Đề thi HSG lớp 10, vĩnh phúc, hệ không chuyên năm 2011 – 2012

(Đề thi HSG lớp 10, Vĩnh Phúc, Hệ không chuyên năm 2011 – 2012) Thời gian làm bài: 180 phút Câu (4 điểm) x2 + x + + x2 − x + = ( x ∈ ¡ Giải phương trình ) Giả sử phương trình bậc hai ẩn x (m tham số): x − ( m − 1) x − m3 + ( m + 1) = có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện x1 + x2 ≤ Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức sau: P = x13 + x23 + x1 x2 ( x1 + x2 + ) Câu 2  x + x y − xy + xy − y = ( x, y ∈ ¡ Giải hệ phương trình:   x + y − xy ( x − 1) = Câu Cho x, y hai số thực dương thỏa mãn điều kiện: ( x+ + x2 )( y+ ) ) + y = 2012 Tìm giá trị nhỏ P = x + y Câu Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O Gọi M, N, P điểm đối xứng O qua đường thẳng BC, CA, AB; H trực tâm tam giác ABC va fL trọng tâm tam giác uuu r uuu r uuur uuur MNP Chứng minh OA + OB + OC = OH ba điểm O, H, L thẳng hàng Cho tứ giác lồi ABCD Giả sử tồn điểm M nằm bên tứ giác cho ¼ = MAC ¼ = MCD ¼ ¼ = ϕ Chứng minh đẳng thức sau: MAB = MDA AB + BC + CD + DA2 , α số đo góc hai đường thẳng AC BD AC.BD.sin α Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vng góc Oxy, cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm I Các đường thẳng AI, BI, CI cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC điểm cot ϕ =    13 15  M ( 1; −5 ) , N  ; ÷, P  − ; ÷ (M, N, P khơng trùng với đỉnh ∆ABC ) Tìm tọa độ 2 2  2  đỉnh A, B, C biết đườn thẳng AB qua điểm Q ( −1;1) điểm A có hồnh độ dương http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Đáp Án Câu 1 Cách 1: 2 1 1   Ta có : x − x + =  x − ÷ + , x + x + =  x + ÷ + , nên phương trình xác định với x ∈ ¡ 2 2   Phương tình cho tương đương với x2 − x + + x2 + x + + (x − x + 1) ( x + x + 1) = ⇔ x2 + + x4 + x2 + = ⇔ x4 + x2 + = − x2 1 − x ≥ −1 ≤ x ≤  ⇔ ⇔ 2 4 2  x + x + = − x + x  x + x + = ( − x )  −1 ≤ x ≤ ⇔ ⇔ x = Vậy phương trình có nghiệm x = 0; x =  2 1   3 1   3 Cách 2: Ta có: x − x + =  − x ÷ +  ÷ ; x + x + =  + x ÷ +  ÷ 2   ÷ 2   ÷  2 r 1 r r   3 r 1   3 r r ; v = + x + , u + v = 1; ⇒ u + v = Xét u =  − x ÷ +  ÷  ÷  ÷  2   ÷ 2   ÷   r r r r Áp dụng bất đẳng thức u + v ≥ u + v , ta có r r u + v = x2 + x + + x2 − x + ⇒ x2 + x + + x2 − x + ≥ 2 ( ) Dấu xảy x = Phương trình cho có nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1 + x2 ≤ m ≥  m ( m − ) ≥ ∆ ' ≥  −2 ≤ m ≤  ⇔ ⇔ ⇔   −2 ≤ m ≤ ⇔  2 ≤ m ≤  x1 + x2 ≤  ( m − 1) ≤  m ≤ Theo định lý Viet ta có x1 + x2 = ( m − 1) , x1 x2 = − m3 + ( m + 1) ⇒ P = ( x1 + x2 ) + x1 x2 = ( m − 1) − 8m3 + ( m + 1) = −16m + 40m 3 Bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên ta được: Pmax = 16 m =2, Pmin = −144 m = -2 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 2  x + x y − xy + xy − y = ( x − y ) + xy ( x − y ) + xy = ⇔ Câu Ta có  2 ( x − y ) + xy =  x + y − xy ( x − 1) =  a = x − y  a + ab + b = ( *) Đặt  Hệ trở thành:  b = xy  a + b = a + a − 2a = a ( a + a − ) = ⇔ Hệ (*) ⇔  2 b = − a b = − a Từ tìm ( a; b ) ∈ { ( 0;1) ; ( 1;0 ) ; ( −2; −3)  x − y = ⇔ x = y =1 +Với ( a; b ) = ( 0;1) ta có hệ   xy =  x − y = ⇔ ( x; y ) = ( 0; −1) ; ( 1;0 ) ; ( −1;0 ) +Với ( a; b ) = ( 1;0 ) ta có hệ   xy =   x − y = −2 y = − x ⇔ ⇔ x = −1; y = +Với ( a; b ) = ( −2; −3) ta có hệ   xy = −3 ( x + 1) ( x − x + 3) =  { Vậy hệ nghiệm ( x; y ) ∈ ( 1;1) ; ( 0; −1) ; ( 1;0 ) ; ( −1;0 ) ; ( −1;3 ) } Câu 3: Đặt t = x + + x dễ thấy t > ( t − 1) = + x ⇒ x = t −1 (1) 2t 2012 20122 − t Từ suy y = (2) t 2.2012t t − 20122 − t 2011  2012  x + y = + = Từ (1) (2) suy t + ÷ 2t 2.2012.t 2.2012  t  Từ giả thiết ta có y + + y = Do x + y ≥ 2011 2012 2011 2011 t + = 2012 = 2.2012 t 2.2012 2012 Đẳng thức xảy t = 2012 Từ (1) (2) suy x = y = 2011 2012 2011 2011 , x = y = 2012 2012 Câu Kẻ đường kính AD, tứ giác BHCD hình bình hành nên trung điểm K BC trung điểm HD, tam giác AHD có OK đường trung uuuuu r uuur bình nên 2OK = AH uuur uuur uuur uuu r uuu r uuur uuur uuur ⇔ OB + OC = OH − OA ⇔ OA + OB + OC = OH Ta có: uuur uuur uuur uuuu r OB + OC = 2OK = OM đẳng thức tương tự ta được: uuuu r uuur uuur uuu r uuu r uuur uuur OM + ON + OP = OA + OB + OC = 2OH uuu r uuur 3OL = 2OH suy O, H, L thẳng hàng Trước hết ta có kết sau: Vậy giá trị nhỏ P ( S ABCD = ) AB + MA2 − MB AC.BD.sin α;cot ϕ = 4S MAB http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Tương tự ta được: AB + MA2 − MB BC + MB − MC CD + MC − MD cot ϕ = = = S MAB S MBC S MCD = = DA2 + MD − MA2 AB + BC + CD + DA2 = S MDA ( S MAB + S MBC + S MCD + S MDA ) AB + BC + CD + DA2 AB + BC + CD + DA2 = S ABCD AC.BD.sin α Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC đường tròn qua điểm M, N, P nên ta lập phương trình là: x + y + x − 29 = suy tâm K đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tọa độ   K  − ;0 ÷   Do AB ⊥ KP nên AB có vecto pháp tuyến: uuur uuur nAB = KP = − ( 2;1) Suy phương trình AB : ( x + 1) − 1( y − 1) = ⇔ x − y + = Do A, B nghiệm hệ phương trình  x − y + =  y = x +  x = 1; y = ⇔ ⇔    2  x = −4, y = −5  x + y + x − 29  x + x − = Suy A (1;5), B (-4;-5) Do AC ⊥ KN nên AC có vecto phương uuur uuur nAC = KN = ( 2;1) Suy phương trình AC : ( x + 1) + y − = ⇔ x + y − = tọa độ A, C nghiệm hệ  x + y − =  y = −2 x +  x = 1; y = ⇔ ⇔ phương trình:    2  x + y + x − 29 =  x − x + =  x = 4, y = −1 Từ suy C (4;-1) Vậy A (1;5), B (-4;-5), C (4;-1) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word ... − t 2011  2012  x + y = + = Từ (1) (2) suy t + ÷ 2t 2 .2012. t 2 .2012  t  Từ giả thi t ta có y + + y = Do x + y ≥ 2011 2012 2011 2011 t + = 2012 = 2 .2012 t 2 .2012 2012 Đẳng thức xảy t = 2012. .. 8m3 + ( m + 1) = −16m + 40m 3 Bảng biến thi n: Từ bảng biến thi n ta được: Pmax = 16 m =2, Pmin = −144 m = -2 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 2  x + x y − xy... + = 2012 = 2 .2012 t 2 .2012 2012 Đẳng thức xảy t = 2012 Từ (1) (2) suy x = y = 2011 2012 2011 2011 , x = y = 2012 2012 Câu Kẻ đường kính AD, tứ giác BHCD hình bình hành nên trung điểm K BC trung