69 hsg 18 bac giang pham thanh nam

Website:tailieumontoan.com ĐỀ THI CHỌN HSG BẮC GIANG NĂM HỌC 2017-2018 Câu 1: (5,0 điểm)  x  x  x  x 1   x  x  10  M     :   x    x  x  x   x x  a) Cho biểu thức Rút gọn M tìm x để M  b) Cho a, b, c  thỏa mãn Tính H ab  bc  ca 1 a b b c c a   1 c 1 a 1 b Câu 2: (4,0 điểm) a) Giải phương trình 30  5  x  6 x 2 x x x b) Tìm số thực x để số 3; x  3; x  x số nguyên Câu 3: (4,0 điểm) a) Tìm x nguyên dương để x  14 x  x  số phương b) Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x  y  z xyz Chứng minh   x2   y2 1  z    xyz x y z rằng: Câu 4: (6,0 điểm)  O; R  Trên đường tròn  O; R  lấy Cho đoạn thẳng OA R , vẽ đường tròn H cho AH  R , qua H vẽ đường thẳng a tiếp xúc với đường  O; R  Trên đường thẳng a lấy B C cho H nằm B tròn C AB  AC R Vẽ HM vng góc với OB ( M  OB ), vẽ HN vng góc với  OC ( N  OC ) a) Chứng minh  OM OB ON OC MN qua điểm cố định b) Chứng minh OB.OC 2 R c) Tìm giá trị lớn diện tích tam giác OMN H thay đổi (chú ý: dùng kiến thức học kỳ lớp 9) Câu 5: (1,0 điểm) Cho dãy số n, n  1, n  2,, 2n với n nguyên dương Chứng minh dãy có lũy thừa bậc số tự nhiên ……………….HẾT…………… Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Giám thị khơng giải thích thêm! Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Họ tên thí ………………… sinh:…………………………………………….….Số Liên hệ tài 039.373.2038 word liệu mơn tốn: báo danh: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com LỜI GIẢI ĐỀ ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH LONG AN NĂM HỌC 20182019 Câu 1: (4,0 điểm)  x  x  x  x 1   x  x  10  M     :   x    x  x  x   x x  a) Cho biểu thức Rút gọn M tìm x để M  b) Cho a, b, c  thỏa mãn a b b c c a   1 c 1 a 1 b H Tính ab  bc  ca 1 Lời giải a) ĐKXĐ: x 0; x 1, x 3, x 4  M    * x2 x 4   x  x2 x 4    : x   x 1   x    ( x  1)2      x1    x 1    x 5   x 5   x 1   x       :   x  1  x  x    x x  1     x 1 x  x  x1  : (3 x  5)( x  1)  2( x  2)  x   x 1 x   x  x  x  3x  x  x   x  : x x  11 x x 1       x  x  :  3x    x  11  x     x 1   x x  x   x 1 3( x  3)  x1 x 1   x1  * M 1  x 1   x1 1  x 1   x1  1  4 x   x1 0  2 x 0 x1 x 0 x1  x   x  x   0 x  1 x 1   x  Ta có: x   x  nên x   Kết hợp ĐKXĐ ta có  x  x 3 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Vậy M    x  x 3 b) H a b b c c a   1 c 1 a 1 b Vì ab  bc  ca 1 nên  c  ab  bc  ca  c  b   a c  c  a c   a c  b c  Tương tự ta có   b  1 a  H  b a c ; a b a   c a b b b  c c  a  b  c  a  b a  c  a  b a  c  a  c   b  c  a  b   a  c  b  c   a  b  a  c b  c  a  b a  c  b  c a  b = a c  = b c 1   a c a c 1   a b a b 0 b c Câu 2: (5,0 điểm) a) Giải phương trình 30  5  x  6 x 2 x x x b) Tìm số thực x để số 3; x  3; x  x số nguyên Lời giải a) Giải phương trình Vì x2  30  5  x  6 x 2 x x ĐK: x2  5  0;  x2 6x   , 2 Theo bất đẳng thức AM – GM với hai số dương x x  ta có   x  1 5 30    x  1  x x x 6 x   x 1 x Dấu “=” xảy Vì x2  Liên hệ tài 039.373.2038 5 x  0  x , liệu word môn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Theo bất đẳng thức AM – GM với hai số không âm 5 x   (6 x  ) 1  x x Dấu “=” xảy 6x2  (6 x  6x  x ta có ) 1 x2 1  x 1 x2 5  x   x2  1 5 x 30   x   x x x Vậy ta có 5  x  6 x 2 x x Dấu “=” xảy  x 1 (thỏa mãn) Vậy phương trình có nghiệm x 1  30  b) Tìm số thực x để số x  3; b  x  3; Đặt a  x  Từ a  x   a  3 2 3; x  3; c x  x x số nguyên x với a, b, c  Z  x a  3; từ b  x   x b  , nên ta có b   a  3a  b    a  1 b  a  b  a2   3 a 1 , Nếu a  10 0  a  b  a2       (Vơ lý) a 1 a, b    a  0   b  a    a   Vậy nên ta có  a    b 4 x 31 Với x   ta có a  1; b 4 c  nguyên, thỏa mãn đầu Câu 3: (5,0 điểm) a) Tìm x nguyên dương để x  14 x  x  số phương b) Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x  y  z xyz Chứng minh   x2   y2 1  z    xyz x y z rằng: Lời giải 3 2 a) Vì x  14 x  x  số phương, nên ta có x  14 x  x  k với k   Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word môn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com 4 x  x    x  x     x    x    x  x  3 Ta có x  14 x  x  nên ta có  x    x  x  3 k  x  2, x Đặt  x  3 d với d   *   x    x   d  x  x  4d Ta có x  2d   x  x  3   x  x   1d  d 1 x  x   d Ta lại có  x  2, x  x  3 1  x    x  x  3 nên ta có: mà  x  x  x  số phương  x  a 4x  x  b với a, b   * 2 2   x   b   x  3 Vì x  nên ta có x  b  x  12 x  Vì b lẻ nên b  x  1  x  x  4 x  x   x 2 2 Với x 2 ta có x  14 x  x  100 10 số phương 1   1 b) Vì x, y, z số thực dương thỏa mãn x  y  z xyz  xy yz zx  1  1 1 1  x2 1 1  2             ; x x xy yz zx  x y   x z   x y z  Dấu Nên ta có: " " xảy  y  z   x2 1       2 x y z  x  1  y2   1 1 z2  1            2 x y z ; 2 x y z  y z Tương tự ta có 1 1   x2   y   z 3     ;   x y z  x y z  Dấu " " xảy Do  x  y z Ta có  x  y  x   xy  yz  zx   x  y  z  xy  yz  zx  3xy  yz  3zx 2    x  y    y  z    x  z   0   x  y  z  xy  yz  zx 2 2  x  y  x Nên Liên hệ tài 039.373.2038 liệu 2 3  xy  yz  zx    xyz  3  xy  yz  xz  word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com 3  1 1 xy  yz  xz xyz       xyz xyz  x y z   x2   y2   z    xyz x y z Vậy Dấu " " xảy  x  y z Câu 4: (3,0 điểm)  O; R  Trên đường tròn  O; R  Cho đoạn thẳng OA R , vẽ đường tròn lấy H cho AH  R , qua H vẽ đường thẳng a tiếp xúc với  O; R  Trên đường thẳng a lấy B C cho H nằm đường tròn B C AB  AC R Vẽ HM vng góc với OB ( M  OB ), vẽ HN vuông góc với  OC ( N  OC ) a) Chứng minh  OM OB ON OC MN qua điểm cố định b) Chứng minh OB.OC 2 R c) Tìm giá trị lớn diện tích tam giác OMN H thay đổi (chú ý: dùng kiến thức học kỳ lớp 9) Lời giải a B M H A E O N C a) Ta có OH  HB (Tính chất tiếp tuyến)  OHB vuông H , mà HM  OB (gt) nên theo hệ thức lượng tam giác vuông ta có OM OB OH R 2 Chưng minh tương tự ta có ON OC OH R Vậy ta có OM OB ON OC 2 Ta có OM OB OH R mà OA R nên ta có OM OB OA Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn:  OM OA  OA OB TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com OM OA   Xét OMA OAB có O chung, có OA OB  OMA#OAB      OAM OBA Ta có AO  AB R (gt)  OAB cân  AOB OBA     AOM OBA , OAM  AOM  OMA cân  MO MA Chứng minh tương tự ta có ONA cân  NO NA Ta có MO MA ; NO NA , MN trung trực OA , gọi E giao EO EA  OA MN  OA E, mà O, A cố điểm MN với OA ta có định nên E cố đinh Vậy MN qua điểm cố định b) Ta có OM OB ON OC  OM ON  OC OB OM ON   Xét OMN OCB có O chung , có OC OB  OMN ∽OCB (c.g.c) OM OE OM OE OE      OC OA 2OE mà OE  MN OH  BC nên ta có OC OH  OM  OC (vì OH OA 2OE ) 2 Ta có OM OB OH R (cm trên)  OC OB R  OC OB 2 R 2 2 SOMN  OE  OE  OE   OH OA2  2OE  SOCB c) Ta có OMN #OCB (cm trên) 1 1 1 SOMN  SOCB   OH BC  R BC  R( AB  AC )  R ( R  R )  R 4 8 Nên Dấu “=” xảy B, A, C thẳng hàng  H  A SOMN  R Vậy diện tích OMN lớn H  A Câu 5: (3,0 điểm) Cho dãy số n, n  1, n  2, , 2n với n nguyên dương Chứng minh dãy có lũy thừa bậc số tự nhiên Lời giải Nếu n lũy thừa bậc hai số tự nhiên tốn chứng minh xong Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Nếu n không lũy thừa bậc số tự nhiên, ta ln tìm số k  n   k  1 nguyên dương k cho 2 Vì n nguyên dương n  k  n k  , ta có: 2n   k  1 2( k  1)   k  1 2 2k  4k   k  2k  k  2k   k  1 0 k  n   k  1 2n Vậy k nguyên dương , nên ta có Vậy dãy ln có lũy thừa bậc hai số tự nhiên …………… HẾT…………… Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC