Website:tailieumontoan.com ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2017-2018 Câu 1: 2 2 2 P 42 4 1 1 2 Tính giá trị 2 2017 x 2017 x x 2018 x 2018 2 2017 x 2017 x 2018 x x 2018 Câu 2: Giải phương trình Câu 3: Cho a, b, c Chứng minh rằng: a) a a a 2b a b b) a b c a 2b b 2c c 2a 13 37 Cho tam giác ABC vuông A Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A, dựng hai tia Bx, Cy vng góc với cạnh BC Trên tia Bx lấy điểm D cho BD BA, tia Cy lấy điểm E cho CE CA Gọi G giao điểm BE CD, K L giao Câu 4: điểm AD, AE với cạnh BC a) Chứng minh CA CK ; BA BL; b) Đường thẳng qua G song song với BC cắt AD, AE theo thứ tự I , J Gọi H hình chiếu vng góc G lên BC Chứng minh tam giác IHJ vuông cân Câu 5: Cho tam giác ABC vuông cân A Điểm M chuyển động cạnh BC (M khác B, C ) Gọi H , K hình chiếu vng góc M lên AB, AC Vẽ đường tròn H ; HM K ; KM a) Chứng minh hai đường tròn H K cắt nhau; H K Chứng minh MN b) Gọi N giao điểm thứ hai hai đường tròn qua điểm cố định Câu 6: Tìm số nguyên tố p cho p lập phương số tự nhiên ……………….HẾT…………… Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com ĐÁP ÁN ĐỀ HỌC SINH GIỎI TỈNH PHÚ YÊN 2017-2018 2 2 2 P 42 4 1 1 2 Câu Tính giá trị Lời giải P 2 3 2 2 3 3 3 3 6 Câu Giải phương trình 2017 x 2017 x x 2018 x 2018 2 2017 x 2017 x 2018 x x 2018 3 1 13 37 Lời giải a ab b 13 2 37 Đặt 2017 x a x 2018 b Ta có phương trình a ab b 2 2 12a 25ab 12b 0 12a 16 ab 9ab 12b 0 3a 4b 4a 3b 0 Xét 3a 4b 0 2017 x x 2018 0 x 2021 Xét 4a 3b 0 4(2017 x) 3( x 2018) 0 x 2014 S 2014; 2021 Phương trình có tập nghiệm Câu Cho a, b, c Chứng minh rằng: a) a a a 2b a b b) a b c 1 a 2b b 2c c 2a Lời giải a) Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có : a a a a 2b a.(a 2b) a b Dấu “=” xảy a a 2b b 0 vô lý Vậy b) Tương tự câu a ta có : a a a 2b a b a b c a b c a b c 1 a 2b b 2c c 2a a b b c c a a b c a b c a b c Câu Cho tam giác ABC vuông A Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A, dựng hai tia Bx, Cy vng góc với cạnh BC Trên tia Bx lấy điểm D cho BD BA, tia Cy lấy điểm E cho CE CA Gọi G giao điểm BE CD, K L giao điểm AD, AE với cạnh BC Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com a) Chứng minh CA CK ; BA BL; b) Đường thẳng qua G song song với BC cắt AD, AE theo thứ tự I , J Gọi H hình chiếu vng góc G lên BC Chứng minh tam giác IHJ vuông cân Lời giải x y D I E G B K L A J C Ta có BD BA ABD cân nên BAD BDA Mà BAD KAC 90 BDA BKD BDA AKC KAC AKC ACK cân nên CA CL a) Tương tự ABL cân nên BA BL b) Áp dụng định lý Ta let hệ ta có: CH GE CE CA CK CK CH HK BH GB BD BA BL BL BH HL (Giả sử AB AC ) HK CE GC IK HK IK HI //DL Suy HL BD GD ID hay HL ID Ta lại có BD BL nên tam giác BDL vuông cân BLD 45 JIH BHI BLD 45 Chứng minh tương tự ta có IJH 45 IHJ vng cân H Câu Cho tam giác ABC vuông cân A Điểm M chuyển động cạnh BC (M khác B, C ) Gọi H , K hình chiếu vng góc M lên AB, AC Vẽ đường tròn H ; HM K ; KM H K cắt nhau; a) Chứng minh hai đường tròn H K Chứng minh MN b) Gọi N giao điểm thứ hai hai đường tròn qua điểm cố định Lời giải Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com C E M K A H B N a) Ta có HM KM HK HK KM nên đường trịn H K ln cắt b) Ta có NHM NCB ; NMK NBC Do AKMH chữ nhật nên NHM NKM 90 NCB NBC 90 BNC 90 Vẽ hình vng ABEC ta có A, N , B, E , C thuộc đường trịn đường kính BC cố định Ta lại có NEB NCB mà NCB NMH , NEB NHM , MH //EB nên ba điểm N , M , E thẳng hàng Vậy MN qua điểm E cố định Câu Tìm số nguyên tố p cho p lập phương số tự nhiên Lời giải Xét p 2 p 15 (loại) Xét p p số nguyên tố lẻ nên p số tự nhiên chẵn Đặt p 2k với k nguyên dương p 2k 2k 1 4k 2k 1 Khi Vì p số nguyên tố nên 2k 7 k 4 p 73 (thỏa mãn) TH1: 4k 2k p 2k 1 k 1 p 1 (loại) TH2: 4k 2k 7 p 2k p 2k p k 1 p 1 (loại) 2k k 0 TH3: 4k 2k 7 Vậy p 73 thỏa mãn toán Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC