SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH QUẢNG NINH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THCS NĂM 2022 Mơn thi: TỐN – Bảng A ĐỀ THI CHÍNH THỨC Ngày thi: 23/02/2022 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề (Đề thi có 01 trang) Câu (4,0 điểm) a Cho x, y, z số dương thỏa mãn điều kiện xy yz zx 3 Tính giá trị biểu thức A x y y z z x 2 z 3 x 3 y 3 b Cho hai hàm số y x y 2(m 1) x m (m tham số) Hãy tìm giá trị m để đồ thị hai hàm số cho cắt hai điểm phân biệt Câu (5,0 điểm) 2 a Giải phương trình x x x 5 x x 2 x y 0 b Giải hệ phương trình x ( x 3) y 0 Câu (4,0 điểm) a Tìm tất cặp số nguyên x; y 3 thỏa mãn phương trình x y 2 y y b Tìm tất số nguyên m để phương trình x 3mx mx có nghiệm số hữu tỉ Câu (6,0 điểm) Cho đường tròn O; R O dây BC cố định không đường kính Lấy điểm A cung lớn BC cho AB AC ACB 90 , D điểm cung nhỏ BC Từ B hạ BH vuông góc với AD ( H thuộc AD ), từ D hạ DK vng góc với AC ( K thuộc AC ) Đường thẳng BH cắt đường thẳng DK AC E F O; R a Chứng minh E thuộc HK song song với BC ; b Hạ DL vng góc với AB ( L thuộc AB ) Chứng minh đường thẳng KL qua trung điểm đoạn thẳng BC ; c Chứng minh đường thẳng AE tiếp xúc với đường tròn cố định A di chuyển cung BC thỏa mãn điều kiện đề Câu (1,0 điểm) Trên bảng người ta viết 2022 số nguyên dương liên tiếp 1; 2; 3; …; 2022 thực thao tác sau: Xóa hai số (trong 2022 số trên) lại viết lên bảng số tổng hai số vừa xóa, tiếp tục làm bảng lại số Hỏi số lại bảng số chẵn hay số lẻ, sao? ………………… Hết ……………… - Thí sinh khơng sử dụng tài liệu máy tính cầm tay - Giám thị khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: ………………………………………… Số báo danh: ……………… Chữ kí giám thị 1: …………….………… Chữ kí giám thị 2: ………………………… SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH QUẢNG NINH ĐỀ CHÍNH THỨC Câu HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THCS NĂM HỌC 2022 Mơn thi: TỐN – Bảng A Ngày thi: 23/02/2022 (Hướng dẫn chấm có 02 trang) Sơ lược lời giải/ Một số gợi ý Điểm 0,25 a Với x, y, z dương A ln xác định A x y y z z x ( z y )( z x ) ( x y )( x z ) ( y z )( y x) 0,75 x2 y y2 z z x2 0 ( z y )( z x )( x y ) Vậy A = A (4,0 đ) 0,75 0,25 b Phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị x 2(m 1) x m x 2(m 1) x m (*) 0,5 ' m 3m Hai đồ thị cắt hai điểm phân biệt phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt, tức ' m 3m 0,25 Giải bất phương trình kết luận m < - m >1 0,75 a ĐKXĐ: x 0,25 x x x 5 x 3x x x x x 3 x x 3x x x 3x với x thỏa ĐKXĐ) x x 3 0 x x 3x 1,0 0,5 x 2 0 1 x x 3x x 3 Kiểm tra kết luận S = {2; 3} 0,5 0,25 (1) x y 0 x ( x 3) y 0 (2) b (1) x y 3 , thay vào (2), thu gọn x xy y 0 x y 0 ( x y)( x xy y ) 0 2 x xy y 0 +) x y 0 x y , thay vào (1), giải nghiệm (1; 1); (-1; -1) 2 +) x xy y 0 x y 0 , thay vào (1) không thỏa mãn Vậy hệ cho có hai nghiệm (1; 1); (-1; -1) 4,0 đ 0 ( (5,0 đ) 0,5 3 a Phương trình cho tương đương với x y y y 2 Có y 0;5 y , suy (*) 0,75 0,5 1,0 0,25 0,25 0,5 ( y y y 1) (5 y 2) y y y ( y y y 1) y 3 3 3 Kết hợp (*) ta có ( y 1) x ( y 1) x y x ( y 1) 3 Với x y y y 0 y 1; x 0,5 3 Với x ( y 1) y 0 y 0; x 1 0,5 ( x; y ) ( 1, 1),(1, 0) Vậy nghiệm nguyên phương trình p x ( p, q , q 0, ( p, q) 1) q b Phương trình có nghiệm hữu tỉ p p p ( )3 3m( ) m p 3mp q mpq 2q q q q 2q p 2p p 1; 2 (do ( p, q ) 1, q 0) q q p q Với m, p, q nguyên, suy x 1; 2 Từ Thay giá trị x vào phương trình tìm giá trị nguyên m -1 Kết luận: m = -1 a) Có BED CAD (cùng phụ ADE ) A J E O H B F K I C Lưu ý: 0,25 0,5 0,75 0,25 0,25 Suy BED BAD 0,25 Suy BAED tứ giác nội tiếp, hay E thuộc (O; R) CD ); DK FC KF KC BED CED ( BD D (1,0 đ) 0,25 DC ) BAD CAD (do BD Tương tự có HF = HB Suy HK // BC L (6,0 đ) 0,5 0,25 1,0 0,5 b) Gọi I giao điểm KL BC Chứng minh ALDK tứ giác nội tiếp 0,5 Suy DLK DAK DBC hay DLI DBI 0,5 Suy D, L, B, I thuộc đường tròn Dẫn đến DIB 90 Tam giác BDC có DB = DC ( DB DC ); DIB 90 nên I trung điểm BC (đpcm) c) Hạ OJ vng góc với AE ABH ABE 900 BAD 900 sd BD Có (khơng đổi) AOJ 1 AOE ABE Chứng minh (không đổi) Suy OJ OA.cos AOJ R.cos AOJ (không đổi) Mà O cố định nên AE tiếp xúc đường trịn (O; OJ) cố định Khi xóa hai số thay tổng chúng tổng số bảng ln khơng đổi Do đó, số cuối cịn lại bảng 1+2+3+…+2022 = 1011.2023 số lẻ Vậy số lại bảng số lẻ 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 - Tổ chấm thống để chia nhỏ tới 0,25 điểm nội dung thích hợp cần thiết; - Học sinh làm cách khác đáp án, cho điểm tối đa theo biểu điểm; - Điểm thi tổng điểm câu, khơng làm trịn số