DỰ ÁN WORD VÀ GIẢI CHI TIẾT BÀI 74-75-76 Người thực hiện: Trần Văn Tín O Bài 74: Cho đường trịn đường kính AB 2 R Gọi C trung điểm OA dây MN vng góc với OA C Gọi K điểm tùy ý cung nhỏ BM , H giao điểm AK MN a) Chứng minh BCHK tứ giác nội tiếp b) Tính tích AH AK theo R c) Chứng minh tứ giác AMON hình thoi d) Xác định vị trí điểm K để tổng KM KN KB đạt giá trị lớn tính giá trị lớn (Đề tuyển sinh 10 THPT – TP Hà Nội) Lời giải a) Chứng minh BCHK tứ giác nội tiếp Xét tứ giác BCHK ta có: HCB 90 (do MN OA ) HKB AKB 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Suy ra: HCB HKB 90 90 180 BCHK nội tiếp b) Tính tích AH AK theo R Xét ACH AKB , ta có: ACH AKB 90 A chung Suy ra: ACH ∽ AKB (g.g) AC AH AK AB 1 AH AK AC AB OA AB R.2 R R 2 2 Vậy AH AK R c) Chứng minh tứ giác AMON hình thoi Xét tứ giác AMON ta có: AO MN (gt)(1) C trung điểm MN (tính chất đường kính vng góc với dây cung) Mà C trung điểm OA (gt) Do đó: AMON hình bình hành (2) Từ (1) (2) suy ra: AMON hình thoi d) Xác định vị trí điểm K để tổng KM KN KB đạt giá trị lớn tính giá trị lớn Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski cho số 1, 1, KM , KB ta có: 1.KM 1.KB 12 12 KM KB Đẳng thức xảy khi: KM KB Do đó: KM KB đạt giá trị lớn KM KB K điểm nằm BM Mặt khác: Khi K điểm nằm BM OK BM (3) Mà ON //AM AM BM ON BM (4) Từ (3) (4) suy ra: NK đường kính (khi K trung điểm BM ) Do đó: Khi K điểm nằm BM NK đạt giá trị lớn (đường kính dây cung lớn nhất) Vậy KM KN KB đạt giá trị lớn K điểm nằm Khi đó: KM KB AK AO R (vì AM MK KB 60 ) KM KN KB R 2R R 4 R Bài 75: Chođường trịn tâm O đường kính AB 2 R Gọi C trung điểm OA , qua C kẻ dây MN vng góc với OA C Gọi K điểm tùy ý cung nhỏ BM , H giao điểm AK MN a) Chứng minh BCHK tứ giác nội tiếp b) Chứng minh AH AK R c) Trên KN lấy điểm I cho KI KM Chứng minh NI KB Lời giải a) Chứng minh BCHK tứ giác nội tiếp Xét tứ giác BCHK ta có: HCB 90 (do MN OA ) HKB AKB 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) Suy ra: HCB HKB 90 90 180 BCHK nội tiếp b) Tính tích AH AK theo R Xét ACH AKB , ta có: ACH AKB 90 A chung Suy ra: ACH #AKB (g.g) AC AH 1 AH AK AC AB OA.AB R.2 R R AK AB 2 Vậy AH AK R c) Chứng minh NI KB O Xét ta có: MNK MBK (góc nội tiếp chắn cung) (1) Xét MKI có: KM KI (gt) MKN 60 (góc nội tiếp chắn cung MN với sñ MN sñ AM sđ AN 120 ) Do đó: MKI MK MI KI MIK 60 MIK 60 MIN 180 60 120 (2) Mặt khác: MKB MKA AKB 30 90 120 (3) Xét MIN MKB ta có: MNK MBK (cmt) MIN MKB 120 (do (2) (3)) NMI BMK (theo định lí tổng góc tam giác) Lại có: MI MK (cmt) Suy ra: MIN MKB (g.c.g) NI KB (2 cạnh tương ứng nhau) (đpcm) O; R M Bài 76: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn , điểm O; R cung nhỏ BC ( M khác B C ) Đường tròn tiếp xúc với đường O; R tròn M (với R R ) Các đoạn thẳng MA, MB , MC cắt đường tròn O; R điểm thứ hai D , E , F Từ A, B, C vẽ tiếp tuyến AI , BJ , CK với O; R đường tròn I , J , K tiếp điểm Chứng minh DE //AB AI BJ CK (Đề thi tuyển sinh vào 10 THPT Chuyên Phan Bội Châu – Tỉnh Nghệ An năm học 2010-2011) Lời giải DE // AB * Chứng minh O Kẻ tiếp tuyến xy M Khi ta có: EDM EMx BMx BAM DE //AB (2 góc vị trí đồng vị nhau) * Chứng minh AI BJ CK Lấy điểm P AM cho AP MC Xét BAP BCM ta có: BA BC ( ABC đều) ) BAP BCM (góc nội tiếp chắn BM AP MC (cách dựng) Suy ra: BAP BCM (c.g.c) BP BM (*) Xét BMP có: BMP BMA BCA 60 MBP MBC CBP ABP CBP ABC 60 Suy ra: BMP cân P MP BP (**) Từ (*) (**) suy ra: MP BM AM BM MC Tương tự cách chứng minh ED //AB ta chứng minh EF //BC BE CF 1 Theo định lý Talet ta có: BM CM Mà BEJ ∽ BJM (g.g) CF BJ BJ BE 2 CK BM BM Và CFK ∽ CKM (g.g) CF CK CK CF 3 CK CM CM BJ CK BJ CK 2 2 3 1 CM BM CM Thay vào ta có: BM AI BJ AI BJ CK AM BM CM Tương tự ta chứng minh được: AM BM AI BJ CK BJ CK BJ CK AM Áp dụng dãy tỉ số ta có: AM BM CM BM CM Vậy AI BJ CK