Website:tailieumontoan.com ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH LẠNG SƠN NĂM HỌC 2017-2018 Câu 1: (4,0 điểm) A= Cho biểu thức: x x − x−4 x +4 x x + x−4 x −4 − 2−3 x + x x 2+3 x − x x a) Rút gọn biểu thức A x ≥ 0, x ≠ 1, x ≠ x= b) Tính giá trị biểu thức A Câu 2: với (2 + 3) − −1 (4,0 điểm) x − 2mx + 2m − = Cho phương trình: a) Chứng minh phương trình cho ln có nghiệm b) Gọi x1 , x2 nghiệm phương trình Tìm giá trị nhỏ x1 x2 + B= x1 + x22 + 2(1 + x1 x2 ) biểu thức: Câu 3: (4,0 điểm) a) Giải phương trình: x2 − x + + 3x − = f (2017) f (2018) = 2019 đa thức với hệ số nguyên Biết f ( x) = Chứng minh phương trình khơng có nghiệm ngun b) Cho Câu 4: f ( x) (6,0 điểm) ( O) AC > AB ABC Cho tam giác nhọn có nội tiếp đường trịn Kẻ phân ( I ∈ BC ) ABC AI giác tam giác cắt (O) E Tại E C kẻ hai tiếp tuyến với (O) cắt F, AE cắt CF N, AB cắt CE M a) Chứng minh tứ giác b) Chứng minh AMNC 1 + = CN CI CF nội tiếp đường tròn c) Gọi AD trung tuyến tam giác 2AK = AC − AB minh Câu 5: ABC , kẻ DK //AI ( K ∈ AC ) Chứng (2,0 điểm) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Trường trung học phổ thơng A tổ chức giải bóng đá cho học sinh nhân 26 – ngày thành lập đồn Biết có n đội tham gia thi đấu vòng tròn lượt (hai đội đấu với trận) Đội thắng điểm, đội hịa điểm đội thua khơng điểm Kết thúc giải, ban tổ chức nhận thấy số trận thắng thua gấp bốn lần số 336 trận hòa tổng số điểm đội Hỏi có tất đội bóng tham gia? ……………….HẾT…………… Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Giám thị khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh:…………………………………………….….Số báo danh: ………………… Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH LẠNG SƠN NĂM HỌC 20172018 Câu 1: (4,0 điểm) A= Cho biểu thức: x x − x−4 x +4 x x + x−4 x −4 − 2−3 x + x x 2+3 x − x x a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị biểu thức A Đặt t ≥ 0, t ≠ 1, t ≠ t − t − 4t + t + t − 4t − − − 3t + t + 3t − t A= (t − 1)(t − 2)(t + 2) (t + 1)(t − 2)(t + 2) − (t − 1)(t − 1)(t + 2) (t + 1)(t + 1)(2 − t ) A= t − t + 2t − + = = 2− t −1 t +1 t −1 t −1 x −1 Vậy với b) (2 + 3) − −1 đó: A= A= 2− x ≥ 0; x ≠ 1; x ≠ A = 2− x −1 (2 + 3) − (2 + 3) (2 − 3) (2 + 3)(2 − 3) x= = = −1 −1 −1 ⇒x= = +1 −1 x = +1 Với Câu 2: , Lời giải x ≥ 0; x ≠ 1; x ≠ t= x x ≥ 0, x ≠ 1, x ≠ x= a) ĐKXĐ: với (Thỏa mãn ĐKXĐ) x = +1 A = 2− 2 = 2− = 2− 2 +1−1 (4,0 điểm) Cho phương trình: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word x − 2mx + 2m − = mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com a) Chứng minh phương trình cho ln có nghiệm x1 , x2 b) Gọi nghiệm phương trình Tìm giá trị nhỏ x1 x2 + B= x1 + x22 + 2(1 + x1 x2 ) biểu thức: Lời giải x − 2mx + 2m − = Phương trình: a) có a+b+c = nên có hai nghiệm: ∀m ∈ ¡ trình ln có nghiệm x1 = 1, x2 = 2m − Chứng tỏ phương b) Do phương trình ln có nghiệm nên theo hệ thức Vi-et ta có: x1 + x2 = 2m; x1.x2 = 2m − B= Suy ra: Xét 2(2m − 1) + 4m + = ( x1 + x2 ) + 4m + 2 4m + 1 4m + + 2m + ( m + 2m + 1) ( m + 1) B+ = + = = = ≥0 4m + 2 4m + m +2 ( m2 + ) ⇒B≥ −1 MinB Vậy với ∀m ∈ ¡ Dấu “=” xảy Câu 3: ( m + 1) −1 ⇔ m = −1 = ⇔ m = −1 (4,0 điểm) a) Giải phương trình: x2 − x + + 3x − = f (2017) f (2018) = 2019 đa thức với hệ số nguyên Biết f ( x) = Chứng minh phương trình khơng có nghiệm nguyên b) Cho f ( x) Lời giải x≥ a) ĐKXĐ: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com x − x + + x − = ⇔ x − (3 x − 1) − x + x − = t = 3x − ≥ x2 − t − x + t = Đặt ta được: ⇒ ( x − t )( x + t ) − ( x − t ) = ⇔ ( x − t )( x + t − 1) = TH1: x −t = hay x = x − ⇔ x = x − ⇔ x − 3x + = ∆ = ( −3) − 4.1.1 = > x= 3+ TH2: x= (Thỏa mãn); x + t −1 = 3− (Thỏa mãn) t = − x ⇒ 3x − = − x hay , ĐK: x ≤1 ⇒ 3x − = − x + x ⇔ x − x + = ∆ = ( −5 ) − 4.1.2 = 17 > x= − 17 x= (Thỏa mãn); + 17 (Loại); x= Vậy phương trình cho có nghiệm: b) Từ giả thiết ta có 3± x= , − 17 f (2017), f (2018) số nguyên x = 2017, x = f ( x) = 2018 không nghiệm PT f ( x) = x = a∈¢ Giả sử phương trình có nghiệm nguyên , theo định lý f ( x) = ( x − a).g ( x) g ( x) Bơ-zu ta có: với đa thức hệ số nguyên không nhận x = 2017, x = 2018 làm nghiệm Do vậy: f (2017) = (2017 − a) g (2017), f (2018) = (2018 − a ).g (2018) Nhân vế với vế áp dụng giả thiết f (2017) f (2018) = 2019 2019 = (2017 − a) g (2017).(2018 − a) g (2018) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: ; TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Điều vơ lý vế trái số lẻ, vế phải số chẵn ( (2017 − a ); (2018 − a ) số nguyên liên tiếp, tích số chẵn) Vậy Câu 4: f ( x) = khơng có nghiệm ngun (đpcm) (6,0 điểm) ( O) AC > AB ABC Cho tam giác nhọn có nội tiếp đường trịn Kẻ phân ABC ( I ∈ BC ) AI giác tam giác cắt (O) E Tại E C kẻ hai tiếp tuyến với (O) cắt F, AE cắt CF N, AB cắt CE M a) Chứng minh tứ giác b) Chứng minh AMNC 1 + = CN CI CF nội tiếp đường tròn c) Gọi AD trung tuyến tam giác 2AK = AC − AB minh ABC , kẻ DK //AI ( K ∈ AC ) Chứng Lời giải » = CE » BE AI a) Do phân giác nên , theo tính chất góc ngồi đường trịn, ta có : Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com ·AMC = »AC − BE » = »AC − CE » = ·ANC Vậy tứ giác AMNC nội tiếp AMNC ABEC b) Do hai tứ giác nội tiếp, nên ta có góc ·AMN = MCN · · · · ; ·ABE = BCE ; CAE = CMN nhau: BC // MN // EF ∆CMN Suy : , cân N Xét tam giác CIN có CE phân giác EF//IC nên ta có tỉ số EN CN EN FN CN FN = = ⇒ = EI CI EI FC CI FC ; CN CN − CF CN CN ⇒ = ⇒ = −1 CI FC CI FC CN CN +1 = CI FC Chuyển vế : , chia vế cho CN ta có điều phải chứng minh AC HG //AI G H K AH c) Gọi thuộc cho trung điểm , Kẻ với BC HG CG = CL ∆CLG L thuộc , lấy điểm cho ( cân) AI // DK // HG DI = DG K AH Từ trung điểm nên , theo giả thiết DB = DC BI = GC BI = CL nên · · · · · · · AI //HL BAI = IAC = LHC BIA = EIC = LGC = HLC nên , (so le đồng vị) Xét hai tam giác AIB HLC có hai góc nên góc cịn lại ∆AIB = ∆HLC nhau, có cạnh BI = CL nên (g – c – g) Vậy AB = HC ⇒ Mặt khác HC = AC – AH = AC – 2AK nên AB = AC – 2AK 2AK = AC – AB (đpcm) Câu 5: (2,0 điểm) Trường trung học phổ thông A tổ chức giải bóng đá cho học sinh nhân 26 – ngày thành lập đồn Biết có n đội tham gia thi đấu vòng tròn lượt (hai đội đấu với trận) Đội thắng điểm, đội hòa điểm đội thua không điểm Kết thúc giải, ban tổ chức nhận thấy số trận thắng thua gấp bốn lần số 336 trận hòa tổng số điểm đội Hỏi có tất đội bóng tham gia? Lời giải ⇒ x∈N * 2x Gọi số trận hòa ( ) tổng số điểm trận hịa , (1 trận hịa có đội, đội điểm) x Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Theo giả thiết số trận thắng 12x Tổng số điểm đội Vậy ta có tất 4x ⇒ tổng số điểm trận thắng 336 ⇒ x + 12 x = 336 ⇒ x = 24 24 + 4.24 = 120 trận đấu diễn Từ giả thiết có n đội, đội đấu với n – đội lại nên số trận đấu diễn n(n – 1) , tính trận lượt lượt về, giả thiết đội đấu với lần nên tổng số trận giảm nửa, n( n − 1) có tất trận đấu Vậy n(n − 1) = 120 ⇒ n(n − 1) = 240 ⇒ n = 16, (n = −15 loại) Vậy có tất 16 đội bóng tham gia …………… HẾT…………… Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC ... 2 018 làm nghiệm Do vậy: f (2017) = (2017 − a) g (2017), f (2 018) = (2 018 − a ).g (2 018) Nhân vế với vế áp dụng giả thiết f (2017) f (2 018) = 2019 2019 = (2017 − a) g (2017).(2 018 − a) g (2 018) ... phương trình cho có nghiệm: b) Từ giả thiết ta có 3± x= , − 17 f (2017), f (2 018) số nguyên x = 2017, x = f ( x) = 2 018 không nghiệm PT f ( x) = x = a∈¢ Giả sử phương trình có nghiệm ngun , theo... word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH LẠNG SƠN NĂM HỌC 20172 018 Câu 1: (4,0 điểm) A= Cho biểu thức: x x − x−4 x +4 x x + x−4 x −4 − 2−3 x + x