104 HSG 15 PHÚ yên PHẠM THU HẰNG

Website:tailieumontoan.com ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2015-2016 Câu 1: (4,0 điểm) P Cho biểu thức a a 1 a a 1    a 2 a    a    a a a a  a   a  a 1  a) Rút gọn biểu thức P b) Chứng minh với giá trị a (thỏa điều kiện thích hợp) ta có P  Câu 2: (4,5 điểm) Giải phương trình Câu 3: (4,0 điểm) Cho ba số không âm x, y, zthỏa mãn Chứng minh Câu 4: (2,5 điểm) µ Cho hình bình hành ABCD có A  90 Dựng tam giác vuông cân A BAM DAN ( B N nửa mặt phẳng bờ AD , D M nửa mặt phẳng bờ AB ) Chứng minh AC vng góc với MN Câu 5: (5,0 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O , G trọng tâm Tiếp  O cắt CG M Tiếp tuyến C  O cắt BG N tuyến B Gọi X,Y theo thứ tự giao điểm CN , AN đường thẳng qua B song song với AC ; Z, T theo thứ tự giao điểm BM , AM đường thẳng qua C song song với AB Chứng minh : a) AB.CZ  AC.BX · · b) MAB  NAC ……………….HẾT…………… Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Giám thị khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh:…………………………………………….….Số báo danh: ………………… Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2015-2016 P a a 1 a a 1    a 2 a    a    a a a a  a   a  a  1  Câu 1: (4,0 điểm) Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức P b) Chứng minh với giá trị a (thỏa điều kiện thích hợp) ta có P  Lời giải a a 1 a a 1    a 2 a    a    a a a a  a   a  a  1  (đk:  a  1) a) 2 a a 1  a2  1  a a  a3  13 a3  13       a  a a 1 a a   a 1 a   a 1 a 1 P        a     a 1 a a   a 1  a                a  3a  a  a  2 a  a a  1  a  1  a  1 a  a a  a a  a  a  a  a  2a  a    a a a a 1 a 1 a a  2      2 a   a  1  a 1 a 1 a    a  1   a 1 a a  a a  2a  a  a  a 4 a  P  a 4 a  a  Vậy với b) Ta có P  hay P  (đpcm) Câu 2: (4,5 điểm) Giải phương trình Lời giải 4x  5x   x  x   9x  2    4x2  5x  1 x2  x    9x  3  9x    9x  3   9x  3 Liên hệ tài 039.373.2038  liệu    4x2  5x   x2  x   4x2  5x   x2  x   4x2  5x   x2  x    word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com 9x     4x2  5x   x2  x    9x    x  TH1: TH2: Ta dễ chứng minh phương trình 4x2  5x   x2  x  1 1 vơ nghiệm Vậy phương trình cho có nghiệm Câu 3: (4,0 điểm) Cho ba số không âm x, y, zthỏa mãn Chứng minh Lời giải Ta có: 4xz 2  y (1  x )(1  z ) Tương tự ta có : 4xy 2 1 2z (1 2x)(1 2y) 1 64x2y2z2  (1 2x)2(1 2y)2(1 2z)2 Khi đó: 1 2x 1 2y 1 2z 8xyz   (1 2x)(1 2y)(1 2z) (1 2x)(1 2y)(1 2z)  1 64xyz  xyz  64 (đpcm) µ Câu 4: (2,5 điểm) Cho hình bình hành ABCD có A  90 Dựng tam giác vuông cân A BAM DAN ( B N nửa mặt phẳng bờ AD , D M nửa mặt phẳng bờ AB ) Chứng minh AC vng góc với MN Lời giải Gọi H giao điểm MN AC · · Ta có NAD  BAM  180 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com · · · ·  NAB  BAD  BAD  DAM  180 · ·  NAM  BAD  180 · · Mặt khác AB // CD  BAD  ABC  180   ·  180  BAD · · Do NAM  ABC · · Xét NAM CAB có AM  AB; AN  BC;NAM  ABC · ·  NAM  CAB  BAC  AMN · · · · · · Xét AHM có AMN  MAH  BAC  HAM  BAM  90  AHM  90 Vậy AC  MN Câu 5: (5,0 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O , G trọng  O cắt CG M Tiếp tuyến C  O cắt BG tâm Tiếp tuyến B N Gọi X,Y theo thứ tự giao điểm CN , AN đường thẳng qua B song song với AC ; Z, T theo thứ tự giao điểm BM , AM đường thẳng qua C song song với AB Chứng minh : a) AB.CZ  AC.BX · · b) MAB  NAC Lời giải a) Xét BZC ACB có: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com · · CBZ  BAC (góc nợi tiếp góc tạo tia tiếp tuyến dây cung chắn một cung) · · BCZ  ABC (so le trong, AB // CZ ) CZ BC    AB.CZ  BC BC AB Do BZC ∽ ACB (g.g) (1) BC AC    AC.BX  BC2  ABC ∽  CXB BX CB Tương tự, (g.g) (2) AB.CZ  AC.BX   BC2  Từ (1) (2) suy b) Vì XY // AC BN qua trung điểm AC nên BX  BY Vì ZT // AB CM qua trung điểm AB nên CZ  CT AB.CZ  AC.BX  AC AB AC AB    CZ BX CT BY Theo a) có · · · ACT  ABY  BAC Mặt khác · · CTA ∽ BYA  c.gc   ATC  AYB Do · · · · · · Ta lại có ATC  MAB; AYB  NAC (đồng vị)  MAB  NAC   …………… HẾT…………… Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC ...Website:tailieumontoan.com LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2 015- 2016 P a a 1 a a 1    a 2 a    a    a a a a  a   a  a 