Website:tailieumontoan.com ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH ĐẮC LẮC NĂM HỌC 2016-2017 Câu 1: (4,0 điểm) 1) Cho số thực a mà a Rút gọn biểu thức a 1 a a 1 a A a a a a a x 3x y y 16 x y 2) Giải hệ phương trình Câu 2: (4,0 điểm) 1) Tìm m để phương trình x 2m 1 x 3m có hai nghiệm x1 ; x2 2 thỏa mãn x1 x2 2) Cho số thực b thỏa mãn điều kiện đa thức P( x) x bx 2017 có giá trị nhỏ số thực dương Chứng minh hai phương trình x 12 10 x b x 12 10 x b có hai nghiệm phân biệt Câu 3: (4,0 điểm) x 1) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn y n 4n 2) Với số tự nhiên n, ta đặt M (n) 2M ( n ) chia hết cho 31 1 n Chứng minh Câu 4: (4,0 điểm) Cho đường trịn (O) có tâm O Dây AB cố định khơng phải đường kính Gọi I trung điểm đoạn AB Trên cung nhỏ AB lấy hai điểm C, E cho góc CIA EIB góc nhọn CI cắt đường trịn (O) điểm D khác C EI cắt đường tròn (O) điểm F khác E Các tiếp tuyến với đường tròn (O) C D cắt M, tiếp tuyến với đường tròn (O) E F cắt N Nối OM cắt CD P ON cắt EF Q Chứng minh rằng: 1) Tứ giác PQNM nội tiếp 2) MN song song với AB Câu 5: (2,0 điểm) Cho tam giác ABC cân C, có góc đỉnh 36 Chứng minh AC AB Câu 6: (2,0 điểm) Cho hai số thực a, b thay đổi cho a 2;1 b Tìm giá trị lớn 2 A a b b a a b b a biểu thức Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com ……………….HẾT…………… Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Giám thị khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh:…………………………………………….….Số báo danh: ………………… Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com LỜI GIẢI ĐỀ ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH ĐẮC LẮC NĂM HỌC 20162017 Câu 1: (4,0 điểm) x 2m 1 x 3m x1 ; x2 1) Tìm m để phương trình có hai nghiệm 2 thỏa mãn x1 x2 2) Cho số thực b thỏa mãn điều kiện đa thức P( x) x bx 2017 có giá trị nhỏ số thực dương Chứng minh hai phương trình x 12 10 x b x 12 10 x b có hai nghiệm phân biệt Lời giải 1) a 1 a a 1 a A a a a a a a a 1 1 a 1 1 a 1 1 a 1 1 a 1 a 1 1 a 1 a 1 a 1 1 a 1 a a 1 1 a 1 1 a a a a (do a a 0; a 0) a x2 3x y y 16 y (*) 2) x (ĐK: x 0; y 0) x 16 (1) x 1 x y 3 y (*) 16 x x y 3 y x 16 y (2) x Ta có x x 121 3 y 11 y Giải (1) (TMĐK) x y 1 x y 1 16 3 y 3 y y 3 y 1 Giải (2) x y x2 y 1 y y (TMĐK) Vậy hệ phương trình có hai nghiệm Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: 121 ;(2;1) x; y 1; TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Câu 2: (4,0 điểm) x 2m 1 x 3m 1) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 2 thỏa mãn x1 x2 2) Cho số thực b thỏa mãn điều kiện đa thức P( x) x bx 2017 có giá trị nhỏ số thực dương Chứng minh hai phương trình x 12 10 x b x 12 10 x b có hai nghiệm phân biệt Lời giải 2m 1 3m 1 m 1 2 1) Ta có với m Nên phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với m x1 x2 (2m 1) x x 3m Theo Viét, ta có: 2 x x2 x1 x2 x1 x2 Khi đó: m 1 2m 1 3m 1 2m m m 1 2m 1 m b b2 b2 P( x ) x bx 2017 x 2017 2017 2 4 2) b Min P( x ) 2017 Do b2 2017 b 4.2017 2 2017 b 2017 Ta có: ' 360 4b Phương trình: x 12 10 x b có ' 360 4b Phương trình : x 12 10 x b có ' 2 2017 b 2017 360 2017 360 4b 360 2017 '2 360 2017 360 4b 360 2017 Mà Vậy hai phương trình cho có hai nghiệm phân biệt Câu 3: (4,0 điểm) x 1) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn y n 4n 2) Với số tự nhiên n, ta đặt M (n) 2M ( n ) chia hết cho 31 1 n Chứng minh Lời giải y 2m (1) x y y 1 y 1 x y n (2) m n x 1) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com m n Từ (1) (2) m 2, n x 3; y n M4 n 4t (t ¥ ) 2n 4t 16t 5k1 1( k1 ¥ ) 2) Nếu n chẵn Và 4n n p 1( p ¥ ) 24 n Nên 1 n2 24 p 1 2.16 p 5k2 ( k2 ¥ ) M (n) 5k 3(k ¥ ) M ( n) 25 k 3 32 k 1 M31 (1) n2 4t 1 t ¥ 2n 24t 1 2.16t 5k1 k ¥ Nếu n lẻ Và n n p ( p ¥ ) 24 n Nên 1 n2 24 p 16 p 5k2 1(k ¥ ) M (n) 5k 3(k ¥ ) M ( n) 25 k 3 32 k 1 M 31 (2) M (n) chia hết cho 31 Từ (1) (2) suy Câu 4: (4,0 điểm) Cho đường trịn (O) có tâm O Dây AB cố định khơng phải đường kính Gọi I trung điểm đoạn AB Trên cung nhỏ AB lấy hai điểm C, E cho góc CIA EIB góc nhọn CI cắt đường tròn (O) điểm D khác C EI cắt đường tròn (O) điểm F khác E Các tiếp tuyến với đường tròn (O) C D cắt M, tiếp tuyến với đường tròn (O) E F cắt N Nối OM cắt CD P ON cắt EF Q Chứng minh rằng: 1) Tứ giác PQNM nội tiếp 2) MN song song với AB Lời giải 1) Chứng minh: Tứ giác PQNM nội tiếp Ta có: OC OD (bán kính), MC MD (MC, MD tiếp tuyến cắt nhau) Suy ra: OM trung trực CD OM DP Xét ODM có: · ODM 900 (MD tiếp tuyến (O) D), OM DP (cmt ) OD OP.OM (a ) Chứng minh tương tự có: OF OQ.ON (b) Lại có: OD OF (bán kính) (c) Từ (a), (b), (c) suy ra: OP ON OP.OM OQ.ON OQ OM Xét OPQ ONM có: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com OP ON (cmt ) µO OQ OM chung; · · OPQ ∽ ONM (c.g.c) nên OPQ ONM Vậy tứ giác PQNM nội tiếp (đpcm) 2) Chứng minh: MN song song với AB · · Tứ giác OPIQ có : OPI OQI 90 (theo câu a) · · Vậy tứ giác OPIQ nội tiếp QOI QPI (góc nội tiếp chắn cung QI) Lại có · · · · · · · ONM OPQ (cmt ) QOI ONM QPI OPQ OPI 900 (do OM DP ) ONT vuông T (T giao điểm OI MN) IA IB AB ( gt ) OI MN , mặt khác OI AB (vì ) Vậy AB // MN (đpcm) Câu 5: (2,0 điểm) Cho tam giác ABC cân C, có góc đỉnh 36 Chứng minh: AC AB Lời giải 180 ·ACB 180 36 · · CAB CBA 720 2 Ta có: (Vì tam giác ABC cân C) · · · Kẻ phân giác BD góc ABC CBD ABD 36 Chứng minh BDC cân D, ABD cân B AC BC x, AB BD CD a x 0, a Đặt Mặt khác BD phân giác ABC CD AD CD AD AC Nên BC AB BC AB BC AB a x x ax a (*) x xa 1 x a Giải phương trình (*) ta (vì x ) 1 a AC 1 :a 2 nên AB Câu 6: (2,0 điểm) Cho hai số thực a, b thay đổi cho a 2;1 b Tìm giá trị lớn 2 A a b b a a b b a biểu thức Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Lời giải Áp dụng BĐT: xy x y 2 4 a b a2 b2 2 a b a b A a b b a a b b a Ta có: 4 a x a x 4; b y b y a a b b Đặt a ;1 b Lại có: suy ra: a 3a 30 x 3 a 1 a a 3a a a a a 2 b 3b 3 0 y 3 b 1 b b 3b b b b b Nên x yx A y 8 8 64 4 2 a b a b b a b a a b a 1 a a b b 1 b Đẳng thức xảy Max A 64 a b a b Vậy …………… HẾT…………… Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC ... m b b2 b2 P( x ) x bx 2 017 x 2 017 2 017 2 4 2) b Min P( x ) 2 017 Do b2 2 017 b 4.2 017 2 2 017 b 2 017 Ta có: ' 360 4b Phương trình:... Phương trình : x 12 10 x b có ' 2 2 017 b 2 017 360 2 017 360 4b 360 2 017 '2 360 2 017 360 4b 360 2 017 Mà Vậy hai phương trình cho có hai nghiệm phân... word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com LỜI GIẢI ĐỀ ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH ĐẮC LẮC NĂM HỌC 20162 017 Câu 1: (4,0 điểm) x 2m 1 x 3m x1 ; x2 1) Tìm m để phương trình có