Đề thi HSG lớp 10, vĩnh phúc, hệ không chuyên, năm học 2010 – 2011 file word có lời giải

A- PHẦN ĐỀ ĐỀ SỐ 01 (Đề thi HSG lớp 10, Vĩnh Phúc, Hệ không chuyên, năm học 2010 – 2011) Thời gian làm bài: 180 phút Câu (4 điểm) �x  y  m  Cho hệ phương trình � 2 �x  y  x  y   m  (trong m tham số, x y ẩn) a) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm b) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức A  xy   x  y   2011 Tìm tất giá trị m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt lớn −3 Câu (1,5 điểm) � �x  y  xy  Giải hệ phương trình � 2 � �x 3 y 3  Câu (1 điểm) Chứng minh x, y số thực dương   x  1 y �  xy Câu (3,5 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hai điểm A  1;2  B  4;3 Tìm tọa độ điểm M trục hồnh cho � AMB  45� Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nhọn với trực tâm H Các đường thẳng AH, BH, CH cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC D, E, F (D khác A, E khác B, F khác C) Hãy viết phương trình cạnh AC tam giác ABC; biết �6 17 � D  2;1 , E  3;4  , F � ; � �5 � Cho tam giác ABC, có a  BC , b  CA, c  AB Gọi I, p tâm đường tròn nội tiếp, nửa chu vi tam giác ABC Chứng minh IA2 IB IC   2 c p  a a  p  b b p  c B- ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ SỐ Câu 1 a) Đặt S  x  y; P  xy �S  m  �S  m  � � 2 �S  P  S   m  �P  m  m  Khi hệ phương trình trở thành � 2 P � m  2- 4�� � Để hệ có nghiệm S -��  m2 m  m2 m http://dethithpt.com – Website chuyên Đề thi – Tài liệu file Word b) Ta có A  P  2S  2011  m  m  2005 Lập bảng biến thiên ta max A  2011 m  ; A  2004,75 m  0,5 m −2 A 200  2 201 200 4,75 t2 � 2 Đặt t  x �0 , thay vào phương trình ta được: t   3m  1 t  6m   � � t  3m  � � 3m   m � � �� phương trình cho có bốn nghiệm phân biệt � 3m  �2 � � m �1 � Khi phương trình cho có bốn nghiệm � 2; � 3m  Để nghiệm lớn −3  3m   3 � 3m   � m  10 �1 10 � �\  1 �3 � Vậy giá trị m m �� ; Điều kiện xy �0 , đặt t  xy , t �0 Câu Ta có xy  t x  y  t  � x  y  2t  t  2t  � x  y  t  2t  x   y   � x  y  x y   x  y    16 � t  2t   t   t  2t  1   16 � t  2t  �0 � t  3t  6t  12  t  2t  � � 2 � �4  t  3t  6t  12    t  2t   2 � 3t  4t  34t  60t  33  �   t   3t  7t  27t  33   2 Với t �0 � 3t  7t  27t  33 �7t  27t  33   a  0,    �xy  � t 1� � � x  y 1 �x  y  Kết luận nghiệm hệ  x; y    1;1 Câu Cách 1: Do x, y  nên bất đẳng thức cho tương đương với http://dethithpt.com – Website chuyên Đề thi – Tài liệu file Word 2 2 �   x  1  y �   xy  �  x    y  � � �   x  y  x  y    xy  �  x  x    y  y  � xy   y    xy  1 �0 , bất đẳng thức 2 Dấu xảy x  y  Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhia-cốp-x-ki, ta có � � 12  �xy  �� 12 � � � �� �  � x �� � � �y� ��  x  � ��  Tương tự, ta có   y  Từ (1) (2), ta có   x � x �(1)   xy  �1  � � y� y�  � (2)   xy  � � � x� �   x  1 y � � �1 � � � �    xy  �1  x  y �  xy � y x� � � Ta có điều phải chứng minh Câu Giả sử tọa độ M  x;0  Khi uuur uuur MA    x;2  ; MB    x;3 uuur uuur Theo giả thiết ta có MA.MB  MA.MB cos 45� � 1 x   x   1 x    x � x  x  10  x  x  x  x  25  2 2 (do x  x  10  ) �  x  x  10    x  x    x  x  25  http://dethithpt.com – Website chuyên Đề thi – Tài liệu file Word � x  10 x3  44 x  110 x  75  �  x  1  x    x  x  15   � x  1; x  Vậy ta có hai điểm cần tìm M  1;0  M  5;0  Gọi A ', B ', C ' chân đường cao hạ từ đỉnh A, B, C Do tứ giác BCB ' C ' nội tiếp nên �  FCA � � FDA ABE  � ADE � H nằm đường phân giác hạ từ D DEF , tương tự ta H nằm đường phân giác hạ từ đỉnh E DEF Vậy H tâm đường tròn nội tiếp DEF Ta lập phương trình đường thẳng DE, DF DE : 3x  y   ; DF : 3x  y   Do phương trình phân giác ngồi đỉnh D 3x  y  3x  y  � � x   0; y   10 10 Kiểm tra vị trí tương đối E, F với hai đường ta phân giác kẻ từ đỉnh D d : x   Tương tự ta lập phương trình phân giác kẻ từ đỉnh E d ' : x  y   Mặt khác H giao d d ' nên H  2;3 Ta có AC trung trực HE nên AC qua �5 � trung điểm B ' � ; � có vectơ pháp tuyến �2 � uuur HE   1;1 � AC : x  y   Cách 1: Gọi M tiếp điểm AC với đường tròn nội tiếp ABC Khi ta có AM  p  a; IM  r Gọi S diện tích tam giác ABC, theo cơng thức Heron ta có S  p  p  a   p  b   p  c  Áp dụng định lí Pitago AIM ta có IA  AM  MI   p  a   r   p  a  2   p  a  � 2 2 �S � � � �p �  p  a   p  b   p  c    p  a  bc p p IA2 b  c  p  a p IB c IC a  ;  Tương tự ta có a  p  b p b  p  c p http://dethithpt.com – Website chuyên Đề thi – Tài liệu file Word IA2 IB IC abc    2 Do c p  a a  p  b b p  c p http://dethithpt.com – Website chuyên Đề thi – Tài liệu file Word Cách 2: Theo tính chất đường phân giác “Giả sử đường phân giác góc A cắt cạnh BC điểm A ' Khi BA ' AB c   A ' C AC b ”, ta có: A ' I BA ' CA ' BC a     IA AB AC AB  CA b  c Suy p AA ' a  b  c 2p   AI bc bc (với abc AA '  b  c  ) � AI  abc � Mặt khác theo cơng thức tính đường phân giác “Cho ABC có đường phân giác B � �b � � lb Ta có lb2  ac � 1 � ��” � �a  c �� � AA '  bc  p  a  bc  p  a  bcp  p  a  � AI   bc p p Tương tự ta có BI  Vậy ca  p  b  p ; CI  ab  p  c  p IA2 IB IC a bc    2 c  p  a  a  p  b b p  c p http://dethithpt.com – Website chuyên Đề thi – Tài liệu file Word ... Tương tự ta có a  p  b p b  p  c p http://dethithpt.com – Website chuyên Đề thi – Tài liệu file Word IA2 IB IC abc    2 Do c p  a a  p  b b p  c p http://dethithpt.com – Website... x  x  25  http://dethithpt.com – Website chuyên Đề thi – Tài liệu file Word � x  10 x3  44 x  110 x  75  �  x  1  x    x  x  15   � x  1; x  Vậy ta có hai điểm cần tìm M... �x  y  Kết luận nghiệm hệ  x; y    1;1 Câu Cách 1: Do x, y  nên bất đẳng thức cho tương đương với http://dethithpt.com – Website chuyên Đề thi – Tài liệu file Word 2 2 �   x  1 