Đề thi HSG lớp 10 THPT hoàn kiếm – hà nội, năm học 2014 – 2015

(Đề thi HSG lớp 10 THPT Hoàn Kiếm – Hà Nội, năm học 2014 – 2015) Thời gian làm bài: 150 phút Câu (4 điểm) Cho hàm số y = x − x − a) Lập bảng biến thiên vẽ đồ thị hàm số cho b) Tìm m để đường thẳng ∆ : y = x + m cắt đồ thị hàm số cho hai điểm phân biệt A, B thỏa mãn độ dài đoạn thẳng AB khoảng cách từ O đến ∆ Câu (6 điểm)  xy ( x − 10 ) ( y − 10 ) = 81 a) Giải hệ phương trình:  2  x + y − 10 x − 10 y + 18 = b) Giải phương trình: x − x + = ( x − 1) ( x − ) + c) Tìm m để phương trình: + x + − x + 16 − x = m có nghiệm Câu (4 điểm) a) Cho số dương a, b, c Chứng minh rằng: 4( a + b + c) 1 + + ≥ ab + ac bc + ba ca + cb ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) b) Cho số thực x, y, z thỏa mãn x + y + z = 0, x2 + y2 + z2 = Tìm giá trị nhỏ biểu thức S= x+ y+z Câu (3 điểm) a) Cho tam giác ABC có diện tích S cạnh BC = a, CA = b thỏa mãn điều kiện a + b2 cotA + cotB= Chứng minh tam giác ABC vuông 2S b) Cho tam giác ABC, O trọng tâm tam giác M điểm nằm tam giác M khác O.Gọi D E F hình chiếu vng góc m lên cạnh BC, CA, AB Chứng minh đường thẳng OM qua trọng tâm tam giác DEF Câu (3 điểm) a) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, Cho tam giác ABC Gọi a b đường trung tuyến đường phân giác tam giác đường thẳng AD có phương trình x - y - = 0, y = Giả sử B(1;3), Viết phương trình đường thẳng AC xác định tọa độ điểm C b) Trong mặt phẳng với tọa độ Oxy, cho tam giác ABC, BE CD đường cao tam giác.Giả sử D(2;0), E(1;3) đường thẳng bc có phương trình x + y - = Tìm tọa độ điểm B biết B có hồnh độ dương http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Đáp Án Câu −b −∆ −9 = , = 2a 4a 1  1  Hàm số nghịch biến  −∞; ÷ đồng biến  ; +∞ ÷ 2  2  a) Tập xác định hàm số R a = > , b) Phương trình hồnh độ giao điểm x − x − = x + m ⇔ x − x − m − = Đường thẳng cắt đồ thị hai điểm phân biệt ⇔ ∆ ' > ⇔ m > −3 m ∆ : x − y + m = 0, d ( O, ∆ ) = A ( x1 ; x1 + m ) , B ( x2 ; x2 + m ) AB = ( x2 − x1 ) + ( x2 + m − x1 − m ) = AB = ( x2 − x1 ) 2 = ( x2 + x1 ) − x1 x2 = 2.22 − ( −m − ) = 8m + 24 AB = d ( O, ∆ ) ⇔ m ⇔ m − 16m − 48 = ⇔ m = ± (thỏa mãn điều kiện) Câu a) ( x − 10 x ) ( y − 10 y ) = 81  HPT ⇔  2 ( x − 10 x ) ( y − 10 y ) = −18 Đặt u = x − 10 x, v = y − 10 y Ta có u.v = 81, u + v = −18 Suy u , v nghiệm cảu phương trình x + 18 x + 81 = Suy u = v = -9 Hệ cho tương đương với hệ phương trình sau: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word  x − 10 x = −9  x − 10 x + = x = 1∨ x = ⇔ ⇔    y − 10 y = −9  y − 10 y + =  y = 1∨ y = Hệ cho có nghiệm ( 1;1) , ( 1;9 ) , ( 9;1) , ( 9;9 ) b) Đặt t = x − x + 7, ( t ≥ ) ( x − 1) ( x − ) = t − Phương trình trở thành 2t = ( t − 3) + 2t = ( t − 3) + ⇔ 3t − 2t − = t = 1∨ t = −1 −1 không thỏa mãn điều kiện Với t = 1, ta có x − x + = ⇔ x − x + = ⇔ x = x = Vậy phương trình có tập nghiệm { 2;3} t= c) + x + − x + 16 − x = m (điều kiện −4 ≤ x ≤ 4) Điều kiện cần Giả sử hệ có nghiệm x0 Ta có + x0 + − x0 + 16 − x02 = m + ( − x0 ) + − ( − x0 ) + 16 − ( − x0 ) = m ⇒ − x0 nghiệm phương trình Vì phương trinh nên x0 = − x0 ⇒ x0 = ⇒ m = 12 Điều kiện đủ: Xét m = 12 phương trình cho trở thành 16 − x ≤ 16 = ( 4+ x + 4− x ) = + 16 − x = 12 + x + − x + 16 − x ≤ 16 ⇒ + x + + x + 16 − x ≤ + = 12 Đẳng thức xảy ⇔ x = Phương trình có nghiệm x = 0, m = 12 Câu a) ( a + b) ( a + c) + ( b + c) ( b + a ) + ( c + a ) ( c + b) ≥ a + b + c BĐT ⇔ ( ) a b c bc ca ab ⇔ a+b+c+ +a+b+c+ +a+b+c+ ≥ 4( a + b + c) a b c bc ca ab ⇔ + + ≥ a + b + c a b c bc ca ca ab ab bc + ≥ 2c, + ≥ 2a, + ≥ 2b, Áp dụng BĐT CoSi, ta có: a b b c c a http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word  bc ca ab   + + ÷≥ ( a + b + c ) c   a b bc ca ab ⇒ + + ≥ a+b+c a b c 1 4(a + b + c ⇒ + + ≥ ab + ac bc + ba ca + cb ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) Đẳng thức xảy a = b = c b) S = ( x + y + z ) = x2 + y + z + ( x y + y z + z x ) S = x2 + y + z + x ( y + z ) + y ( z + x ) + z ( x + y ) Áp dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối ta có y + z ≥ y + z = −x = x ⇒ x ( y + z ) ≥ z2 2 Chứng minh tương tự y ( z + x ) ≥ y , z ( x + y ) ≥ z 2 2 Vì S ≥ ( x + y + z ) Thay x + y + z = ⇒ S ≥ 16 ⇒ S ≥ Dấu xảy ra, ( x, y , z ) = ( 2; −2;0 ) hốn vị, ta có S = Vậy S = Câu 4.a) cos A b + c − a b + c − a cos B c + a − b c + a − b cot A = = = , cot B = = = sin A 2bc sin A 4S sin B 2ca sin B 4S c ⇒ cot A + cot B = 2S 2 c a +b ⇒ = 2S 2S 2 ⇒ c = a + b ⇒ tam giác ABC vuông C b) Ta chứng minh uuuu r uuur uuur uuuu r MD + ME + MF = MO Qua M kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB, AC A1, A2; kẻ đường thẳng song song với AC cắt BC, AB B1, B2; kẻ đường thẳng song song với AB cắt BC, AC C1, C2 Các tam giác MB1C1, MA2C2, MA1B2 đều, uuuu r uuuur uuuur MD = MB1 + MC1 uuur uuuur uuuur uuur uuuu r uuuur ME = MA2 + MC2 , MF = MA1 + MB2 2 uuuu r uuur uuur uuuur uuuur uuuu r uuuur uuuur uuuur MD + ME + MF =  MB2 + MC2 + MA1 + MC1 + MA2 + MB1   2 r uuuu r uuur uuur uuuu = MA + MB + MC = MO (1) 2 uuuu r uuur uuur uuuu r Gọi G trọng tâm tam giác DEF Ta có MD + ME + MF = 3MG ( ) ( ) ( ( ( ) ) ( ) ( ) ) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word r uuuu r uuuu r uuuu r uuuu MO = 3MG ⇒ MO = 2MG ⇒ M, O, G thẳng hàng Vậy OM qua trọng tâm tam giác DEF Câu a) y = A: ⇒ A ( 2;0 ) x − y − = Gọi E điểm đối xứng B qua AD: y = 0, ta có E ∈ AC, E(1;-3) x−2 y −0 = ⇔ 3x − y − = Phương trình đường thẳng AC − −3 −  c + 3c −  C ( c;3c − ) , M  ; ÷   c + 3c − − − = ⇔ c = ⇒ C ( 0; −6 ) 2 b) Gọi M trung điểm BC, ta có MD = ME Từ (1), (2) ta có Gọi M ( m; −2m + 1) , ta có MD = ME nên ⇒ 5m − 8m + = 5m − 10m + ⇒ m = ⇒ M ( 0;1) , Ta có B ( b; −2b + 1) , b > 0.MB = ( b − 0) + ( −2b + − 1) = 5b 2 MB = MD = ⇒ 5b = 5, b > ⇒ b = ⇒ B ( 1; −1) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word ... hệ phương trình sau: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word  x − 10 x = −9  x − 10 x + = x = 1∨ x = ⇔ ⇔    y − 10 y = −9  y − 10 y + =  y = 1∨ y = Hệ cho... ) ( ) ( ( ( ) ) ( ) ( ) ) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word r uuuu r uuuu r uuuu r uuuu MO = 3MG ⇒ MO = 2MG ⇒ M, O, G thẳng hàng Vậy OM qua trọng tâm tam giác... = 5m − 10m + ⇒ m = ⇒ M ( 0;1) , Ta có B ( b; −2b + 1) , b > 0.MB = ( b − 0) + ( −2b + − 1) = 5b 2 MB = MD = ⇒ 5b = 5, b > ⇒ b = ⇒ B ( 1; −1) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài