Website:tailieumontoan.com ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2015-2016 Câu 1: (4,0 điểm) P Cho biểu thức a a 1 a a 1 a 2 a a a a a a a a a 1 a) Rút gọn biểu thức P b) Chứng minh với giá trị a (thỏa điều kiện thích hợp) ta có P Câu 2: (4,5 điểm) Giải phương trình Câu 3: (4,0 điểm) Cho ba số không âm x, y, zthỏa mãn Chứng minh Câu 4: (2,5 điểm) µ Cho hình bình hành ABCD có A 90 Dựng tam giác vuông cân A BAM DAN ( B N nửa mặt phẳng bờ AD , D M nửa mặt phẳng bờ AB ) Chứng minh AC vng góc với MN Câu 5: (5,0 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O , G trọng tâm Tiếp O cắt CG M Tiếp tuyến C O cắt BG N tuyến B Gọi X,Y theo thứ tự giao điểm CN , AN đường thẳng qua B song song với AC ; Z, T theo thứ tự giao điểm BM , AM đường thẳng qua C song song với AB Chứng minh : a) AB.CZ AC.BX · · b) MAB NAC ……………….HẾT…………… Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Giám thị khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh:…………………………………………….….Số báo danh: ………………… Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2015-2016 P a a 1 a a 1 a 2 a a a a a a a a a 1 Câu 1: (4,0 điểm) Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức P b) Chứng minh với giá trị a (thỏa điều kiện thích hợp) ta có P Lời giải a a 1 a a 1 a 2 a a a a a a a a a 1 (đk: a 1) a) 2 a a 1 a2 1 a a a3 13 a3 13 a a a 1 a a a 1 a a 1 a 1 P a a 1 a a a 1 a a 3a a a 2 a a a 1 a 1 a 1 a a a a a a a a a 2a a a a a a 1 a 1 a a 2 2 a a 1 a 1 a 1 a a 1 a 1 a a a a 2a a a a 4 a P a 4 a a Vậy với b) Ta có P hay P (đpcm) Câu 2: (4,5 điểm) Giải phương trình Lời giải 4x 5x x x 9x 2 4x2 5x 1 x2 x 9x 3 9x 9x 3 9x 3 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu 4x2 5x x2 x 4x2 5x x2 x 4x2 5x x2 x word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com 9x 4x2 5x x2 x 9x x TH1: TH2: Ta dễ chứng minh phương trình 4x2 5x x2 x 1 1 vơ nghiệm Vậy phương trình cho có nghiệm Câu 3: (4,0 điểm) Cho ba số không âm x, y, zthỏa mãn Chứng minh Lời giải Ta có: 4xz 2 y (1 x )(1 z ) Tương tự ta có : 4xy 2 1 2z (1 2x)(1 2y) 1 64x2y2z2 (1 2x)2(1 2y)2(1 2z)2 Khi đó: 1 2x 1 2y 1 2z 8xyz (1 2x)(1 2y)(1 2z) (1 2x)(1 2y)(1 2z) 1 64xyz xyz 64 (đpcm) µ Câu 4: (2,5 điểm) Cho hình bình hành ABCD có A 90 Dựng tam giác vuông cân A BAM DAN ( B N nửa mặt phẳng bờ AD , D M nửa mặt phẳng bờ AB ) Chứng minh AC vng góc với MN Lời giải Gọi H giao điểm MN AC · · Ta có NAD BAM 180 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com · · · · NAB BAD BAD DAM 180 · · NAM BAD 180 · · Mặt khác AB // CD BAD ABC 180 · 180 BAD · · Do NAM ABC · · Xét NAM CAB có AM AB; AN BC;NAM ABC · · NAM CAB BAC AMN · · · · · · Xét AHM có AMN MAH BAC HAM BAM 90 AHM 90 Vậy AC MN Câu 5: (5,0 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O , G trọng O cắt CG M Tiếp tuyến C O cắt BG tâm Tiếp tuyến B N Gọi X,Y theo thứ tự giao điểm CN , AN đường thẳng qua B song song với AC ; Z, T theo thứ tự giao điểm BM , AM đường thẳng qua C song song với AB Chứng minh : a) AB.CZ AC.BX · · b) MAB NAC Lời giải a) Xét BZC ACB có: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com · · CBZ BAC (góc nợi tiếp góc tạo tia tiếp tuyến dây cung chắn một cung) · · BCZ ABC (so le trong, AB // CZ ) CZ BC AB.CZ BC BC AB Do BZC ∽ ACB (g.g) (1) BC AC AC.BX BC2 ABC ∽ CXB BX CB Tương tự, (g.g) (2) AB.CZ AC.BX BC2 Từ (1) (2) suy b) Vì XY // AC BN qua trung điểm AC nên BX BY Vì ZT // AB CM qua trung điểm AB nên CZ CT AB.CZ AC.BX AC AB AC AB CZ BX CT BY Theo a) có · · · ACT ABY BAC Mặt khác · · CTA ∽ BYA c.gc ATC AYB Do · · · · · · Ta lại có ATC MAB; AYB NAC (đồng vị) MAB NAC …………… HẾT…………… Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC ...Website:tailieumontoan.com LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2 015- 2016 P a a 1 a a 1 a 2 a a a a a a a a a