Đề HSG Tỉnh Bắc Ninh 2011

ĐỀ CHÍNH THỨC UBND TỈNH BẮC NINH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2010 – 2011 MÔN THI: TOÁN – LỚP 12 – THPT Thời gian làm bài: 180 phút (Không kể thời gian giao đề) Ngày thi 22 tháng 3 năm 2011 ================ Câu 1:(5 điểm) 1/ Cho hàm số 3 y x 3x 2= − + có đồ thị là (T). Giả sử A, B, C là ba điểm thẳng hàng trên (T), tiếp tuyến của (T) tại các điểm A, B, C lần lượt cắt (T) tại các điểm A’, B’, C’ (tương ứng khác A, B, C). Chứng minh rằng A’, B’, C’ thẳng hàng. 2/ Cho hàm số 2n 1 y x 2011x 2012 (1) + = + + , chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n đồ thị hàm số (1) luôn cắt trục hoành tại đúng một điểm. Câu 2:(5 điểm) 1/ Giải phương trình: ( ) 2 4 6 3 5 7 log x log x log x log x log x log x x+ + = + + ∈¡ . 2/ Giải phương trình: ( ) ( ) 2 2 1 1 5x 6 x x 5x 7 x 1 − − = − ∈ − − ¡ . Câu 3:(3 điểm) Kí hiệu k n C là tổ hợp chập k của n phần tử ( ) 0 k n; k,n≤ ≤ ∈¢ , tính tổng sau: 0 1 2 2009 2010 2010 2010 2010 2010 2010 S C 2C 3C 2010C 2011C= + + + + + . Câu 4:(5 điểm) 1/ Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, có đáy ABCD là hình bình hành, ( ) AD 4a a 0= > , các cạnh bên của hình chóp bằng nhau và bằng a 6 . Tìm cosin của góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) khi thể tích của khối chóp S.ABCD là lớn nhất. 2/ Cho tứ diện ABCD có · · 0 0 BAC 60 ,CAD 120= = . Gọi E là chân đường phân giác trong góc A của tam giác ABD. Chứng minh rằng tam giác ACE vuông. Câu 5:(2 điểm) Cho hai số thực x, y thỏa mãn: 2 2 x y+ ≤ π . Chứng minh rằng: ( ) cos x cos y 1 cos xy+ ≤ + . …………………… HẾT…………………… (Đề thi gồm có 01 trang) UBND TỈNH BẮC NINH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2010 - 2011 MÔN THI : TOÁN – LỚP 12 – THPT Ngày thi 22 tháng 3 năm 2011 ============== Câu Cách giải Điểm Câu 1 (5 đ) Câu 1.1 (3 điểm) Gọi ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 3 3 A x ;y ,B x ; y ,C x ; y là 3 điểm thẳng hàng trên (T) và thuộc đường thẳng : y ax b∆ = + . PT tiếp tuyến tại A là: ( ) ( ) 2 1 1 1 y 3x 3 x x y= − − + (d 1 ). 0,5 Xét PT: ( ) ( ) 3 2 3 1 1 1 1 x 3x 2 3x 3 x x x 3x 2− + = − − + − + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 1 1 1 x x x xx x 3 x x 3x 3 x x 0⇔ − + + − − − − − = 0,5 ( ) ( ) 2 1 1 1 1 x x x x x 2x 0 x 2x =  ⇔ − + = ⇔  = −  ⇒ d 1 cắt (T) tại ( ) 1 1 A' x' ; y' với 1 1 x ' 2x= − 0,5 ( ) 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 y' x ' 3x ' 2 8x 6x 2 8 x 3x 2 18x 18= − + = − + + = − − + − + ( ) ( ) 1 1 1 1 1 8y 18x 18 8 ax b 18x 18 4a 9 x' 18 8b= − − + = − + − + = + + − 1 Chứng minh tương tự A’, B’, C’ cùng thuộc đường thẳng có PT: ( ) ': y 4a 9 x 18 8b∆ = + + − . Suy ra, đpcm Chú ý: Học sinh có thể chứng minh và sử dụng bổ đề: “Cho ba điểm ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 3 3 A x ;y ,B x ; y ,C x ; y thuộc đồ thị hàm số ( ) 3 2 y ax bx cx d a 0= + + + ≠ , A, B, C thẳng hàng 1 2 3 b x x x a − ⇔ + + = .” 0,5 Câu 1.2 (2 điểm) Xét hàm số: ( ) 2n 1 f x x 2011x 2012 + = + + . ( ) ( ) 2n f ' x 2n 1 x 2011 0, x= + + > ∀ ∈¡ nên hàm số đồng biến trên ¡ . Suy ra, PT f(x)=0 có nhiều nhất một nghiệm. 0,5 Vì ( ) 2n 1 2n 2n 1 x x 2011 2012 lim f x lim x 1 b 0 x x + + →+∞ →+∞   = + + = +∞ ⇒ ∃ >  ÷   để ( ) f b 0> . 0,5 ( ) 2n 1 2n 2n 1 x x 2011 2012 lim f x lim x 1 a 0 x x + + →−∞ →−∞   = + + = −∞ ⇒ ∃ <  ÷   để ( ) f a 0< . 0,5 ( ) ( ) f a .f b 0⇒ < , suy ra PT ( ) f x 0= có nghiệm thuộc (a;b). Từ đó suy ra, đồ thị hàm số (1) luôn cắt trục hoành tại đúng một điểm. Chú ý: Học sinh có thể tính x x lim f (x), lim f (x) →+∞ →−∞ rồi lập bảng biến thiên và suy ra 0,5 f(x)=0 có nghiệm duy nhất. Câu 2 (5 đ) Câu 2.1 (2,5 điểm) Giải phương trình: 2 4 6 3 5 7 log x log x log x log x log x log x+ + = + + (1) ( ) 2 4 2 6 2 3 2 5 2 7 2 1 log x log 2.log x log 2.log x log 2log x log 2.log x log 2.log x⇔ + + = + + 0,75 ( ) 2 4 6 3 5 7 log x 1 log 2 log 2 log 2 log 2 log 2 0⇔ + + − − − = (2) 0,75 Ta có: 3 1 log 2 0− > , 4 5 2 2 1 1 log 2 log 2 0 log 4 log 5 − = − > , 6 7 2 2 1 1 log 2 log 2 0 log 6 log 7 − = − > nên 4 6 3 5 7 1 log 2 log 2 log 2 log 2 log 2 0+ + − − − > 0,5 (2) 2 log x 0 x 1⇔ = ⇔ = . Vậy PT có nghiệm x 1= . 0,5 Câu 2.2 (2,5 điểm) Giải phương trình: ( ) 2 2 1 1 5x 6 x 5x 7 x 1 − − = − − − (1) ĐK: 7 x 5 > . Xét hàm số: ( ) 2 1 f t t t 1 = − − với 7 t 5 > 0,5 ( ) ( ) 3 1 7 f ' t 2t 0, t 5 2 t 1 = + > ∀ > − . Suy ra, f(t) đồng biến trên 7 ; 5   +∞  ÷   1 ( ) ( ) ( ) 1 f 5x 6 f x⇔ − = 0,5 3 5x 6 x x 2 ⇔ − = ⇔ = (thỏa mãn). Vậy PT có nghiệm duy nhất 3 x 2 = . Chú ý: Nếu HS ghi ĐK t > 1 và chỉ ra hàm số f(t) đồng biến trên ( ) 1;+∞ thì điểm vẫn cho tối đa. 0,5 Câu 3 (3 đ) Kí hiệu k n C là tổ hợp chập k của n phần tử ( ) 0 k n; k,n≤ ≤ ∈¢ , tính tổng sau: 0 1 2 2009 2010 2010 2010 2010 2010 2010 S C 2C 3C 2010C 2011C= + + + + + . Xét hàm số: ( ) ( ) 2010 f x x 1 x= + 0,5 Ta có: ( ) 2010 0 1 2 2 2010 2010 2010 2010 2010 2010 1 x C C x C x C x+ = + + + + 0,25 ( ) ( ) 2010 0 1 2 2 3 2010 2011 2010 2010 2010 2010 f x x 1 x C x C x C x C x⇒ = + = + + + + 0,25 ( ) ( ) 0 1 2 2 3 2010 2011 2010 2010 2010 2010 0 1 2 2 2010 2010 2010 2010 2010 2010 f ' x C x C x C x C x ' C 2C x 3C x 2011C x ⇒ = + + + + = + + + + 0,5 Mặt khác ( ) ( ) ( ) ( ) 2010 2010 2009 f ' x x 1 x ' 1 x 2010x 1 x   = + = + + +   0,5 Với x=1 ta được: 0 1 2 2009 2010 2010 2010 2010 2010 2010 S C 2C 3C 2010C 2011C= + + + + + 0,5 ( ) 2011 f ' 1 503.2= = KL: 2011 S 503.2= . 0,5 Câu 4 (5đ) Câu 4.1 (3 điểm) Gọi O là giao điểm của AC và BD do ∆SAC, ∆SBD cân tại S nên ( ) SO AC, SO BD SO ABCD⊥ ⊥ ⇒ ⊥ . 0,25 Từ giả thiết suy ra OA OB OC OD= = = ⇒ ABCD là hình chữ nhật. 0,25 Đặt 2 2 AB x, x 0 AC 16a x= > ⇒ = + 2 2 2 2 16a x 8a x AO SO 2 2 + − ⇒ = ⇒ = 0,25 2 2 ABCD 1 8a x V 4a.x. 3 2 − ⇒ = 0,25 ( ) 3 2 2 2 a 8a . x 8a x 3 3 ≤ + − = 0,25 3 ABCD 8a V max 3 ⇒ = khi x 2a= . 0,25 Suy ra, SO=a. 0,25 Chọn hệ tọa độ như hình vẽ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) O 0;0;0 , S 0;0;a , B a; 2a;0 , C a;2a;0 , D a;2a;0− − − . 0,25 Tìm được vtpt của mp(SBC) là ( ) SBC n 1;0; 1− uuuur , 0,25 vtpt của mp(SCD) là ( ) SCD n 0;1;2 uuuur . 0,25 2 cos 10 ⇒ ϕ = , với ϕ là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD). 0,25 Vậy cosin của góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) (khi ABCD V lớn nhất) bằng 2 10 . 0,25 Chú ý: Học sinh có thể tính thể tích của khối chóp S.ABCD bằng cách đặt SO=x Khi đó, 2 2 S.ABCD 1 V .4a.x. 8a 4x 3 = − lời giải hoàn toàn tương tự. Câu 4.2( 2 điểm) Đặt AB AD AC u , v , w u v w 1 AB AD AC = = = ⇒ = = = uuur uuur uuur r r uur r r uur . 0,5 AE nhận AE u u v= + uuur r r là vectơ chỉ phương. 0,5 Ta có ( ) 0 0 AE u .w u v w uw vw u w cos60 v w cos120 0= + = + = + = uuur uur r r uur ruur ruur r uur r uur . 0,5 AE AC⇒ ⊥ hay ∆ACE vuông tại A. 0,5 Câu 5 (2 đ) Do hàm y cos x= là hàm chẵn nên ta chỉ cần xét với x 0, y 0≥ ≥ . Ta có 2 2 2 x y x y x y 0 xy 0 2 2 2 2 2 + + π + π   ≤ ≤ ≤ ≤ ⇒ ≤ ≤  ÷   0,25 x y x y x y cos x cos y 2cos cos 2cos 2 2 2 + − + + = ≤ ( ) 2 x y 1 cos xy 1 cos 2 +   + ≥ +  ÷   0,25 Ta sẽ chứng minh 2 x y x y 2cos 1 cos 2 2 + +     ≤ +  ÷  ÷     (1) Đặt x y t, t 0; 2 2   + π = ∈     , (1) trở thành 2 1 cos t 2cos t 0+ − ≥ Xét hàm số 2 f (t) 1 cos t 2cost= + − với t 0; 2   π ∈     0,25 ( ) 2 2 f '(t) 2t sin t 2sin t 2(sin t t sin t ) ;f '(1) f ' 0 0= − + = − = = 0,25 ∀t∈(0 ;1) ta có 2 2 2 t t sin t sin t t sin t f '(t) 0> ⇒ > > ⇒ > 0,25 ∀t∈ 1; 2   π      ta có 2 2 2 t t sin t sin t t sin t f '(t) 0< ⇒ < < ⇒ < 0,25 2 2 f (0) 0; f(1) 1 cos1 0; f 1 2cos 1 2cos 1 2cos 0 2 2 2 9 = = − >         π π π π = − > − > − =  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷ π         0,25 Vậy 2 x y x y f (t) 0, t 0; 2cos 1 cos 2 2 2   π + +     ≥ ∀ ∈ ⇒ ≤ +    ÷  ÷       Từ đó suy ra, )cos(1coscos xyyx +≤+ Dấu bằng xảy ra khi x y 0= = . Chú ý: Học sinh có thể đặt t xy= và cách làm cũng hoàn toàn tương tự. 0,25 1. Hướng dẫn chấm này chỉ trình bày sơ lược một cách giải. Bài làm của học sinh phải chi tiết, lập luận chặt chẽ, tính toán chính xác mới được tính điểm tối đa. 2. Với các cách giải đúng nhưng khác đáp án, tổ chấm trao đổi và thống nhất điểm chi tiết nhưng không được vượt quá số điểm dành cho câu hoặc phần đó. Mọi vấn đề phát sinh trong quá trình chấm phải được trao đổi trong tổ chấm và chỉ cho điểm theo sự thống nhất của cả tổ. 3. Điểm toàn bài là tổng số điểm của các phần đã chấm, không làm tròn điểm . ĐỀ CHÍNH THỨC UBND TỈNH BẮC NINH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2010 – 2011 MÔN THI: TOÁN – LỚP 12 – THPT Thời gian. xy+ ≤ + . …………………… HẾT…………………… (Đề thi gồm có 01 trang) UBND TỈNH BẮC NINH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2010 - 2011 MÔN THI : TOÁN – LỚP 12 –. 1 f x x 2011x 2012 + = + + . ( ) ( ) 2n f ' x 2n 1 x 2011 0, x= + + > ∀ ∈¡ nên hàm số đồng biến trên ¡ . Suy ra, PT f(x)=0 có nhiều nhất một nghiệm. 0,5 Vì ( ) 2n 1 2n 2n 1 x x 2011 2012 lim