76 HSG 18 AN GIANG BUI TIEN DOAN

Website:tailieumontoan.com ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH AN GIANG NĂM HỌC 2017-2018 Câu 1: (4,0 điểm) a) (2,0 điểm) Cho biểu thức x > 0, x ≠ 1, x ≠ Tính giá trị của b) (2,0 điểm) Cho biểu thức   2x + x −1 2x x + x − x   P= − + ÷ ÷:  ÷ x   − x 1+ x x  1− x  x= P tại a, b, c 10 ( 3+ + 3− là các số thực thỏa mãn Tìm giá trị lớn nhất của x2 − 4x  x−4  = 5÷ x+ x −1  x −1  b) (2,0 điểm) Giải hệ phương trình : Câu 3: (5,0 điểm) 2  x + y + xy =  3  x + y = x + y Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn không chứa điểm tròn a + b + c ≤ 12 (5,0 điểm) a) (3,0 điểm ) Giải phương trình : ( K) ( I) ) S = ( a + b3 + c3 ) − ( a + b + c ) Câu 2: tròn với qua và M A Vẽ đường tròn và tiếp xúc với ( O; R ) ( I) AC , qua tại C M M Gọi là điểm chính giữa của cung và tiếp xúc với N AB tại B BC , vẽ đường là giao điểm thứ hai của đường ( K) a) ( 3,0 điểm ) Chứng minh rằng ba điểm b) (2,0 điểm ) Lấy D B, N , C thẳng hàng AB D A B E là điểm bất kỳ thuộc cạnh ( khác và ) điểm thuộc tia CA BD = CE đối của tia cho Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE A qua một điểm cố định khác Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word môn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com ( O; R ) AB M Câu 4: ( 3,0 điểm ) Cho nửa đường tròn đường kính Gọi là điểm nằm A B M MAB nửa đường tròn khác và Xác định vị trí điểm cho tam giác có chu vi lớn nhất x, y Câu 5: ( 3,0 điểm ) Tìm tất cả các số nguyên thỏa phương trình x + y + xy = ( x + y ) ……………….HẾT…………… Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Giám thị khơng giải thích thêm Họ và tên thí sinh:…………………………………………….….Sớ báo danh:………………… LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH AN GIANG NĂM HỌC 2017-2018 Câu 1: (4,0 điểm) a) (2,0 điểm ) Cho biểu thức   2x + x −1 2x x + x − x   P= − + ÷ ÷:  ÷ x   − x 1+ x x  1− x  x > 0, x ≠ 1, x ≠ Tính giá trị của b) P x= tại 10 ( 3+ + 3− (2,0 điểm ) Cho với a , b, c ) là các số thực thỏa mãn a + b + c ≤ 12 Tìm S = ( a + b3 + c3 ) − ( a + b + c ) giá trị lớn nhất của biểu thức Lời giải a) Ta có Liên hệ tài 039.373.2038   2x + x −1 2x x + x − x   P= − + ÷ ÷:  ÷ x   − x 1+ x x 1− x  liệu word môn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com  P=    =  x   =  x  = ( )( )( ) (   x −1+ x ÷  x +1 x −1 : + x 1− x ÷  1− x 1+ x     x −1   :  x −  + 1− x x − − x     (   x −1   x −1 : 1− x   1− x x − x +1   ( ) ( ( ) ) ( ) ) ( )( ) ( )( ) x + x −1  ÷ 1+ x x − x +1 ÷  x )( )  x ÷ x +1÷       x − x +1 x Lại có : x= 10 ( 3+ + 3− 5 + + −1 = ) =4 10 − +1 = P= Vậy b) Ta có S = ( a + b3 + c ) − ( a + b + c ) = ( 4a − a ) + ( 4b3 − b ) + ( 4c − c ) Ta chứng minh : ( 4a ( 4a − a ) ≤ 4a − a ) ≤ 4a thật vậy ⇔ a − 4a + 4a ≥ ⇔ a2 ( a − 2) ≥ Tương tự ( 4b ( 4c 3 − b ) ≤ 4b − c ) ≤ 4c Vậy ta có : S = ( a + b3 + c ) − ( a + b + c ) = ( 4a − a ) + ( 4b − b ) + ( 4c − c ) ≤ ( a + b + c ) ≤ 48 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Vậy giá trị lớn nhất bằng 48 xảy Câu 2: (5,0 điểm) a) b) (3,0 điểm ) Giải phương trình : ( a, b, c ) = ( 2, 2, ) x2 − 4x  x−4  = 5÷ x+ x −1  x −1  (2,0 điểm) Giải hệ phương trình :  x + y + xy =  3  x + y = x + y Lời giải a) x ≠1 Điều kiện xác định x ( x − 4) x−4 x−4 y= x+ = x−4+ +4= y+4 x −1 x −1 x −1 Đặt suy Phương trình trở thành : y ( y + 4) = y =1  y = −5  • Với  + 21  x1 = y =1⇔   − 21  x2 =   −1 + 21  x1 = y = −5 ⇔   −1 − 21  x2 =  • Với b) Ta có x + y = ( x + y ) ⇔ x + y = ( x + y ) ( x + y + xy ) ⇔ y + xy + x y = ⇔ y ( y + xy + x ) = 2 y = ⇔ 2  y + xy + x + x = • • Với Với y = ⇔ x = ±1 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu suy hệ có nghiệm word mơn tốn: ( ±1;0 ) TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com ( x + y) + x2 = x = ⇔ y = thay vào không thỏa phương trình (1) ( −1; ) ; ( 1;0 ) Vậy hệ có hai nghiệm Câu 3: (5,0 điểm) ( O; R ) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn không chứa điểm tròn tròn ( K) ( I) qua và M A Vẽ đường tròn và tiếp xúc với ( I) AC , M qua tại C là điểm chính giữa của cung M Gọi và tiếp xúc với N AB tại B BC , vẽ đường là giao điểm thứ hai của đường ( K) B N C , , thẳng hàng D AB D A B E b) (2,0 điểm ) Lấy là điểm bất kỳ thuộc cạnh ( khác và ) điểm thuộc tia a) ( 3,0 điểm ) Chứng minh rằng ba điểm CA BD = CE đối của tia cho Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE A qua một điểm cố định khác Lời giải a) Xét (I) : Liên hệ tài 039.373.2038 · · BNM = MBx liệu word cùng chắn cung BM mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Xét (K) : · · MNC = MCE cùng chắn cung MC ABMC Do tứ giác nội tiếp (gt) ·ABM + ·ACM = 1800 Suy ra: · · MBx + MCE = 1800 Mà : · · B, N , C BNM + CNM = 1800 Nên : suy thẳng hàng ∆CEM ∆BDM b) Xét và có  BD = CE ( gt ) · ·  DBM = ECM ( ABMC nt)  BM = MC gt ( ) ⇒ ∆BDM = ∆CEM ( c.g c )  · · ⇒ BDM = CEM ⇒ tứ giác ADME nội tiếp M ADE M cố định nên đường tròn ngoại tiếp tam giác qua điểm cố định là Do Câu 4: (3,0 điểm) ( O; R ) AB M Cho nửa đường tròn đường kính Gọi là điểm nằm nửa đường tròn khác A B M MAB và Xác định vị trí điểm cho tam giác có chu vi lớn nhất Lời giải ·AMB = 900 Ta có : Suy tam giác AMB vuông tại M 2 MA + MB = AB = R (1) MA + MB + AB = MA + MB + R Chu vi tam giác MAB : MA + MB Chu vi lớn nhất : lớn nhất Lại có Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com ( MA + MB ) = MA2 + 2MA.MB + MB = R + 2.MA.MB ⇔ ( MA + MB ) ⇔ MA.MB lớn nhất lớn nhất lớn nhất Gọi H là chân đường cao hạ từ M đến AB đó MA.MB = MH AB = MH R MA.MB đó lớn nhất MH lớn nhất MH = R ⇔ H ≡ O ⇔ M AB là điểm chính giữa của cung Câu 5: (3,0 điểm) MA + MB Tìm tất cả các số nguyên x, y thỏa phương trình Lời giải Phương trình đã cho tương đương với : x2 + ( y − 2) x + y − y = (1) Xem là phương trình bậc hai theo ẩn x + y + xy = ( x + y ) x ∆ = ( y − ) − ( y − y ) = −7 y + 12 y + = ( y − ) ( −7 y − ) ∆≥0⇔ Để (1) có nghiệm thì • Với −2 ≤ y≤2 y ∈ Z ⇔ y ∈ { 0,1, 2} x = y = ⇒ x2 = x ⇔  x =1 −1  x = (loai )  y = ⇔ 2x − x −1 = ⇔  x =1 • • Với Với y = ⇔ 2x2 = ⇔ x = Vậy tập nghiệm của phương trình là Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word môn ( 0; ) ; ( 1;1) ; ( 1; ) ; ( 0;0 ) tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC ... thêm Họ và tên thí sinh:…………………………………………….….Số báo danh:………………… LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH AN GIANG NĂM HỌC 2017-2 018 Câu 1: (4,0 điểm) a) (2,0 điểm ) Cho biểu thức   2x... Website:tailieumontoan.com Xét (K) : · · MNC = MCE cùng chắn cung MC ABMC Do tứ giác nội tiếp (gt) ·ABM + ·ACM = 180 0 Suy ra: · · MBx + MCE = 180 0 Mà : · · B, N , C BNM + CNM = 180 0 Nên : suy... − + ÷ ÷:  ÷ x   − x 1+ x x 1− x  liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com  P=    =  x   =  x  = ( )( )( ) (   x −1+ x ÷  x +1 x −1 : + x 1− x ÷  1−