Website:tailieumontoan.com ĐỀ THI CHỌN HSG THÀNH PHỐ HÀ NỘI NĂM HỌC 2018-2019 Câu 1: (5,0 điểm) a) Giải phương trình: b) Cho tích (kết để dạng phân số tối giản) thừa số Tính Câu 2: (5,0 điểm) a) Biết số nguyên dương thỏa mãn minh chia hết cho 9, chứng chia hết cho b) Tìm tất số nguyên dương tự nhiên liên tiếp cho Câu 3: (3,0 điểm) a) Cho số thực dương nhỏ tích số Chứng minh số ln tồn số lớn b) Với số thực dương thay đổi thỏa mãn điều kiện tìm giá trị lớn biểu thức , Câu 4: (6,0 điểm) Cho tam giác vng Đường trịn tiếp xúc với cạnh a) Chứng minh tam giác b) Gọi trung điểm điểm thẳng hàng c) Gọi giao điểm tam giác Gọi nội tiếp tam giác giao điểm đồng dạng với tam giác và cắt đường thẳng trung điểm Chứng minh ba Đường thẳng chứa đường cao Chứng minh Câu 5: (1,0 điểm) Xét bảng ô vng cỡ gồm hình vng có cạnh đơn vị Người ta điền vào ô vuông bảng số nguyên tùy ý cho hiệu hai số điền hai chung cạnh có giá trị tuyệt đối không vượt Chứng minh tồn số nguyên xuất bảng lần -HẾT - Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: Tài liệu tốn học Website:tailieumontoan.com Cán coi thi khơng giải thích thêm! Họ tên thí sinh:…………………………………………….….Số báo danh: ………………… Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: Tài liệu tốn học Website:tailieumontoan.com LỜI GIẢI ĐỀ ĐỀ THI CHỌN HSG THÀNH PHỐ HÀ NỘI NĂM HỌC 20182019 Câu 1: (5,0 điểm) a) Giải phương trình: b) Cho tích (kết để dạng phân số tối giản) thừa số Tính Lời giải a) Phương trình: ĐKXĐ: (*) Đặt với Từ ta có: Thay vào thệ thức * Nếu (Thỏa mãn) * Nếu Ta Ta * Nếu (Thỏa mãn ĐKXĐ) Ta Vậy phương trình có tập nghiệm b) Với (Thỏa mãn ĐKXĐ) (Thỏa mãn ĐKXĐ) ta có: Áp dụng kết ta có: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: Tài liệu tốn học Website:tailieumontoan.com Vậy Câu 2: (5,0 điểm) a) Biết số nguyên dương thỏa mãn minh chia hết cho 9, chứng chia hết cho b) Tìm tất số nguyên dương nhiên liên tiếp cho tích số tự Lời giải a) Ta có: Mà nên mà nên Từ mà số nguyên tố Vậy số nguyên tố nên mà nên chia hết cho b) Ta có tích từ ba số tự nhiên liên tiếp trở lên chia hết cho Theo đề tích k số tự nhiên liên tiếp mà không chia hết Đặt với số nguyên dương Vì nguyên dương nên xảy trường hợp sau: Trường hợp Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: Tài liệu tốn học Website:tailieumontoan.com Từ ta có (Loại) Trường hợp Từ ta có (Thỏa mãn) Trường hợp Từ Vậy ta có Câu 3: (3,0 điểm) a) Cho số thực dương nhỏ Chứng minh số tồn số lớn b) Với số thực dương thay đổi thỏa mãn điều kiện tìm giá trị lớn biểu thức , Lời giải a) Ta có Theo bất đẳng thức Cauchy Schwarz ta có: Giả sử ba số Liên hệ tài 039.373.2038 nhỏ liệu word môn tốn: Tài liệu tốn học Website:tailieumontoan.com (Trái với Do số ) ln tồn số lớn b) Ta có (Vì ) Mặt khác: Từ , , Theo bất đẳng thức với hai số ta có: Mặt khác theo bất đẳng thức với hai số ta có: Từ ta có: Do Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: Tài liệu tốn học Website:tailieumontoan.com Dấu “=” xảy Vậy Câu 4: (6,0 điểm) Cho tam giác vuông Đường tròn tiếp xúc với cạnh a) Chứng minh tam giác b) Gọi trung điểm điểm thẳng hàng c) Gọi giao điểm tam giác nội tiếp tam giác Gọi giao điểm đồng dạng với tam giác trung điểm Chứng minh ba Đường thẳng chứa đường cao cắt đường thẳng Chứng minh Lời giải A E F I K M S B D H C O N a) Ta có tia phân giác góc tia phân giác góc nên Theo tính chất tổng ba góc Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word nên mơn , ta có: tốn: Tài liệu tốn học Website:tailieumontoan.com (Do theo tính chất tổng ba góc tam giác) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt ta có: cân C Lại có: (Hai góc kề bù) Mặt khác (Tính chất tia phân giác) Do đó: (g - g) b) Ta có: Tứ giác có Tứ giác (Góc nội tiếp chắn tia phân giác) nhỏ) mà nội tiếp (Tính chất vng cân vng cân có đường trung tuyến nên đường trung trực Mặt khác vng có trung tuyến nên thuộc đường trung trực Từ c) Vì Ba điểm thẳng hàng tia phân giác Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word môn nên tốn: Tài liệu tốn học Website:tailieumontoan.com (Cùng vng góc với Từ ) (Định lý Ta lét) Mặt khác (Cùng vng góc với mà Từ (Cùng vng góc với Tứ giác ta có ) (Hệ định lý Ta lét) ) nên có nên tứ giác hình chữ nhật Ta có nên Câu 5: (1,0 điểm) Xét bảng ô vuông cỡ gồm hình vng có cạnh đơn vị Người ta điền vào ô vuông bảng số nguyên tùy ý cho hiệu hai số điền hai chung cạnh có giá trị tuyệt đối không vượt Chứng minh tồn số nguyên xuất bảng lần Lời giải Ta thấy hai ô vuông hai góc đối hình vng xa Gọi số điền vào vng a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 a14 a15 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: Tài liệu tốn học Website:tailieumontoan.com a16 a17 a18 a19 Ta có Tương tự ta có: Cộng vế bất đẳng thức ta có: Vì số ngun nên có tối đa điền vào bảng số nguyên khác Có 100 vng bảng nên theo ngun lý Dirichle có số xuất bảng (lần) …………… HẾT…………… Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: Tài liệu tốn học