Website:tailieumontoan.com ĐỀ THI CHỌN HSG BẮC GIANG NĂM HỌC 2017-2018 Câu 1: (5,0 điểm) x x x x 1 x x 10 M : x x x x x x 8 a) Cho biểu thức Rút gọn M tìm x để M b) Cho a, b, c thỏa mãn Tính H ab bc ca a b b c c a 1 c 1 a 1 b Câu 2: (4,0 điểm) a) Giải phương trình 30 5 6x2 6x2 x x x 3; x 3; x b) Tìm số thực x để số x số nguyên Câu 3: (4,0 điểm) a) Tìm x nguyên dương để x 14 x x số phương b) Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x y z xyz Chứng minh x2 y2 z xyz x y z rằng: Câu 4: (6,0 điểm) O; R Trên đường tròn O; R lấy Cho đoạn thẳng OA R , vẽ đường tròn H cho AH R , qua H vẽ đường thẳng a tiếp xúc với đường O; R Trên đường thẳng a lấy B C cho H nằm B tròn C AB AC R Vẽ HM vng góc với OB ( M OB ), vẽ HN vng góc với OC ( N OC ) a) Chứng minh OM OB ON OC MN qua điểm cố định b) Chứng minh OB.OC R c) Tìm giá trị lớn diện tích tam giác OMN H thay đổi (chú ý: dùng kiến thức học kỳ lớp 9) Câu 5: (1,0 điểm) Cho dãy số n, n 1, n 2,, 2n với n ngun dương Chứng minh dãy có lũy thừa bậc số tự nhiên ……………….HẾT…………… Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Giám thị khơng giải thích thêm! Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Họ tên thí ………………… sinh:…………………………………………….….Số Liên hệ tài 039.373.2038 word liệu mơn tốn: báo danh: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com LỜI GIẢI ĐỀ ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH LONG AN NĂM HỌC 20182019 Câu 1: (4,0 điểm) x x x x 1 x x 10 M : x x x x x x 8 a) Cho biểu thức Rút gọn M tìm x để M b) Cho a, b, c thỏa mãn a b b c c a 1 c 1 a 1 b H Tính ab bc ca Lời giải a) ĐKXĐ: x 0; x 1, x 3, x M * x2 x 4 x 2 x2 x 4 : 3 x x 1 x ( x 1) x 1 x 1 x 5 x 5 x 1 x : x 1 x x 2 x 2 x 1 x 1 x 2 x 2 x 1 : (3 x 5)( x 1) 2( x 2) x 2 x 1 x x x x 3x x x x : x 2 x 11 x 2 x 1 x 3 x 2 x 1 : x 11 3x x 2 x 1 x3 x 2 x 2 x 1 3( x 3) x 1 x 1 * M 1 x 1 x 1 1 x 1 x 1 1 42 x x 1 0 2 x 0 x 1 x 2 0 x 1 x x x 2 0 x 1 x x Ta có: x x nên x Kết hợp ĐKXĐ ta có x x Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word môn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Vậy M x x b) a b b c c a 1 c 1 a 1 b H ab bc ca nên c ab bc ca c Vì b a c c a c Tương tự ta có 1 b 1 a H b a c b c c a b a c ; a b a b b c c a b c a b a c a b a c a c b c a b a c b c a b a c b c a b a c b c a b = a c 1 1 1 0 b c a c a c a b a b b c = Câu 2: (5,0 điểm) a) Giải phương trình 30 b) Tìm số thực x để số 5 6x2 6x2 x x x 3; x 3; x x số nguyên Lời giải a) Giải phương trình Vì x2 30 5 6x2 6x2 x x ĐK: x2 5 0; x2 6x 1 , 2 Theo bất đẳng thức AM – GM với hai số dương x x ta có 30 x x 1 x 1 x x x2 x 1 x Dấu “=” xảy Vì x2 Liên hệ tài 039.373.2038 5 x2 x , liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Theo bất đẳng thức AM – GM với hai số không âm 6x x ta có (6 x ) 5 x x (6 x ) 1 x x Dấu “=” xảy x2 x 1 x2 5 6x2 1 6x2 5 x 30 x x x x Vậy ta có 5 6x2 x2 x x Dấu “=” xảy x 1 (thỏa mãn) Vậy phương trình có nghiệm x 1 30 b) Tìm số thực x để số x 3; x 3; 2 Đặt a x 3; b x 3; c x x x số nguyên x với a, b, c Z 2 Từ a x x a 3; từ b x x b , nên ta có a 3 b a 3a b a 1 b a b a2 2 3 a 1 , Nếu a 10 a 1 a, b ¢ b a2 Ô Ô (Vụ lý) a 1 a a 1 b4 b a x 1 a Vậy nên ta có Với x ta có a 1; b c 2 nguyên, thỏa mãn đầu Câu 3: (5,0 điểm) a) Tìm x nguyên dương để x 14 x x số phương b) Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x y z xyz Chứng minh x2 y2 z xyz x y z rằng: Lời giải 3 2 a) Vì x 14 x x số phương, nên ta có x 14 x x k với k ¥ Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com x x x x x x x x 3 Ta có x 14 x x nên ta có x x x 3 k x 2, x Đặt x 3 d với d ¥ * x x Md x x 4Md Ta có x 2Md x x 3 x x 1Md d x x M d Ta lại có x 2, x x 3 x x x 3 nên ta có: mà x x x số phương x a 4x x b với a, b ¥ * 2 x b x 3 Vì x nên ta có x b x 12 x Vì b lẻ nên b x 1 2 x2 x x2 x x 2 Với x ta có x 14 x x 100 10 số phương 1 1 b) Vì x, y, z số thực dương thỏa mãn x y z xyz xy yz zx x2 x Nên ta có: " " xảy y z 1 1 1 1 1 ; x xy yz zx x y x z x y z Dấu x2 2 x y z x 1 y2 1 1 z2 1 2 x y z ; 2 x y z y z Tương tự ta có 1 1 x2 y z ; x y z x y z Dấu " " xảy Do x yz Ta có x y x xy yz zx x y z xy yz zx 3xy yz 3zx x y z xy yz zx 2 x y x Nên Liên hệ tài 039.373.2038 liệu 1 2 x y y z x z xy yz zx xyz xy yz xz word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com 3 1 1 xy yz xz xyz xyz xyz x y z x2 y2 1 1 z xyz x y z Vậy Dấu " " xảy x y z Câu 4: (3,0 điểm) O; R Trên đường tròn O; R lấy Cho đoạn thẳng OA R , vẽ đường tròn H cho AH R , qua H vẽ đường thẳng a tiếp xúc với đường O; R Trên đường thẳng a lấy B C cho H nằm B tròn C AB AC R Vẽ HM vng góc với OB ( M OB ), vẽ HN vng góc với OC ( N OC ) a) Chứng minh OM OB ON OC MN qua điểm cố định b) Chứng minh OB.OC R c) Tìm giá trị lớn diện tích tam giác OMN H thay đổi (chú ý: dùng kiến thức học kỳ lớp 9) Lời giải a) Ta có OH HB (Tính chất tiếp tuyến) OHB vng H , mà HM OB (gt) nên theo hệ thức lượng tam giác vng ta có OM OB OH R 2 Chưng minh tương tự ta có ON OC OH R Vậy ta có OM OB ON OC Ta có OM OB OH Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word R mà OA R nên ta có OM OB OA mơn tốn: OM OA OA OB TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com OM OA µ Xét OMA OAB có O chung, có OA OB OMA#OAB · · · · OAM OBA Ta có AO AB R (gt) OAB cân AOB OBA · · · ·AOM OBA , OAM AOM OMA cân MO MA Chứng minh tương tự ta có ONA cân NO NA Ta có MO MA ; NO NA , MN trung trực OA , gọi E giao EO EA OA MN OA E, mà O, A cố điểm MN với OA ta có định nên E cố đinh Vậy MN qua điểm cố định OC b) Ta có OM OB ON OM ON OC OB OM ON µ Xét OMN OCB có O chung , có OC OB OMN ∽OCB (c.g.c) OM OE OM OE OE OC OA 2OE mà OE MN OH BC nên ta có OC OH OM OC (vì OH OA 2OE ) Ta có OM OB OH OC OB R R (cm trên) OC OB 2 R 2 2 SOMN OE OE OE OH OA2 2OE SOCB c) Ta có OMN #OCB (cm trên) Nên SOMN 1 SOCB OH BC 4 1 1 R BC R( AB AC ) R( R R) R 8 Dấu “=” xảy B, A, C thẳng hàng H A Vậy diện tích OMN lớn SOMN R H A Câu 5: (3,0 điểm) Cho dãy số n, n 1, n 2,, 2n với n nguyên dương Chứng minh dãy có lũy thừa bậc số tự nhiên Lời giải Nếu n lũy thừa bậc hai số tự nhiên tốn chứng minh xong Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Nếu n không lũy thừa bậc số tự nhiên, ta ln tìm số k n k 1 nguyên dương k cho 2 Vì n nguyên dương n k n k , ta có: 2n k 1 2(k 1) k 1 2k 4k k 2k k 2k k 1 k n k 1 2n Vậy k nguyên dương , nên ta có Vậy dãy ln có lũy thừa bậc hai số tự nhiên …………… HẾT…………… Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC ... tốn: báo danh: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com LỜI GIẢI ĐỀ ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH LONG AN NĂM HỌC 2 0182 019 Câu 1: (4,0 điểm) x x x x 1 x x 10 M :