Website:tailieumontoan.com ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH VĨNH PHÚC NĂM HỌC 2014 - 2015 Câu 1: (1,5 điểm) x 16 x A x x Cho biểu thức: a) Rút gọn biểu thức A x 1 x 3 x 7 2 x x x b) Tìm x để A Câu 2: (1,5 điểm) mx y 2 Cho hệ phương trình: 2 x my 5 (với m tham số) a) Giải hệ phương trình m 10 x; y thỏa mãn hệ thức: b) Tìm m để hệ phương trình cho có nghiệm x y 2014 2015m 14m 8056 m2 Câu 3: (3,0 điểm) a) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a b c 1 Tìm giá trị lớn biểu thức: P a b c 2 9a 3b c 9b 3c a 9c 3a b b) Tìm tất cặp số nguyên ( x; y ) thỏa mãn: x(1 x x ) 4 y ( y 1) Câu 4: (3,0 điểm) Cho đoạn thẳng AC có độ dài a Trên đoạn AC lấy điểm B cho AC 4 AB Tia Cx vng góc với AC điểm C , gọi D điểm thuộc tia Cx ( D không trùng với C ) Từ điểm B kẻ đường thẳng vng góc với AD cắt hai đường thẳng AD CD K , E a) Tính giá trị DC.CE theo a b) Xác định vị trí điểm D để tam giác BDE có diện tích nhỏ c) Chứng minh điểm D thay đổi tia Cx đường trịn đường kính DE ln có dây cung cố định Câu 5: (1,0 điểm) 1 1 ; ; ; ; ; 2014 2015 Cho dãy gồm 2015 số: Người ta biến đổi dãy nói cách xóa hai số u, v dãy viết thêm vào dãy số có giá trị u v uv vào vị trí u v Cứ làm dãy thu sau 2014 lần biến đổi, dãy cuối lại số Chứng minh giá trị số cuối khơng phụ thuộc vào việc chọn số u, v để xóa lần thực việc biến đổi dãy, tìm số cuối Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com -Hết Ghi chú: - Thí sinh khơng sử dụng máy tính cầm tay - Giám thị coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh:………………………………………… Số báo danh:…… ……………… Liên hệ tài liệu word môn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH VĨNH PHÚC NĂM HỌC 2014 2015 Câu 16 (1,5 điểm) x 16 x A x x Cho biểu thức: a) Rút gọn biểu thức A x 1 x 3 x 7 2 x x x b) Tìm x để A Lời giải x 0 x 0 x x 0 x 0 x1 x 0 x 1 x 0 x 0 x 1 x x 2 0 x 4 x 0 x1 a) A xác định ĐKXĐ: x 0; x 1; x 4 x 16 x T x2 x Ta có: x 6 x 3 2 x 1 x 3 x 3 x 7 x1 x 3 x 7 x1 x 1 x 3 x x x 7 x 1 x 3 x 7 x1 x 7 x1 x 7 x x1 x1 x x x1 x1 M 2 A T : M x x x : x1 x1 x Vậy với x 0; x 1; x 4 b) Biến đổi: A A x x x x x x 21 x 9 (thỏa mãn điều kiện) Vậy để A x 9 Câu 17 (1,5 điểm) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com mx y 2 Cho hệ phương trình: 2 x my 5 (với m tham số) a) Giải hệ phương trình m 10 b) Tìm m để hệ phương trình cho có nghiệm thức: x y 2014 x; y thỏa mãn hệ 2015m 14m 8056 m2 Lời giải mx y 2 Hệ phương trình: 2 x my 5 (với m tham số) 10 x y 2 5 x y 1 50 x 10y=10 2 x 10 y 5 2 x 10 y 5 a) Thay m 10 ta hệ: x 10 y 5 15 15 x x 52 52 52 x=15 x y y 23 10 52 2 x 10 y 5 Vậy với với m 10 hệ phương trình có nghiệm là: 15 23 x; y ; 52 52 mx y mx mx y y mx y 2 mx 2x m 5 m x=2m+10 2 x my 5 b) 2 x my 5 2m 10 x m , m R y 5m m2 2m 10 x m , m y 5m m2 Do hệ phương trình có nghiệm là: Thay x 2m 10 5m y 2 m m vào hệ thức: 2015m 14m 8056 x y 2014 m2 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com 2014m m 8050 2015m 14m 8056 m2 m2 Ta được: 2014m 7m 8050 2015m 14m 8056 m 1 m 7m 0 m 1 m 0 m 6 Vậy để hệ phương trình cho có nghiệm x; y thỏa mãn hệ thức: x y 2014 Câu 18 2015m 14m 8056 m2 m 1 m 6 (1,5 điểm) a) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a b c 1 Tìm giá trị lớn a b c P 2 9a 3b c 9b 3c a 9c 3a b biểu thức: b) Tìm tất cặp số nguyên ( x; y ) thỏa mãn: x(1 x x ) 4 y ( y 1) Lời giải 2 2 2 a) Ta có: (a b c )( x y z ) (ax by cz ) , a, b, c, x, y, z 1 Thật vậy: (1) ( a y 2abxy b x ) ( a z 2acxz c z ) (b y 2bcyz c z ) 0 (ay bx) (az cx) (by cz ) 0 (đúng) Dấu ay bx " " az cx by cz Áp dụng BĐT Dấu 1 ta có: " " a b c 9a 3b c (9a 3b c)( 1 c) ( a b c) 1 9a 3 a 1 1 a( c) c 9a 9a 3b c 9a b 1 c 1 b( a); c ( b) 9b 9c 3a b 9c Tương tự ta có: 9b 3c a a b c P 3 (ab bc ca ) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com 1 ( a b c) (a b c) P 1 3 3 Do ab bc ca Vậy Pmax 1 a b c b) Ta có x(1 x x ) 4 y ( y 1) ( x3 x ) ( x 1) 4 y y ( x 1)( x 1) (2 y 1) 1 y 1 1 x 0 x chẵn Vì x, y nên từ 2 Giả sử ( x 1, x 1) d d lẻ x 1d ; x 1d 2d d 1 2 Vì ( x 1)( x 1) số phương ( x 1, x 1) 1 nên ( x 1) ( x 1) hai số phương 2 2 Do x 0 x x ( x 1) x ( x 1) x 0 y 0 y 1 Khi x 0 , có (1) y ( y 1) 0 Vậy có hai cặp số nguyên (0;0); (0;1) Câu 19 x; y thỏa mãn yêu cầu toán là: (1,5 điểm) Cho đoạn thẳng AC có độ dài a Trên đoạn AC lấy điểm B cho AC 4 AB Tia Cx vng góc với AC điểm C , gọi D điểm thuộc tia Cx ( D không trùng với C ) Từ điểm B kẻ đường thẳng vng góc với AD cắt hai đường thẳng AD CD K , E a) Tính giá trị DC.CE theo a b) Xác định vị trí điểm D để tam giác BDE có diện tích nhỏ c) Chứng minh điểm D thay đổi tia Cx đường trịn đường kính DE ln có dây cung cố định Lời giải Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com x D K A C M N B E a) Ta có: EBC ADC (Cùng bù với góc KBC ); ACD ECB 90 ACD # ECB (g - g) DC AC BC EC DC.CE AC.BC a 3a 3a AB ; BC DC.EC AC.BC 4 Do S BDE BC.DE S BDE nhỏ DE nhỏ b) 3a 2 Ta có: DE DC EC 2 DC.EC a) Dấu " " DC EC a (Theo chứng minh phần a 3a a CD S( BDE ) nhỏ D thuộc tia Cx cho c) Gọi giao điểm đường tròn đường kính DE với đường thẳng AC M , N (M nằm A B ) M , N đối xứng qua DE Ta có: AKB#ACD (g - g) AK AB AC AD AK AD AC AB 1 AKM #AND (g - g) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com AK AM AN AD AK AD AM AN 2 a2 1 suy AM AN AC.AB Từ a2 ( AC MC )( AC NC ) AC MC (Do MC NC ) MC a 3a MC NC M , N hai điểm cố định Vậy đường tròn đường kính DE ln có dây cung MN cố định Câu 20 (1,0 điểm) 1 1 ; ; ; ; ; 2014 2015 Cho dãy gồm 2015 số: Người ta biến đổi dãy nói cách xóa hai số u, v dãy viết thêm vào dãy số có giá trị u v uv vào vị trí u v Cứ làm dãy thu sau 2014 lần biến đổi, dãy cuối lại số Chứng minh giá trị số cuối khơng phụ thuộc vào việc chọn số u, v để xóa lần thực việc biến đổi dãy, tìm số cuối Lời giải Với hai số thực u , v ta ln có: u 1 v 1 u v uv u v uv (*) Với dãy số thực a1 ; a2 ; ; a2015 , ta xét “Tích thêm T ”: T a1 1 a2 1 a3 1 a2015 1 Áp dụng cách biến đổi dãy đề kết hợp với nhận xét (*), ta nhận thấy “Tích thêm T ” khơng thay đổi với dãy thu Với dãy cho ban đầu tốn, “Tích thêm T ”: 1 T 1 1 1 1 1 2015 2016 2015 2014 2015 2016 Giả sử sau 2014 lần biến đổi tùy ý theo yêu cầu, dãy cịn lại cịn số x “Tích thêm T ” dãy cuối là: T x Vậy ta có: x 2016 x 2015 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Bài tốn giải sau 2014 lần biến đổi dãy theo yêu cầu toán ta thu số 2015 …………… HẾT…………… Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC