âu 1: âu 2: âu 3: âu 4: âu 5: Website:tailieumontoan.com ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH VĨNH PHÚC NĂM HỌC 2014 - 2015 (1,5 điểm) Cho biểu thức: x + 16 x − x +1 x +7 x A = − − : − ÷ ÷ x +3 x −1 ÷ x −1 ÷ x+2 x −3 a) Rút gọn biểu thức A = −6 x b) Tìm để (1,5 điểm) Cho hệ phương trình: A mx − y = x + my = a) Giải hệ phương trình b) Tìm m m (với tham số) m = 10 để hệ phương trình cho có nghiệm x + y − 2014 = −2015m + 14m − 8056 m2 + ( x; y ) thỏa mãn hệ thức: (3,0 điểm) a) Cho ba số thực dương biểu thức: P= a, b, c thỏa mãn a b c + + 2 9a + 3b + c 9b + 3c + a 9c + 3a + b a + b + c = Tìm giá trị lớn ( x; y) x(1 + x + x ) = y ( y − 1) b) Tìm tất cặp số nguyên thỏa mãn: (3,0 điểm) AC AC a B Cho đoạn thẳng có độ dài Trên đoạn lấy điểm cho C, AC = AB Cx AC D Tia vng góc với điểm gọi điểm Cx D C B thuộc tia ( không trùng với ) Từ điểm kẻ đường thẳng vng góc K , E CD AD AD với cắt hai đường thẳng a DC.CE a) Tính giá trị theo D BDE b) Xác định vị trí điểm để tam giác có diện tích nhỏ Cx D c) Chứng minh điểm thay đổi tia đường trịn đường DE kính ln có dây cung cố định (1,0 điểm) Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Cho dãy gồm 2015 số: 1 1 ; ; ; ; ; 2014 2015 u, v Người ta biến đổi dãy nói cách xóa hai số dãy u + v + uv u v viết thêm vào dãy số có giá trị vào vị trí 2014 Cứ làm dãy thu sau lần biến đổi, dãy cuối lại số Chứng minh giá trị số cuối khơng u, v phụ thuộc vào việc chọn số để xóa lần thực việc biến đổi dãy, tìm số cuối -Hết Ghi chú: - Thí sinh khơng sử dụng máy tính cầm tay - Giám thị coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh:………………………………………… Số báo danh:…….……………… Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH VĨNH PHÚC NĂM HỌC 2014 2015 Câu 16 (1,5 điểm) Cho biểu thức: x + 16 x − x +1 x +7 x A = − − : − ÷ ÷ x +3 x −1 ÷ x −1 ÷ x + x −3 a) Rút gọn biểu thức x A = −6 b) Tìm để A Lời giải x ≥ x ≥ x + x − ≠ x +3 ≠ x −1 x +3≠ ⇔ x ≠ x ≥ x −1 ≠ ⇔ x ≠ x x −2 2 − ≠0 x ≠ x −1 ≠ x −1 ( a) A xác định x ≥ 0; x ≠ 1; x ≠ Ta có: = x + 16 x − x +1 x +7 = T= − − x+2 x −3 x +3 x −1 ( )( ( )( ( x − 1) ( ) x −1 x + x +3 ) )− ĐKXĐ: x +1 x +7 − x +3 x −1 ) x +3 x +6 x +7 x +7 − = − x +3 x −1 x +3 x −1 = 2− x +7 = x −1 x = x −1 M = 2− A=T :M Vậy với Liên hệ tài 039.373.2038 x −9 x −1 = x −2 x −1 x −9 x − : = x −1 x −1 x ≥ 0; x ≠ 1; x ≠ liệu word môn x −9 x −2 A= tốn: x −9 x −2 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com b) Biến đổi: A = −6 ⇔ x = 21 ⇔ x = Vậy để Câu 17 A = −6 x −9 = −6 ⇔ x − = −6 x −2 ⇒ ( x −2 ) (thỏa mãn điều kiện) x=9 (1,5 điểm) Cho hệ phương trình: mx − y = x + my = a) Giải hệ phương trình m b) Tìm thức: m (với tham số) m = 10 để hệ phương trình cho có nghiệm x + y − 2014 = −2015m + 14m − 8056 m2 + ( x; y ) thỏa mãn hệ Lời giải Hệ phương trình: a) Thay m = 10 mx − y = x + my = ta hệ: (với m tham số) 10 x − y = 5 x − y = 50 x − 10y=10 ⇔ ⇔ x + 10 y = x + 10 y = x + 10 y = 15 15 x = 52 x = 52 ⇔ ⇔ 52 x=15 − x y = 23 ⇔ y= 10 52 2 x + 10 y = Vậy với với m = 10 hệ phương trình có nghiệm là: ( x; y ) = 15 23 ; ÷ 52 52 b) mx − y= mx − mx − y = y= ⇔ ⇔ mx − y = ⇔ x + m mx − = ( m + ) x=2m+10 2 x + my = x + my = Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com 2m + 10 x = m + ⇔ , ∀m ∈ R y = 5m − m2 + Do hệ phương trình có nghiệm là: x= Thay 2m + 10 m2 + x + y − 2014 = Ta được: y= 5m − m2 + 2m + 10 x = m2 + , ∀m ∈ ¡ m − y = m2 + vào hệ thức: −2015m + 14m − 8056 m2 + −2014m + 7m − 8050 −2015m + 14m − 8056 = m2 + m2 + ⇔ −2014m + 7m − 8050 = −2015m + 14m − 8056 m = ⇔ ⇔ m − 7m + = ⇔ ( m − 1) ( m − ) = m = Vậy để hệ phương trình cho có nghiệm x + y − 2014 = Câu 18 −2015m + 14m − 8056 m2 + m =1 ( x; y ) thỏa mãn hệ thức: m=6 (1,5 điểm) a , b, c a + b + c = a) Cho ba số thực dương thỏa mãn Tìm giá trị lớn a b c P= + + 2 9a + 3b + c 9b + 3c + a 9c + 3a + b biểu thức: b) Tìm tất cặp số nguyên ( x; y ) thỏa mãn: x(1 + x + x ) = y ( y − 1) Lời giải (a + b + c )( x + y + z ) ≥ (ax + by + cz ) ∀a, b, c, x, y, z ∈ ¡ a) Ta có: , ( 1) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word 2 môn 2 tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com (1) Thật vậy: ⇔ (a y − 2abxy + b x ) + (a z − 2acxz + c z ) + (b y − 2bcyz + c z ) ≥ ⇔ ( ay − bx ) + ( az − cx )2 + (by − cz ) ≥ Dấu (đúng) ay = bx " = " ⇔ az = cx by = cz Áp dụng BĐT (9a + 3b + c )( ( 1) ta có: "="⇔ a =b = c = Dấu ⇒ 9a + 3b + c ≥ 1 + + c) ≥ (a + b + c) = 9a a 1 1 ≤ a ( + + c) + +c ⇒ 9a 9a + 3b + c 9a b 1 c 1 ≤ b( + + a); ≤ c( + + b) 9b + 3c + a 9b 9c + 3a + b 9c 3 Tương tự ta có: a+b+c ⇒ P ≤ + + (ab + bc + ca ) 1 ( a + b + c) ⇒P≤ + + =1 3 Pmax = ⇔ a = b = c = Vậy b) Ta có Do (a + b + c) ab + bc + ca ≤ x(1 + x + x ) = y ( y − 1) ⇔ ( x3 + x ) + ( x + 1) = y − y + ⇔ ( x + 1)( x + 1) = (2 y − 1) x, y ∈ ¢ ⇒ ( y − 1) > Vì Giả sử Liên hệ tài 039.373.2038 nên từ ( x + 1, x + 1) = d ⇒ d liệu word môn lẻ toán: ( 1) ⇒ x≥0 x ( 1) chẵn x − 1Md ; x + 1Md ⇒ 2Md ⇒ d = TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com ( x + 1)( x + 1) Vì số phương hai số phương Do Khi nên ( x + 1) ( x + 1) 2 2 x ≥ ⇒ x < x + ≤ ( x + 1) ⇒ x + = ( x + 1) ⇒ x = x=0 , có y = ⇔ (1) ⇔ y ( y − 1) = y =1 Vậy có hai cặp số nguyên (0; 0); (0;1) Câu 19 ( x + 1, x + 1) = ( x; y ) thỏa mãn yêu cầu toán là: (1,5 điểm) AC a AC B Cho đoạn thẳng có độ dài Trên đoạn lấy điểm C, AC = AB Cx AC D cho Tia vng góc với điểm gọi điểm Cx D C B thuộc tia ( không trùng với ) Từ điểm kẻ đường thẳng K , E CD AD AD vng góc với cắt hai đường thẳng DC.CE a a) Tính giá trị theo D BDE b) Xác định vị trí điểm để tam giác có diện tích nhỏ Cx D c) Chứng minh điểm thay đổi tia đường trịn DE đường kính ln có dây cung cố định Lời giải Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word môn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com · · ·ACD = ECB · EBC = ·ADC KBC = 90° a) Ta có: (Cùng bù với góc ); ⇒ ∆ACD # ∆ECB (g - g) ⇒ DC AC = BC EC ⇒ DC.CE = AC.BC AB = Do a 3a 3a ; BC = ⇒ DC.EC = AC BC = 4 S ∆BDE = b) Ta có: a) BC.DE ⇒ S ∆BDE Dấu a nhỏ nhỏ DE = DC + EC ≥ DC.EC " = " ⇔ DC = EC = ⇒ S( BDE ) =2 3a =a DE nhỏ (Theo chứng minh phần 3a D thuộc tia Cx CD = cho a DE c) Gọi giao điểm đường trịn đường kính với đường thẳng M,N A B ⇒ M,N DE (M nằm ) đối xứng qua ∆AKB#∆ACD Ta có: (g - g) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: AC TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com ⇒ AK AB = AC AD ⇒ AK AD = AC AB ∆AKM #∆AND ⇒ Từ ⇒ (g - g) AK AM = AN AD ⇒ AK AD = AM AN ( 1) ( 2) suy ( 2) a2 AM AN = AC AB = a2 = ( AC − MC )( AC + NC ) = AC − MC ⇒ MC = ⇒ M,N (Do MC = NC ) a 3a ⇒ MC = NC = hai điểm cố định Vậy đường trịn đường kính Câu 20 ( 1) DE ln có dây cung MN cố định (1,0 điểm) Cho dãy gồm 2015 số: 1 1 ; ; ; ; ; 2014 2015 u, v Người ta biến đổi dãy nói cách xóa hai số u + v + uv dãy viết thêm vào dãy số có giá trị vào vị trí u v 2014 Cứ làm dãy thu sau lần biến đổi, dãy cuối lại số Chứng minh giá trị số u, v cuối khơng phụ thuộc vào việc chọn số để xóa lần thực việc biến đổi dãy, tìm số cuối Với hai số thực u, v Lời giải ta ln có: ( u + 1) ( v + 1) = u + v + uv + = ( u + v + uv ) + Với dãy số thực a1 ; a2 ; ; a2015 (*) , ta xét “Tích thêm T ”: T = ( a1 + 1) ( a2 + 1) ( a3 + 1) ( a2015 + 1) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Áp dụng cách biến đổi dãy đề kết hợp với nhận xét (*), ta T nhận thấy “Tích thêm ” khơng thay đổi với dãy thu Với dãy cho ban đầu tốn, “Tích thêm T ”: T = + ÷ + 1÷ + 1÷ + 1÷ + 1÷ = 2015 2016 2015 2014 2015 = 2016 Giả sử sau 2014 lần biến đổi tùy ý theo yêu cầu, dãy lại x T = x +1 T số “Tích thêm ” dãy cuối là: Vậy ta có: x + = 2016 ⇒ x = 2015 2014 Bài toán giải sau lần biến đổi dãy theo yêu 2015 cầu toán ta thu số …………… HẾT…………… Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC ... 10 y = x + 10 y = 15 15 x = 52 x = 52 ⇔ ⇔ 52 x =15 − x y = 23 ⇔ y= 10 52 2 x + 10 y = Vậy với với m = 10 hệ phương trình có nghiệm là: ( x; y ) = 15 23 ; ÷ 52 52... = 2 015 2016 2 015 2014 2 015 = 2016 Giả sử sau 2014 lần biến đổi tùy ý theo yêu cầu, dãy lại x T = x +1 T số “Tích thêm ” dãy cuối là: Vậy ta có: x + = 2016 ⇒ x = 2 015 2014... + , ∀m ∈ ¡ m − y = m2 + vào hệ thức: −2015m + 14m − 8056 m2 + −2014m + 7m − 8050 −2015m + 14m − 8056 = m2 + m2 + ⇔ −2014m + 7m − 8050 = −2015m + 14m − 8056 m = ⇔ ⇔ m − 7m + = ⇔ ( m −