Website:tailieumontoan.com ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THANH HÓA NĂM HỌC 2017 2018 Câu 1: (4,0 điểm) x x x 1 1 2x x x x x x x x x x , với x 0, x 1 a) Cho biểu thức Rút gọn P tìm tất giá trị x cho giá trị P số P nguyên b) Tính x Câu 2: giá trị biểu thức 4( x 1) x 2018 x 2017 x P x 3x 3 2 32 (4,0 điểm) a) Biết phương trình (m 2) x 2(m 1) x m 0 có hai nghiệm tương ứng độ dài hai cạnh góc vng tam giác vng Tìm m để độ dài đường cao ứng với cạnh huyền tam giác vng ( x y ) (8 x y xy 13) 0 2 x x y 1 b) Giải hệ phương trình Câu 3: (4,0 điểm) a) Tìm nghiệm nguyên phương trình y y 62 ( y 2) x ( y y 8) x a, b số nguyên dương thỏa mãn p a b số nguyên tố 2 p chia hết cho Giả sử x, y số nguyên thỏa mãn ax by b) Cho chia hết cho p Chứng minh hai số x, y chia hết cho p (O),( I ),( I ) a Câu 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC có theo thứ tự đường trịn ngoại tiếp, đường tròn nội tiếp đường tròn bàng tiếp O, I , I a Gọi D đối diện đỉnh A tam giác với tâm tương ứng PI a tiếp điểm ( I ) với BC , P điểm cung BAC (O) , cắt (O) điểm K Gọi M giao điểm PO BC , N điểm đối xứng với P qua O a) Chứng minh Liên hệ tài 039.373.2038 liệu IBI aC tứ giác nội tiếp word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com b) Chứng minh NI a tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác I a MP Câu 5: (2,0 điểm) Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x z Chứng minh xz y2 x 2z y yz xz yz x z - HẾT -Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Giám thị khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh:……………………… … Số báo danh:……………… Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THANH HÓA 2017 2018 Câu 1: (4,0 điểm) x x x 1 2x x x x x x x x x x , với x 0, x 1 a) Cho biểu thức Rút gọn P tìm tất giá trị x cho giá trị P số P nguyên b) Tính giá trị biểu thức P 4( x 1) x 2018 x 2017 x x 3x 3 2 32 x Lời giải a) Với điều kiện x 0, x 1 , ta có : P x x x x x 1 x x 1 x x x 1 x 1 x x 1 x x 1 x x x 2 x x 1 x x 1 x 1 x 2 x x 1 x x 1 x x 1 x x x x 1 2x x 1 x x x x 1 x 1 Ta có với điều kiện x 0, x 1 x x x 0P x 2 x 2 1 2 x x 1 x 1 x 1 x 2 1 x 1 x x P Do nguyên nên suy (loại) Vậy khơng có giá trị x để P nhận giá trị nguyên Chú ý 1: Có thể làm theo cách sau P 1 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com P x 2 Px P 1 x P 0 x x 1 , coi phương trình bậc hai x Nếu P 0 x 0 vơ lí, suy P 0 nên để tồn x phương trình có 4 2 2 P 1 P P 0 3P P 0 P P P 1 Do P nguyên nên P 1 +) Nếu +) Nếu P 1 2 P 1 0 P 1 x 1 không thỏa mãn P 2 1 P 2 x x 0 x 0 P 0 không thỏa mãn Vậy khơng có giá trị x thỏa mãn x b) Vì nên 31 2 2 2 x 3 2 nghiệm đa thức x x P Do x 2017 x x 1 x 2x x 1 x x 1 3 x 1 Chú ý 2: Nếu học sinh không thực biến đổi mà dùng máy tính cầm tay để thay số tìm kết cho 0,5 đ Câu 2: (4,0 điểm) a) Biết phương trình (m 2) x 2(m 1) x m 0 có hai nghiệm tương ứng độ dài hai cạnh góc vng tam giác vng Tìm m để độ dài đường cao ứng với cạnh huyền tam giác vng ( x y ) (8 x y xy 13) 0 2 x x y 1 b) Giải hệ phương trình Lời giải Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com a) Phương trình (m 2) x 2(m 1) x m 0 ( x 1) (m 2) x m 0 có hai nghiệm m 2 Khi nghiệm phương trình m m Hai nghiệm độ dài hai cạnh góc vng tam giác vuông suy a 1và b m 0 m0 m m Từ hệ thức 1 2 a b h tam giác vng ta có ( m 2) m 2 m m m 2m m m 4 Với m (thỏa mãn) m 2m m m (loại) Với m Vậy m 4 giá trị cần tìm ( x y ) (8 x y xy 13) 0 (1) (2) x x y 1 b) ĐKXĐ: x y 0 2 8( x y ) xy ( x y ) 13 2 x 1 x y Chia phương trình (1) cho ( x y ) ta hệ 3( x y ) 13 5 ( x y ) ( x y) x y ( x y ) 1 x y 5 x y 3( x y ) 23 x y x y x y ( x y ) 1 5u 3v 23 (3) u x y , v x y u v 1 (4) xy Đặt (ĐK: | u |2 ), ta có hệ Từ (4) rút u 1 v , vào (3) ta 5u 3(1 u ) 23 4u 3u 10 0 u 2 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: u TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com u Trường hợp loại u 2 x y x y x y Với u 2 v (thỏa mãn) Khi ta có hệ Giải hệ cách x y vào phương trình đầu ta 2y 1 2 y 1 2y Vậy hệ có nghiệm ( x, y ) (0;1) Câu 3: (4,0 điểm) a) Tìm nghiệm nguyên phương trình y y 62 ( y 2) x ( y y 8) x a, b số nguyên dương thỏa mãn p a b số nguyên tố 2 p chia hết cho Giả sử x, y số nguyên thỏa mãn ax by chia hết cho p Chứng minh hai số x, y chia hết cho p b) Cho Lời giải a) y y 62 ( y 2) x y y x (1) Ta có (1) y y 3 56 ( y 2) x y y x y x y x y 3 56 x 1 y x y 3 56 y x 1 x y 3, nên ta phải phân tích số 56 thành tích Nhận thấy ba số nguyên mà tổng hai số đầu số lại Như ta có ) 56 1.7.8 x; y 2;9 ) 56 7.1.8 x; y 8;3 ) 56 x; y 7;3 ) 56 1 8 x; y 2; ) 56 1 x; y 7;9 ) 56 7 1 x; y 8; Vậy phương trình có nghiệm ngun Chú ý 3: Học sinh biến đổi phương trình đến dạng y x y x y 3 56 (được 0,5đ), sau xét trường hợp xảy Khi với nghiệm tìm cho 0,25 đ (tối đa nghiệm = 1,5 đ) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com b) Do p 58 nên p 8k ( k ) k 2 Vì ax Nhận thấy by k 2 ax by p k 2 x8k 4 b k 2 y 8k 4 p nên a a k 2 x8 k 4 b k 2 y k 4 a k 2 b k 2 x8 k 4 b4 k 2 x8 k 4 y8 k 4 a k 2 b k 2 a k 1 b2 k 1 a b p 8k 4 y 8k 4 p (*) b p nên x Nếu hai số x, y có số chia hết cho p từ (*) suy số thứ hai chia hết cho p Nếu hai số x, y không chia hết cho p theo định lí Fecma ta Do có : x8 k 4 x p 1(mod p), y k 4 y p 1(mod p ) x8 k 4 y 8k 4 2(mod p ) Mâu thuẫn với (*).Vậy hai số x y chia hết cho p Câu 4: (6,0 điểm) (O),( I ),( I ) a Cho tam giác ABC có theo thứ tự đường tròn ngoại tiếp, đường tròn nội tiếp đường tròn bàng tiếp đối diện đỉnh A O, I , I a Gọi D tiếp điểm ( I ) PI a cắt (O) điểm với BC , P điểm cung BAC (O) , K Gọi M giao điểm PO BC , N điểm đối xứng với P qua O tam giác với tâm tương ứng IBI aC tứ giác nội tiếp NI a tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác b) Chứng minh I a MP DAI KAI a) Chứng minh c) Chứng minh a Lời giải Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com P A F O I B M K D C N Ia a) I a tâm đường tròn bàng tiếp đối diện đỉnh A I tâm đường tròn BI BI , CI a CI nội tiếp tam giác ABC, từ suy a ( Phân giác phân giác ngồi góc vng góc với nhau) Xét tứ giác IBI a C có IBI a ICI a 180 Từ suy tứ giác IBI a C tứ giác nội tiếp đường trịn đường kính II a b) Nhận thấy bốn điểm BAC ) A, I , N , I a thẳng hàng (vì thuộc tia phân giác Do NP đường kính (O) nên NBP 90 , M trung điểm BC nên PN BC M Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng PBN ta có NB NM NP Vì BIN góc ngồi đỉnh I tam giác ABI nên BIN = 1 ABC BAC (1) 2 BAC NBC NAC (cùng chắn cung NC) Xét (O): Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com NBI NBC CBI BAC ABC (2) BIN = NBI nên tam giác NIB cân N Từ (1) (2) ta có Chứng minh tương tự tam giác NIC cân N N tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác IBC , Từ suy IBI a C NI a2 NB NM NP tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác NI a tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác I a MP Vậy Câu 5: (2,0 điểm) Cho x, y , z số thực dương thỏa mãn x z Chứng minh xz y2 x 2z y yz xz yz x z Lời giải y2 2z 1 xz y2 x 2z yz x P xz z y y yz xz yz x z 1 1 yz x yz Ta có xz yz x y 2z y 1 2 x a b 2c z y x z b2 1 a 1 c2 1 1 z y x x y z a , b , c a , b, c y z x x a b 1 x z z c Nhận xét Xét 2 2 2 a2 b2 2ab a a 1 ab 1 b b 1 ab 1 2aba a 1 b 1 b a ab a 1 b2 1 ab 1 ab a b a b a b3 a b a 1 b 1 ab 1 a2 b2 2ab c b a ab 1 1 c c Do Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: 0 1 Đẳng thức xảy a b TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com 2 2c Khi c c 1 2 c c 2c c c 1 c c2 1 c 3c 3c c3 0 c c2 1 c c2 c 1 suy điều phải chứng minh.Đẳng thức xảy a b, c 1 x y z Từ 1 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC