Website:tailieumontoan.com ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH LẠNG SƠN NĂM HỌC 2014-2015 Câu 1: (4,0 điểm) A= Cho biểu thức x+2 x +1 + + x x −1 x + x +1 − x ( x ≥ 0; x ≠ 1) 1) Rút gọn biểu thức A 2) Chứng minh A không nhận giá trị nguyên với Câu 2: (4,0 điểm) Giải phương trình : Câu 3: x > 0; x ≠ x + x + 10 = 2 x + (4,0 điểm) x − 2(a + 1) x + 2a = (1) Cho phương trình (với a tham số) 1) Chứng minh phương trình (1) ln có hai nghiệm với a 2) Tìm a để phương trình (1) có hai nghiệm độ dài hai cạnh hình chữ nhật có độ dài đường chéo Câu 4: (6,0 điểm) 60° Cho góc xOy có số đo Đường trịn có tâm K tiếp xúc với tia Ox M tiếp xúc với tia Oy N Trên tia Ox lấy điểm P thỏa mãn OP = 3OM Tiếp tuyến đường tròn (K) qua P cắt tia Oy Q khác O Đường thẳng PK cắt đường thẳng MN E Đường thẳng QK cắt đường thẳng MN F ∆KPQ ∆MPE 1) Chứng minh hai tam giác đồng dạng với 2) Chứng minh tứ giác PQEF nội tiếp ∆DEF 3) Gọi D trung điểm PQ Chứng minh tam giác Câu 5: (2,0 điểm) Cho x, y dương thỏa mãn điều kiện : x+ y ≥6 P = 3x + y + Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: + x y TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com ……………….HẾT…………… Thí sinh không sử dụng tài liệu Giám thị không giải thích thêm Họ tên thí sinh:…………………………………………….….Số báo danh: ………………… Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH LẠNG SƠN NĂM HỌC 20142015 Câu 1: (4,0 điểm) A= Cho biểu thức x+2 x +1 + + x x −1 x + x +1 − x ( x ≥ 0; x ≠ 1) 1) Rút gọn biểu thức A 2) Chứng minh A không nhận giá trị nguyên với Lời giải x A= x + x +1 Rút gọn Chứng minh < A 0; x ≠ (4,0 điểm) Giải phương trình : x + x + 10 = 2 x + Lời giải x + x + 10 = 2 x + ⇔ x2 + 8x + 16 = 2x + 5+ 2x + + ⇔ ( x + 4) = ( ) 2x + + Nghiệm phương trình Câu 3: x = −2 (4,0 điểm) x − 2(a + 1) x + 2a = (1) Cho phương trình (với a tham số) 1) Chứng minh phương trình (1) ln có hai nghiệm với a 2) Tìm a để phương trình (1) có hai nghiệm độ dài hai cạnh hình chữ nhật có độ dài đường chéo Lời giải ∆ ' = a2 +1 > Có với a nên phương trình ln có nghiệm phân biệt với a x1 + x2 = 2a + x1.x2 = 2a x12 + x22 = 12, Theo giả thiết: theo Viet ( 2a + ) − 4a = 12 a = 1; a = −2 Nên hay { Câu 4: (6,0 điểm) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com 60° Cho góc xOy có số đo Đường trịn có tâm K tiếp xúc với tia Ox M tiếp xúc với tia Oy N Trên tia Ox lấy điểm P thỏa mãn OP = 3OM Tiếp tuyến đường tròn (K) qua P cắt tia Oy Q khác O Đường thẳng PK cắt đường thẳng MN E Đường thẳng QK cắt đường thẳng MN F 1) Chứng minh hai tam giác MPE KPQ đồng dạng với 2) Chứng minh tứ giác PQEF nội tiếp 3) Gọi D trung điểm PQ Chứng minh tam giác DEF Lời giải ·QPO · · MPE = KPQ (*) 1) PK phân giác góc nên · ⇒ EMP = 120° ∆OMN · OQP QK phân giác · · · ⇒ QKP = 1800 − KPQ + KQP ( Mà ) · · · 2.KQP + 2.KPQ = 180° − 60° = 120° ⇒ QKP = 120° Do · · EMP = QKP (**) ∆MPE ∽ ∆KPQ Từ (*) (**) ta có · · · · ∆MPE ∽ ∆KPQ MEP = KQP FEP = FQP 2) Do nên hay Suy tứ giác PQEF nội tiếp đường tròn PM PE PM PK = = ∆MPE ∽ ∆KPQ PK PQ PE PQ 3) Do nên suy · · ∆MPK ∽ ∆EPQ MPK = EPQ Ngồi , (c.g.c) · · PEQ = PMK = 90° Từ đó: Suy ra, D tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác PQEF ∆DEF Vì cân D · · · · FPD = 180° − FDP + EDQ = POQ = 60° Ta có: Do Câu 5: ( ∆DEF ) tam giác (2,0 điểm) Cho x, y dương thỏa mãn điều kiện : Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: x+ y ≥6 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com P = 3x + y + + x y Tìm giá trị nhỏ biểu thức Lời giải a− b ≥0 a + b ≥ ab Ta có nên với a, b dương Từ giả thiết, ta có: 12 16 P = 3( x + y ) + (3x + ) + y + ÷ ≥ 3.6 + 2.6 + 2.4 = 38 x y ( Nên Liên hệ tài 039.373.2038 ) P ≥ 38 ⇔ P ≥ 19 liệu word Vậy môn Min P = 19 toán: x = 2; y = TÀI LIỆU TOÁN HỌC ... liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH LẠNG SƠN NĂM HỌC 20142 015 Câu 1: (4,0 điểm) A= Cho biểu thức x+2 x +1 + + x x −1 x + x +1 − x ( x ≥ 0;