Website:tailieumontoan.com ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH BẮC NINH NĂM HỌC 2017 – 2018 Câu 1: (4,0 điểm) P x2 x x x x , với x 2 x 7 x 2) Cho x số thực dương thỏa mãn điều kiện Tính giá trị 1 A x5 B x7 x ; x biểu thức 1) Rút gọn biểu thức: x 2x x Câu 2: (4,0 điểm) 2 1) Cho phương trình x (m 1) x m 0 (1) , m tham số Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1 x2 55 x1 x2 x2 x1 x1 x2 2) Giải hệ phương trình ( x 1) y xy x 24 x 35 5 y 11 y Câu 3: (3,5 điểm) 1) Tìm tất số nguyên dương m , n cho m n chia hết cho m n n m chia hết cho n m 2) Cho tập hợp A gồm 16 số nguyên dương Hãy tìm số ngun dương k nhỏ có tính chất: Trong tập gồm k phần 2 tử A tồn hai số phân biệt a , b cho a b số nguyên tố Câu 4: (6,0 điểm) 90 BAC O nội tiếp đường tròn bán BM CM kính R M điểm nằm cạnh BC Gọi D giao điểm O AM đường tròn ( D khác A ), điểm H trung điểm đoạn thẳng BC Gọi E điểm cung lớn BC , ED cắt BC N 1) Chứng minh MA.MD MB.MC BN CM BM CN 2) Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BMD Chứng minh ba điểm B , I , E thẳng hàng 3) Khi AB R , xác định vị trí M để 2MA AD đạt giá trị nhỏ Cho tam giác ABC cân A Câu 5: (2,5 điểm) 1) Cho x , y , z số thực không âm thỏa mãn x y z 3 xy yz zx 0 Chứng minh Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com x 1 y 1 z 1 25 y z x xy yz zx 2) Cho tam giác ABC vng C có CD đường cao X điểm thuộc đoạn CD , K điểm thuộc đoạn AX cho BK BC , T thuộc đoạn BX cho AT AC , AT cắt BK M Chứng minh MK MT ……………….HẾT…………… Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Giám thị khơng giải thích thêm LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH BẮC NINH NĂM HỌC 2017 – 2018 Câu 1: (4,0 điểm) P x2 x x x x , với x 2 x 7 x 2) Cho x số thực dương thỏa mãn điều kiện Tính giá trị 1 A x5 B x7 x ; x biểu thức 1) Rút gọn biểu thức: x 2x x Lời giải P 1) Rút gọn biểu thức: Ta có: x2 x x x x 2x x x x 1 x x 1 P x 2 x 1 x 2 x 1 2 x 1 x x 1 2x 1 x , với x 2 x 1 2 x 1 x 1 2x 2.2 x x 2) Cho x số thực dương thỏa mãn điều kiện 1 A x5 B x7 x ; x biểu thức x2 7 x2 Tính giá trị 1 1 x 7 x 7 x 9 x 3 x x x x Ta có: (do x ) x x x 3.6 18 x x x Ta có 2 x4 x 47 x4 x Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com 1 5 x x x x x 18 x x x x x +) 1 x 18 141 x5 123 x x 1 7 x x x x x x x x x x +) x7 1 846 x 843 x x Câu 2: (4,0 điểm) 2 1) Cho phương trình x (m 1) x m 0 (1) , m tham số Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1 x2 55 x1 x2 x2 x1 x1 x2 2) Giải hệ phương trình ( x 1) y xy x 24 x 35 5 y 11 y Lời giải 2 1) Cho phương trình x (m 1) x m 0 (1) , m tham số Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1 x2 55 x1 x2 x2 x1 x1 x2 Ta có: m2 1 m m4 m 1 x1 x2 m 1 x1 x2 m Theo định lí Vi-ét ta có x1 x2 55 x1 x2 x2 x1 x1 x2 x1 1 x1 x2 1 x2 x1 x2 x1 x2 55 x1 x2 2 x12 x1 x22 x2 x1 x2 55 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 55 0 2 2 m 1 m m 1 m 55 0 2 m 2m 1 4m m m 4m 55 0 m 2m 24 0 (2) Đặt m a a 0 Phương trình (2) trở thành a 2a 24 0 Ta có 25 phương trình có nghiệm: a1 4 (Nhận); a2 (Loại, a ) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com +) Với a 4 m 4 m 2 Vậy m 2 ; m giá trị cần tìm ( x 1) y xy (1) x 24 x 35 5 y 11 y (2) 2) Giải hệ phương trình 2 Phương trình (1) ( x 1) y xy 0 x x xy y 0 x 1 x 3 y x 1 0 x 1 x y 0 x 1 y x +) Thay x 1 vào phương trình (2) ta được: 4.12 24.1 35 5 y 11 y y 11 y 3 y 11 y 9 y 11 y 11 y y 9 y 11 y 10 y y 11 y 10 y y 11y 100 40 y y Điều kiện y 5 , pt y 29 y 100 0 y 25(ktm) y 4 (tm) +) Thay y x vào phương trình (2) ta x 24 x 35 5 x 3 11 x x 24 x 35 5 x x x 24 x 35 3x x 0 3x x 28 x 24 3x 3x x x 0 x2 x 6 3x 2 x 9 x 3 3x 3x x 9 5 x 3 2 x 63 x 54 x 7x x 1 x 0 3x x x x x 1 x x 1 x 0 x 1 x 3x x x x 0 x 1 x 0 3x 3x x x 4 0, x 3x 3x x x Vì x 1 y 4 x 1 x 0 x 6 y 9 x; y 1; 6;9 Vậy nghiệm hệ là: , Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Câu 3: (3,5 điểm) 1) Tìm tất số nguyên dương m , n cho m n chia hết cho m n n m chia hết cho n m 2) Cho tập hợp A gồm 16 số nguyên dương Hãy tìm số ngun dương k nhỏ có tính chất: Trong tập gồm k phần 2 tử A tồn hai số phân biệt a , b cho a b số nguyên tố Lời giải 1) Tìm tất số nguyên dương m , n cho m n chia hết cho m n n m chia hết cho n m m n m n n m n m (1) Ta có: m n m n n m 1 m n 0 2 m n 1 m n 0 n m n m n m 0 m n 0 (do m , n nguyên dương) m n 1 *) TH1: m n m n 2 +) m n m n n n2 n 3n 4n m n2 n 1 n m n n 3n 1 4n n 3n n 3n 4n 37 37 n n n 0 2 * n 1; 2; 3; 4; 5; 6 n m 0; 1; 2; 3; 4; 5 m; n 1; , 2; 3 Thử lại vào (1) ta tìm cặp thỏa mãn là: *) TH2: m n 0 m n m n m n n n 2n m n2 n n2 m n n n n n n n 2 n 3 n * n 1; 2;3 m 1; 2;3 Vì m; n 2; 3;3 Thử lại vào (1) ta tìm cặp số thỏa mãn là: , m n m n *) TH3: n m n m Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com n n 1 n m2 n 3n n m n n n n 4n n n n n 4n n 5n 0 37 37 n 2 * n n 1; 2;3; 4;5 m 2;3; 4;5;6 Vì m; n 2; 1 , 3; Thử lại vào (1) ta cặp số thỏa mãn là: m, n Vậy cặp nguyên dương thỏa mãn 1; , 2; 1 , 2; 3 , 3; , 2; , 3; 3 2) Cho tập hợp A gồm 16 số nguyên dương Hãy tìm số ngun dương k nhỏ có tính chất: Trong tập gồm k phần 2 tử A tồn hai số phân biệt a , b cho a b số nguyên tố Ta xét tập T gồm số chẵn thuộc tập A Khi | T |8 với a , b 2 thuộc T ta có a b hợp số, k 9 Xét cặp số sau: A 1; 4 3; 2 5;16 6;15 7;12 8;13 9;10 11;14 Ta thấy tổng bình phương cặp số số nguyên tố Xét T tập A | T |9 , theo nguyên lí Dirichlet T chứa cặp nói Vậy kmin 9 Câu 4: (6,0 điểm) 90 BAC O nội tiếp đường trịn bán BM CM kính R M điểm nằm cạnh BC Gọi D giao điểm O AM đường tròn ( D khác A ), điểm H trung điểm đoạn thẳng BC Gọi E điểm cung lớn BC , ED cắt BC N 1) Chứng minh MA.MD MB.MC BN CM BM CN 2) Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BMD Chứng minh ba điểm B , I , E thẳng hàng 3) Khi AB R , xác định vị trí M để 2MA AD đạt giá trị nhỏ Cho tam giác ABC cân A Lời giải Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com A M H B C N O D E 1) Chứng minh MA.MD MB.MC BN CM BM CN +) Ta có MAB # MCD (g.g) MA MB MC MD MA.MD MB.MC (đpcm) +) Theo gt A điểm cung nhỏ BC DA tia phân giác BDC BDC (1) Mặt khác, E điểm cung lớn BC AE đường kính (O ) ADE 90 DA DN (2) Từ (1) (2) DN tia phân giác ngồi BDC BDC Do đó, theo tính chất tia phân giác tia phân giác tam giác ta có: BM BD BN CM CD CN BM CN BN CM (đpcm) 2) Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BMD Chứng minh ba điểm B , I , E thẳng hàng A ( I ) Kẻ BE cắt J EAD Ta có EBD BJD DMC (cùng bù với BMD ) Mà EAD DMC EAD HMA 90 EBD BJD 90 BD JD BJ đường kính I BJ hay I BE B , I , E thẳng hàng (đpcm) 3) Khi AB R , xác định vị trí M để 2MA AD đạt giá trị nhỏ Ta có: HAM # DAE (g.g) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: M H B C O D I E J TÀI LIỆU TOÁN HỌC N Website:tailieumontoan.com AM AH AE AD AM AD AH AE AB R R2 AH AM AD AE Với AE 2 R ; R2 2 R Theo BĐT Cô- si: AM AD 2 AM AD GTNN đạt khi: AM AD M trung điểm AD OM AD M giao điểm đường trịn đường kính OA với BC Câu 5: (2,5 điểm) 1) Cho x , y , z số thực không âm thỏa mãn x y z 3 xy yz zx 0 Chứng minh x 1 y 1 z 1 25 y z x xy yz zx 2) Cho tam giác ABC vuông C có CD đường cao X điểm thuộc đoạn CD , K điểm thuộc đoạn AX cho BK BC , T thuộc đoạn BX cho AT AC , AT cắt BK M Chứng minh MK MT Lời giải 1) Cho x , y , z số thực không âm thỏa mãn x y z 3 xy yz zx 0 Chứng minh x 1 y 1 z 1 25 y z x 3 xy yz zx Áp dụng bất đẳng thức AM-GM: 25 25 25 VT 3 2.2 xy yz zx xy yz zx xy yz zx x y z 25 x 1 y 1 z 1 Cần chứng minh x 1 y 1 25 2 Sau rút gọn, BĐT trở thành x y y z z x 4 y x y z 0 Giả sử y nằm x z , suy hay y zx xy yz 2 Do y z z x xyz yz x y y z z x x y xyz yz y z x y z x z x 1 y z x z x 54 4 2) Cho tam giác ABC vng C có CD đường cao X điểm thuộc đoạn CD , K điểm thuộc đoạn AX cho BK BC , T thuộc Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com đoạn BX cho AT AC , AT cắt BK M Chứng minh MK MT A; AC B; BC Vẽ đường tròn , đường tròn ( I ) ngoại tiếp ABC Kẻ AX cắt ( I ) Y , BX cắt ( I ) Z , AZ cắt BY P Ta có AYB 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ( I ) ) AY BP BZA 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn ( I ) ) BZ AP X trực tâm ABP 2 Ta thấy ABC # ACD AC AD AB AT ATD # ABT (c.g c ) ATD ABT BAK Tương tự, ta có BKD Ta có APD ABZ ATD tứ giác ADTP tứ giác nội tiếp AT PT (1) Tương tự, ta có BK PK (2) PK PT (3) Từ (1), (2), (3), suy MKP MTP (cạnh huyền – cạnh góc vng) MK MT (đpcm) A I K Z D M X T B C Y P Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com …………… HẾT…………… Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC