm) x y x+ y+z =3 z 1) Cho , , số thực không âm thỏa mãn xy + yz + zx ≠ Chứng minh x +1 y +1 z +1 25 + + ≤ y + z + x + 3 xy + yz + zx ABC C CD X 2) Cho tam giác vng có đường cao điểm CD K BK = BC T AX thuộc đoạn , điểm thuộc đoạn cho , thuộc AT = AC AT BX BK M đoạn cho , cắt Chứng minh MK = MT ……………….HẾT…………… Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Giám thị khơng giải thích thêm LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH BẮC NINH NĂM HỌC 2017 – 2018 Câu 1: (4,0 điểm) P= 1) Rút gọn biểu thức: 2) Cho x + x −1 + x − x −1 x + 2x −1 − x − 2x −1 , với x2 + x số thực dương thỏa mãn điều kiện 1 A = x5 + B = x7 + x x biểu thức ; x≥2 =7 x2 Tính giá trị Lời giải P= 1) Rút gọn biểu thức: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word môn x + x −1 + x − x −1 x + 2x −1 − x − 2x −1 tốn: , với x≥2 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Ta có: x −1+ x −1 + + x −1− x −1 + P= = 2x − + 2 x −1 + − x − − 2x −1 + 2 ( )= x −1 +1+ x −1 −1 x − + − x −1 + 2) Cho    = ( 2.2 x − = x − ( ) ) ( 2x −1 +1 −  x −1 −1 ÷  ( x −1 +1 + ) ) 2x −1 −1 x2 + x số thực dương thỏa mãn điều kiện 1 A = x5 + B = x7 + x x biểu thức ; =7 x2 Tính giá trị 1 1    x + = ⇔  x + + ÷− = ⇔  x + ÷ = ⇒ x + = x x x x    Ta có: x3 + Ta có (do x>0 )    =  x + ÷ x − + ÷ = 3.6 = 18 x  x  x    x + =  x + ÷ − = 47 x  x  +)   1  5  x + ÷ x + ÷ = x + + x + = x + + 18 x  x  x x x  ⇒ x5 + +) 1    7  x + ÷ x + ÷ = x + x + + = x + + x  x  x x x  ⇒ x7 + Câu 2: 1 + 18 = 141 ⇔ x + = 123 x x 1 + = 846 ⇔ x + = 843 x x (4,0 điểm) x + ( m2 + 1) x + m − = (1) 1) Cho phương trình (1) phương trình có hai x1 − x2 − 55 + = x1 x2 + x2 x1 x1 x2 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn nghiệm tốn: phân m tham số Tìm để x1 x2 biệt , thỏa mãn , m TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com  ( x + 1) + y = xy +  4 x − 24 x + 35 = y − 11 + y ( ) 2) Giải hệ phương trình Lời giải x + (m + 1) x + m − = (1) m m 1) Cho phương trình , tham số Tìm để x1 x2 (1) phương trình có hai nghiệm phân biệt , thỏa mãn x1 − x2 − 55 + = x1 x2 + x2 x1 x1 x2 2 ∆ = ( m2 + 1) − ( m − ) = m4 + ( m − 1) + > Ta có: Theo định lí Vi-ét ta có  x1 + x2 = − ( m2 + 1)   x1 x2 = m − 2 x1 − x2 − 55 + = x1 x2 + x2 x1 x1 x2 ⇔ ( x1 − 1) x1 + ( x2 − 1) x2 = ( x1 x2 ) x1 x2 + 55 x1 x2 ⇒ x12 − x1 + x22 − x2 = ( x1 x2 ) + 55 ⇔ ( x1 + x2 ) − x1 x2 − ( x1 + x2 ) − ( x1 x2 ) − 55 = 2 2 2   ⇔  − ( m + 1)  − ( m − ) + ( m + 1) − ( m − ) + 55 = 2 ⇔ ( m + 2m + 1) − 4m + + m + − m + 4m − − 55 = ⇔ m + 2m − 24 = Đặt m2 = a ( a ≥ 0) (2) a + 2a − 24 = Phương trình (2) trở thành ∆′ = 25 > ⇒ Ta có phương trình có nghiệm: a1 = a2 = −6 a 0, ∀x ≥ x + + x − x + + x +   Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com  x =1⇒ y = ⇔ ⇒ ( x − 1) ( x − ) = x = ⇒ y = Vậy nghiệm Câu 3: ( x; y ) hệ là: ( 1; ) ( 6;9 ) , (3,5 điểm) m n m + n2 n m + n2 1) Tìm tất số nguyên dương , cho chia hết cho 2 m −n n+m n −m chia hết cho A 2) Cho tập hợp gồm 16 số nguyên dương Hãy tìm số k k ngun dương nhỏ có tính chất: Trong tập gồm phần a b a + b2 A tử tồn hai số phân biệt , cho số nguyên tố Lời giải m 1) Tìm tất số nguyên dương , 2 m −n n+m n −m chia hết cho 2  m + n Mm − n  2  n + m Mn − m Ta có: (1) m + n2 ≥ m − n ( n − m + 1) ( m + n ) ≥ ⇔ ⇔ 2 ( m − n + 1) ( m + n ) ≥ n + m ≥ n − m n − m + ≥ ⇔ m − n + ≥ ⇔ −1 ≤ m − n ≤ (do cho chia hết cho m n , nguyên dương) m − n = −1 ⇔ m = n − *) TH1: m + n Mm − n +) n − + n2 n − 3n + + 4n − m + n2 ⇒ ⇒ ⇒ ( n − 1) − n ∈ Ζ m −n ∈Ζ n − 3n + ∈Ζ ( ⇒ ) 4n − n − 3n + ∈ Ζ ⇒ n − 3n + ≤ 4n − 2 ⇒ n − 7n + ≤ Liên hệ tài 039.373.2038 liệu ⇒ word − 37 + 37 ≤n≤ 2 mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com n ∈ Ν* ⇒ n ∈ { 1; 2; 3; 4; 5; 6} ⇒ m ∈ { 0; 1; 2; 3; 4; 5} Thử lại vào (1) ta tìm cặp m−n = ⇔ m = n *) TH2: m + n Mm − n ( ( m; n ) thỏa mãn là: ( 1; ) , ( 2; 3) ) n − n + 2n m + n2 n + n2 ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ m −n ∈Ζ n −n ∈Ζ n −n n −1 ∈ Ζ ∈Ζ ⇒ n −1 ≤ ⇒ n ≤ Vì n ∈ Ν* ⇒ n ∈ { 1; 2;3} ⇒ m ∈ { 1; 2;3} Thử lại vào (1) ta tìm cặp số m − n = ⇔ m = n +1 *) TH3: n + m Mn − m ( m; n ) thỏa mãn là: ( 2; ) ( 3;3) , n + ( n + 1) n + m2 n + 3n + ⇒ ⇒ ⇒ n −m ∈Ζ n − n −1 ∈ Ζ n − n −1 ∈ Ζ ⇒ 4n + n − n − ∈ Ζ ⇒ n − n − ≤ n + ⇒ n − 5n − ≤ − 37 + 37 ≤n≤ ⇒ 2 Vì n ∈ Ν * ⇒ n ∈ { 1; 2;3; 4;5} ⇒ m ∈ { 2;3; 4;5;6} ( m; n ) ( 2; 1) , ( 3; ) Thử lại vào (1) ta cặp số thỏa mãn là: ( m, n ) Vậy cặp nguyên dương thỏa mãn ( 1; ) , ( 2; 1) , ( 2; 3) , ( 3; ) , ( 2; ) , ( 3; 3) A 2) Cho tập hợp gồm 16 số nguyên dương Hãy tìm số k k ngun dương nhỏ có tính chất: Trong tập gồm phần 2 a b a +b A tử tồn hai số phân biệt , cho số nguyên tố Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com | T |= a b gồm số chẵn thuộc tập Khi với , k ≥9 a + b2 T thuộc ta có hợp số, Xét cặp số sau: A = { 1; 4} ∪ { 3; 2} ∪ { 5;16} ∪ { 6;15} ∪ { 7;12} ∪ { 8;13} ∪ { 9;10} ∪ Ta xét tập T A { 11;14} Ta thấy tổng bình phương cặp số số nguyên tố | T |= T A T Xét tập , theo ngun lí Dirichlet chứa cặp nói kmin = Vậy Câu 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC cân A · > 90° ) ( BAC ( O) nội tiếp đường tròn bán BC ( BM > CM ) R M D kính điểm nằm cạnh Gọi giao điểm ( O) D AM A H đường tròn ( khác ), điểm trung điểm đoạn » BC BC N BC E ED thẳng Gọi điểm cung lớn , cắt MA.MD = MB.MC BN CM = BM CN 1) Chứng minh I BMD 2) Gọi tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác Chứng minh B I E ba điểm , , thẳng hàng AB = R M MA + AD 3) Khi , xác định vị trí để đạt giá trị nhỏ Lời giải 1) Chứng minh Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word MA.MD = MB.MC mơn tốn: BN CM = BM CN TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com ∆MAB # ∆MCD +) Ta có (g.g) MA MB ⇒ = MC MD ⇒ MA.MD = MB.MC (đpcm) BC ⇒ DA A +) Theo gt điểm cung nhỏ tia phân giác · BDC ∆BDC (1) BC ⇒ AE E Mặt khác, điểm cung lớn đường kính (O) ⇒ ·ADE = 90° ⇒ DA ⊥ DN (2) · BDC ⇒ DN ∆BDC Từ (1) (2) tia phân giác ngồi Do đó, theo tính chất tia phân giác tia phân giác tam giác ta có: BM BD BN = = CM CD CN ⇒ BM CN = BN CM (đpcm) I 2) Gọi tâm đường tròn ngoại BMD tiếp tam giác Chứng minh B I E ba điểm , , thẳng hàng (I ) J BE Kẻ cắt · · EBD = EAD Ta có · · · BMD ) BJD = DMC (cùng bù với · · · · EAD + DMC = EAD + HMA = 90° Mà · · ⇒ EBD + BJD = 90° ⇒ BD ⊥ JD ⇒ BJ ⇒ B đường kính ⇒ I ∈ BJ hay I ∈ BE E , thẳng hàng (đpcm) AB = R M MA + AD 3) Khi , xác định vị trí để đạt giá trị nhỏ ∆HAM # ∆DAE Ta có: (g.g) AM AH = ⇒ AE AD ⇒ AM AD = AH AE Liên hệ tài 039.373.2038 , I liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Với AE = R AH = ; Theo BĐT Cô- si: AB R R2 = ⇒ AM AD = AE R2 = 2 =R 2 AM + AD ≥ 2 AM AD AM = AD GTNN đạt khi: ⇒ M AD ⇒ OM ⊥ AD trung điểm ⇒ M OA BC giao điểm đường trịn đường kính với Câu 5: (2,5 điểm) x y x+ y+z =3 z 1) Cho , , số thực không âm thỏa mãn xy + yz + zx ≠ Chứng minh x +1 y +1 z +1 25 + + ≤ y + z + x + 3 xy + yz + zx ABC C CD X 2) Cho tam giác vuông có đường cao điểm CD K BK = BC AX T thuộc đoạn , điểm thuộc đoạn cho , thuộc AT = AC AT BX BK M đoạn cho , cắt Chứng minh MK = MT Lời giải x+ y+z =3 x y z 1) Cho , , số thực không âm thỏa mãn xy + yz + zx ≠ Chứng minh x +1 y +1 z +1 25 + + ≤ y + z + x + 3 xy + yz + zx Áp dụng bất đẳng thức AM-GM: 25 25 25 VT = 3 2.2 ( xy + yz + zx ) ≥ xy + yz + zx + = xy + yz + zx + x + y + z + ≥ 25 ( x + 1) ( y + 1) ( z + 1) ∑ ( x + 1) ( y + 1) ≤ 25 Cần chứng minh Sau rút gọn, BĐT trở thành Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: x2 y + y z + z x ≤ TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Giả sử y x z nằm , suy y z + z x ≤ xyz + yz ( y − x) ( y − z ) ≤ hay y + zx ≤ xy + yz Do x y + y z + z x ≤ x y + xyz + yz ≤ y ( z + x ) ( y + z + x + z + x) 1 y ( z + x ) ( z + x ) ≤ 54 = 2 =4 ABC C CD X 2) Cho tam giác vng có đường cao điểm CD K BK = BC T AX thuộc đoạn , điểm thuộc đoạn cho , thuộc AT = AC AT BX BK M đoạn cho , cắt Chứng minh MK = MT ( A; AC ) ( B; BC ) (I ) ∆ABC Vẽ đường tròn , đường tròn ngoại tiếp Kẻ AX Ta có cắt ·AYB = 90° · BZA = 90° ⇒X (I ) Y , cắt (I ) Z , AZ cắt BY (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn trực tâm Ta thấy BX (I ) ) P (I ) ) ⇒ AY ⊥ BP ⇒ BZ ⊥ AP ∆ABP ∆ABC # ∆ACD ⇒ AC = AD AB = AT ⇒ ∆ATD # ∆ABT (c.g c ) ⇒ ·ATD = ·ABT Tương tự, ta có Ta có · · BKD = BAK ·APD = ·ABZ = ·ATD ⇒ ⇒ AT ⊥ PT BK ⊥ PK liệu tứ giác nội tiếp (2) (3) Từ (1), (2), (3), suy Liên hệ tài 039.373.2038 ADTP (1) Tương tự, ta có ⇒ PK = PT tứ giác word ∆MKP = ∆MTP mơn tốn: (cạnh huyền – cạnh góc vng) TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com ⇒ MK = MT (đpcm) …………… HẾT…………… Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC ... sinh khơng sử dụng tài liệu Giám thị khơng giải thích thêm LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH BẮC NINH NĂM HỌC 2017 – 2 018 Câu 1: (4,0 điểm) P= 1) Rút gọn biểu thức: 2) Cho x + x −1 + x − x −1 x + 2x... có (do x>0 )    =  x + ÷ x − + ÷ = 3.6 = 18 x  x  x    x + =  x + ÷ − = 47 x  x  +)   1  5  x + ÷ x + ÷ = x + + x + = x + + 18 x  x  x x x  ⇒ x5 + +) 1    7  x +... x  ⇒ x5 + +) 1    7  x + ÷ x + ÷ = x + x + + = x + + x  x  x x x  ⇒ x7 + Câu 2: 1 + 18 = 141 ⇔ x + = 123 x x 1 + = 846 ⇔ x + = 843 x x (4,0 điểm) x + ( m2 + 1) x + m − = (1) 1) Cho