Website:tailieumontoan.com ĐỀ THI HSG TỈNH QUẢNG NINH NĂM HỌC 2017-2018 Câu 1: a) Rút gọn biểu thức b) Cho hai số dương + + 10 + 3 − 3 − + +1 x, y x3 + y − x y = thỏa mãn −1 27 Tính giá trị biểu thức x y Câu 2: a) Với số nguyên n(n + 2)(73n − 1)M24 n, chứng minh : n + 27 + n b) Tìm số tự nhiên để số phương Câu 3: − 3x = −3 x + x − a) Giải hệ phương trình : b) Giải hệ phương trình : Câu 4: 3 x − y − ( x − ) ( y + 1) = −5 −2 x + y + y = AB, C B A Cho đoạn thẳng điểm nằm hai điểm Trên nửa mặt phẳng bở AB, BC AB đường thẳng vẽ nửa đường trịn đường kính nửa đường trịn đường kính Lấy điểm M thuộc nửa đường trịn đường kính ( H ∈ BC ) , đường thẳng CM E giao a) Chứng minh b) Từ C kẻ MH BC ( M ≠ B; M ≠ C ) cắt nửa đường trịn đường kính · · HKB = CEB CN ⊥ AB (N P MH Kẻ AB K vng góc với Hai đường thẳng BC AK BE = BC AB; thuộc nửa đường trịn đường kính NP = PE ; AB ), đường thẳng NK cắt CE Chứng minh NE NE = NC AB c) Chứng minh tiếp tuyến nửa đường trịn đường kính Câu 5: Cho a, b số dương thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ biểu thức a + b + 2ab = 12 a + ab b + ab A= + a + 2b 2a + b ……………….HẾT…………… Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com ĐÁP ÁN ĐỀ HỌC SINH GIỎI LỚP QUẢNG NINH 2017-2018 Câu + + 10 + 3 − 3 − + +1 a) Rút gọn biểu thức b) Cho hai số dương x, y x3 + y − x y = thỏa mãn −1 27 Tính giá trị biểu thức x y Lời giải a) Rút gọn biểu thức + + 10 + − − = + +1 x3 + y − x y = b) Ta có ( ⇔ ( 3x ) + 3 y ( ) 3 ( 5+ ) +3 ( + +1 ) +1 = + − 3.3 x y = ) ( x, y > 2+ −1 ⇔ 27 x + 27 y + − 27 x y = 27 ) + ( ⇔ 3x + y + x − 3 y Do nên suy ) 2 y − + ( − 3x ) = x = x 3x = 3 y = ⇔ ⇔ = y y = 27 Vậy giá trị biểu thức x y Câu a) Với số nguyên n(n + 2)(73n − 1)M24 n, chứng minh : n + 27 + n b) Tìm số tự nhiên để số phương Lời giải 2 n(n + 2)(73n − 1) = 72n n.(n + 2) + (n − 1)n(n + 1)(n + 2) M24 a) Ta có n = 1, 2,3 b) Ta thử khơng thỏa mãn n>4 Với ta có n + + = k ⇔ 24 (9 + n −4 ) = k ⇒ k M4 k = 4h h Đặt với số tự nhiên Ta có: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com + 2n − = h ⇒ n − h − = 2x = h − = ( h − ) ( h + 3) ⇒ h + = y x + y = n − ⇔ = 2.3 = y − x = x ( y − x − 1) x = n = ⇒ y− x ⇒ − = h = ⇒ k = 20 Vậy n =8 giá trị phù hợp Câu − 3x = −3 x + x − a) Giải hệ phương trình : b) Giải hệ phương trình : 3 x − y − ( x − ) ( y + 1) = −5 −2 x + y + y = Lời giải a) ĐKXĐ: x≤ Phương trình − 3x =0 − 3x + 1 ⇔ ( − 3x ) + − x ÷ = Do x ≤ ⇔ − x ≥ > ⇒ +2− x > 3 − 3x + − 3x + ⇔ x − x + + − x − = ⇔ ( x − 1) ( x − ) + Suy 1 – x = ⇔ x = (TMDK ) b) ĐKXĐ: ( x − ) ( y + 1) ≥ x= Vậy phương trình có nghiệm Cộng theo hai vế phương trình hệ ta được: x − − ( x − ) ( y + 1) + y + = (*) Xét x ≥ y ≥ −1 ⇔ ( x − − y +1 ) =0⇔ x−2 = y +1 ⇔ x = y + phương trình (*) y − y − 12 = ⇔ ( y − ) ( y + ) = ⇒ y = −2 x + y + y = Thay vào (Vì y ≥ −1) Nên x = Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Xét x < y < −1 x−2−2 Khi ( x − ) ( y + 1) + y + < phương trình vơ nghiệm ( x; y ) = ( 7; ) Vậy hệ phương trình có nghiệm AB, C B A Câu Cho đoạn thẳng điểm nằm hai điểm Trên nửa mặt phẳng bở AB, BC AB đường thẳng vẽ nửa đường tròn đường kính nửa đường trịn đường kính Lấy điểm M thuộc nửa đường trịn đường kính ( H ∈ BC ) , đường thẳng CM E giao d) Chứng minh e) Từ C kẻ MH BC ( M ≠ B; M ≠ C ) cắt nửa đường trịn đường kính · · HKB = CEB CN ⊥ AB (N P AB Kẻ MH K vng góc với Hai đường thẳng BC AK BE = BC AB; thuộc nửa đường tròn đường kính NP = PE ; AB ), đường thẳng NK cắt CE Chứng minh NE NE = NC AB f) Chứng minh tiếp tuyến nửa đường trịn đường kính Lời giải Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com a) Ta có · · BME = BKE = 900 · HKA ) nên BMKE nội tiếp · · ⇒ HKB = CEB mà · · HKB = BAE · · CEB = BAE (cùng phụ với nên · · ·ABE ∆BEC CEB = BAE ∆BAE Xét có: chung nên đồng dạng BE BC ⇒ = ⇒ BE = BC AB AB BE b) Suy Hay ABN N NC ⊥ AB Xét tam giác vuông có BN = BC AB ⇒ BN = BE · · B ⇒ BNE = BEN (1) ∆BNE cân · · · · · · CEB = BAE BAE = BNP ⇒ CEB = BNP (2) Theo câu a) mà · · ⇒ PNE = PEN ⇒ ∆PNE P ⇒ NP = PE Từ (1) (2) cân Q NE BP c) Gọi giao điểm tia BQ ⊥ NE PN = PE BP = BE Vì nên · · BN ( O) ON / / BQ ⇒ BNO =Q NE ON ⊥ NE tiếp tuyến nên Do · · · · · BNO = NBO ⇒ QBN = NBO CBQ NQ ⊥ BQ BN Mà tia phân giác mà NQ = NC BQ NE = NQ NC ⊥ BC NE nên Vì đường trung trực nên suy NE = NC a, b a + b + 2ab = 12 số dương thỏa mãn a + ab b + ab A= + a + 2b 2a + b Tìm giá trị nhỏ biểu thức Câu Cho Lời giải ( a + b) 12 = a + b + 2ab ≤ Ta có + (a + b) ⇒ a + b ≥ Khi a + b) a ( b b2 a A = ( a + b) + + ≥ ÷= ( a + b ) 2 ÷ a + 2b 2a + b ( a + b ) + 2ab a + 2ab 2ab + b ( a + b) ≥ a + b) ( ( a + b) + = Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com MinA = Vậy giá trị nhỏ biểu thức Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: ⇔ a = b = TÀI LIỆU TOÁN HỌC ...Website:tailieumontoan.com ĐÁP ÁN ĐỀ HỌC SINH GIỎI LỚP QUẢNG NINH 2017-2 018 Câu + + 10 + 3 − 3 − + +1 a) Rút gọn biểu thức b) Cho hai số dương x, y x3 + y − x