63 hsg 18 ha noi amstedam bui tien doan

Website:tailieumontoan.com ĐỀ CHỌN ĐỘI TUYỂN TOÁN – AMSTERDAM LẦN NĂM HỌC 2017 – 2018 Câu 1: Câu 2: Tìm tất ba số nguyên dương p  p  3  q  q  3 n  n  3 mãn:  p; q; n  , p , q số nguyên tố thỏa Gọi a , b , c ba nghiệm phương trình x  x  x  0 Không giải phương trình, tính tổng: S Câu 3: a  b5 b5  c c  a   a b b c c a  AB  AC  , với ba đường cao AD , BE , CF đồng quy H Các Cho tam giác ABC , đường thẳng EF , BC cắt G , gọi I hình chiếu H GA Chứng minh tứ giác BCAI nội tiếp Gọi M trung điểm BC Chứng minh GH  AM Câu 4: Cho a , b , c ba số thực dương thỏa mãn a  b  c 3 Chứng minh rằng: 1   a  b2  c 2 a b c Dấu đẳng thức xảy nào? Câu 5: Mỗi điểm mặt phẳng tô ba màu Đỏ, Xanh, Vàng Chứng minh tồn hai điểm A , B tô màu mà AB 1 LỜI GIẢI ĐỀ CHỌN ĐỘI TUYỂN TOÁN – AMSTERDAM LẦN NĂM HỌC 2017 - 2018 Câu 1: Tìm tất ba số nguyên dương mãn:  p; q; n  , p , q số nguyên tố thỏa p  p  3  q  q  3 n  n  3 Lời giải p Không tính tổng quát, giả sử q Trường hợp 1: p 2  p  p  3 2   3 2.5 10  10  q  q  3 n  n  3  10 n  3n  q  3q  n  q    3n  3q  Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com  10  n  q   n  q    n  q   10  n  q   n  q  3 p  p  3  q  q  3 n  n  3 Vì mà p ; q ; n số nguyên dương  n  q 2  n  q     7 Mà 10 1.10 2.5 n  q  10 n  q 7 n 4      n  q 1  n  q 1  q 3 So với điều kiện thỏa mãn  p; q; n  cần tìm  2;3;  Vậy ba số nguyên dương Trường hợp 2: p 3  p  p  3 3   3 3.6 18  18  q  q  3 n  n  3  18 n  3n  q  3q  n  q    3n  3q   18  n  q   n  q    n  q   18  n  q   n  q  3 p  p  3  q  q  3 n  n  3 Vì mà p ; q ; n số nguyên dương  n  q 3  n  q     9 Mà 18 1.18 2.9 3.6 n  q  18 n  q 15  n 8      n  q 1  n  q 1 q 7 So với điều kiện thỏa mãn  p; q; n  cần tìm  3;7;8  Vậy ba số nguyên dương Trường hợp 3: p  a  a  3 Ta chứng minh với số nguyên a khơng chia hết cho tích chia dư Thật vậy: Nếu a : dư  a 3k   a  3k   a  a  3  3k  1  3k   9k  15k  : dư Nếu a : dư  a 3k   a  3k   a  a  3  3k    3k   9k  21k  10 : dư Trở lại tốn chính: 3; q Œ Vì q  p   p Œ  p  p    q  q  3 : dư n  n  3 : 3) n  n  3 3 n3 Mà dư (nếu n Œ  p  p    q  q   n  n   Suy khơng có ba số ngun dương Câu 2:  p; q ; n  thỏa mãn yêu cầu toán Gọi a , b , c ba nghiệm phương trình x  x  x  0 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Khơng giải phương trình, tính tổng: a  b5 b5  c c  a S   a b b c c a Lời giải Vì a , b , c ba nghiệm phương trình x  x  x  0 Khi phân tích đa thức x  x  x  thừa số ta được: x3  x  x  2  x  a   x  b   x  c    x  a   x  b   x  c  x  x  3x  2  x   a  b  c  x   ab  bc  ca  x  abc  x  x  3x  2   a  b  c 2    ab  bc  ca 3   abc   57 9  a  b  c  a  b  c    ab  bc  ca     2.3   2 2 2 2 Tính a b  b c  c a : 2 2 a 2b  b c  c a  ab  bc  ca    ab bc  bc ca  ca ab   a 2b  b c  c a  ab  bc  ca   2abc  a  b  c  9  a 2b  b 2c  c a 32     2 3 Tính a  b  c : a  b3  c  a  b  c   a  b  c  ab  bc  ca   3abc  57  a3  b3  c3    2 417  3  3   Vậy:  a  b  c    ab  bc  ca    abc     57 2  a b c    a 2b  b c  c a     a  b3  c3  417  Khi ta có: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com a  b5 b5  c c  a   a b b c c a 2  S  a  a b  a b  ab3  b    b  b3c  b2 c  bc3  c  S   c  c3a  c a  ca  a   S 2a  2b  2c  a3b  b3a  b3c  c 3b  a 3c  c 3a  a 2b  b 2c  c a  S  a  b  c  2a 2b  2b2 c  2c a    a  a 3b  a 3c    b  b3 a  b3c    c  c a  c 3b    a 2b  b c  c a   S  a  b  c   a  a  b  c   b  a  b  c   c  a  b  c    a 2b  b c  c a   S  a  b  c    a  b3  c3   a  b  c    a 2b  b 2c  c a   57  417 3465  S         Câu 3:  AB  AC  , với ba đường cao AD , BE , CF đồng quy H Các Cho tam giác ABC , đường thẳng EF , BC cắt G , gọi I hình chiếu H GA Chứng minh tứ giác BCAI nội tiếp Gọi M trung điểm BC Chứng minh GH  AM Lời giải A I E F G O H D B C M A' Chứng minh tứ giác BCAI nội tiếp Dễ dàng chứng minh tứ giác AIFH nội tiếp tứ giác AFHE nội tiếp  điểm A , F , H , E , I thuộc đường trịn Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com  tứ giác AIFE nội tiếp  GI GA GF GE  1  GF GE GB.GC   Dễ dàng chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp  1   suy ra: GI GA GB.GC  tứ giác BCAI nội tiếp (điều phải chứng Từ minh) Chứng minh GH  AM  O  đường trịn ngoại tiếp ABC Kẻ đường kính AA '  O  Gọi  I   O   AIA 90  AI  AI Vì tứ giác BCAI tứ giác nội tiếp hay AI  AG Mà HI  AG (giả thiết)  AI HI  A , I , H thẳng hàng Mà dễ dàng chứng minh A ' H qua trung điểm M BC (tứ giác BHCA ' hình bình hành)  M , I , H thẳng hàng Xét AGM có: AD  AM , MI  AG AD cắt MI H  H trực tâm tam giác AGM  GH  AM Suy điều phải chứng minh Câu 4: Cho a , b , c ba số thực dương thỏa mãn a  b  c 3 Chứng minh rằng: 1   a  b  c 2 a b c Dấu đẳng thức xảy nào? Lời giải  1  0;  Trường hợp 1: Nếu tồn ba số a , b , c thuộc nửa khoảng   ta có 1   9  a  b  c   a  b2  c 2 a b c Khi bất đẳng thức cần chứng minh 1 1 a b c a  b  c 3  a    a  3; 3; ta có 3 tương tự Trường hợp 2: 1 7 7 a; b; c   ;  b c  3 3; Vậy 1 7  x  x  x   ;   3  (*) Ta chứng minh x Thật 4   x  1 (*)   x  x  x  x  x  x  0 1 7 2 x   ;    x  1  x  1  0  3 với  x  x  1 0  1  a  4a   b  4b   c  4c  Vậy a ; b ; c Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com 1    a  b  c   a  b  c   12 0 Từ suy a b c 1    a  b  c a b c (đpcm)  Dấu “ ” xảy a b c 1 Câu 5: Mỗi điểm mặt phẳng tô ba màu Đỏ, Xanh, Vàng Chứng minh tồn hai điểm A , B tô màu mà AB 1 Lời giải Giả sử khơng có điểm mặt phẳng tô màu mà khoảng cách chúng đơn vị độ dài Xét điểm O bất kỳ có màu vàng mặt phẳng O,  O Vẽ đường tròn Lấy điểm P bất kỳ Dựng hình thoi OAPB có cạnh có đường chéo OP Dễ thấy OA OB  AB  AC BC 1 Theo giả thiết, A, B phải tô khác màu vàng khác màu Do P phải tơ vàng Từ suy tất điểm ( O ) phải tô vàng Điều trái với giả thiết dễ thấy tồn hai điểm ( O ) có khoảng cách đơn vị độ dài P/s: Số thay bất kỳ số thực dương  Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word  mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC