Website:tailieumontoan.com ĐỀ THI HSG TỈNH QUẢNG NINH NĂM HỌC 2017-2018 Câu 1: a) Rút gọn biểu thức 10 3 3 1 b) Cho hai số dương x, y thỏa mãn x3 y x y x 1 27 Tính giá trị biểu thức y Câu 2: a) Với số nguyên n, chứng minh : n(n 2)(73n 1)24 n b) Tìm số tự nhiên n để số phương Câu 3: a) Giải hệ phương trình : x x x 3 x y x y 1 x y y b) Giải hệ phương trình : Cho đoạn thẳng AB, điểm C nằm hai điểm A B Trên nửa mặt phẳng bở đường thẳng AB, vẽ nửa đường trịn đường kính AB nửa đường trịn đường kính BC Lấy Câu 4: điểm M thuộc nửa đường trịn đường kính BC M B; M C Kẻ MH vng góc với BC H BC , đường thẳng MH cắt nửa đường tròn đường kính AB K Hai đường thẳng AK CM giao E a) Chứng minh HKB CEB BE BC AB; b) Từ C kẻ CN AB (N thuộc nửa đường trịn đường kính AB), đường thẳng NK cắt CE P Chứng minh NP PE; c) Chứng minh NE tiếp tuyến nửa đường tròn đường kính AB NE 2 NC Câu 5: Cho a, b số dương thỏa mãn a b 2ab 12 Tìm giá trị nhỏ biểu thức A a ab b ab a 2b 2a b ……………….HẾT…………… Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com ĐÁP ÁN ĐỀ HỌC SINH GIỎI LỚP QUẢNG NINH 2017-2018 Câu 10 3 3 1 a) Rút gọn biểu thức b) Cho hai số dương x, y thỏa mãn x3 y x y x 1 27 Tính giá trị biểu thức y Lời giải a) Rút gọn biểu thức 3 3 2 5 3 10 1 1 1 x y x y 27 x3 27 y 27 x y 0 27 b) Ta có 3x 3 y 1 1 3.3 x y 0 x y 3x 3 y 3 2 y x 0 x x 3x 3 y 1 9 y y 27 Do x, y nên suy x Vậy giá trị biểu thức y Câu 2 a) Với số nguyên n, chứng minh : n(n 2)(73n 1)24 n b) Tìm số tự nhiên n để số phương Lời giải 2 a) Ta có n(n 2)(73n 1) 72n n.(n 2) (n 1)n(n 1)(n 2) 24 Ta thử n 1, 2,3 không thỏa mãn Với n ta có 24 27 2n k 24 (9 2n ) k k 4 Đặt k 4h với h số tự nhiên Ta có: b) 2n h 2n h 2 x h h 3 h h 2 y x y n 2.3 2 y x 2 x y x 1 x 2 2 y x 2 3 n 8 h 5 k 20 Vậy n 8 giá trị phù hợp Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Câu a) Giải hệ phương trình : x x x 3 x y x y 1 x y y b) Giải hệ phương trình : Lời giải x a) ĐKXĐ: Phương trình 3x 0 3x 1 3x x 0 Do x x 2 x 0 3 3x 1 3x 1 1 – x 0 x (TMDK ) x 3 Suy Vậy phương trình có nghiệm x x x 0 x 1 x b) ĐKXĐ: x 2 x y 1 0 Cộng theo hai vế phương trình hệ ta được: x y 1 y 1 0 (*) x 2 Xét y phương trình (*) x y 1 0 x y 1 x y y y 12 0 y y 3 0 y 4 Thay vào x y y 6 (Vì y 1) Nên x 7 x x 2 Xét y Khi x y 1 y phương trình vơ nghiệm x; y 7; Vậy hệ phương trình có nghiệm Câu Cho đoạn thẳng AB, điểm C nằm hai điểm A B Trên nửa mặt phẳng bở đường thẳng AB, vẽ nửa đường trịn đường kính AB nửa đường trịn đường kính BC Lấy điểm M thuộc nửa đường trịn đường kính BC M B; M C Kẻ MH vng góc với BC H BC , đường thẳng MH cắt nửa đường trịn đường kính AB K Hai đường thẳng AK CM giao E d) Chứng minh HKB CEB BE BC AB; e) Từ C kẻ CN AB (N thuộc nửa đường trịn đường kính AB), đường thẳng NK cắt CE P Chứng minh NP PE; f) Chứng minh NE tiếp tuyến nửa đường trịn đường kính AB NE 2 NC Lời giải Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com E Q N K P M A C OH O' B Ta có BME BKE 90 nên BMKE nội tiếp HKB CEB mà HKB BAE (cùng phụ với HKA) nên CEB BAE Xét BEC BAE có: CEB BAE ABE chung nên đồng dạng BE BC BE BC AB AB BE b) Xét tam giác ABN vuông N có NC AB a) Suy BN BC AB BN BE Hay BNE cân B BNE BEN (1) Theo câu a) CEB BAE mà BAE BNP CEB BNP (2) Từ (1) (2) PNE PEN PNE cân P NP PE c) Gọi Q giao điểm tia BP NE Vì BP BE PN PE nên BQ NE NE tiếp tuyến O nên ON NE Do ON / / BQ BNO QBN Mà BNO NBO QBN NBO hay BN tia phân giác CBQ mà NQ BQ NC BC nên NQ NC Vì BQ đường trung trực NE nên NE 2.NQ suy NE 2 NC Câu Cho a, b số dương thỏa mãn a b 2ab 12 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Tìm giá trị nhỏ biểu thức A a ab b ab a 2b 2a b Lời giải Ta có a b 12 a b 2ab 2 (a b) a b 4 Khi a2 a b b b2 a A a b a b 4 2 a 2b 2a b a b 2ab a 2ab 2ab b a b 4 a b a b MinA a b 2 Vậy giá trị nhỏ biểu thức Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC