Đề thi HSG lớp 10, vĩnh phúc, năm học 2010 – 2011 file word có lời giải

ĐỀ SỐ 03 (Đề thi HSG lớp 10, Vĩnh Phúc, năm học 2010 – 2011) Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1 Giải phương trình:  x    x   x  Các số a, b, c thỏa mãn điều kiện: a  2b  5c  Chứng minh phương trình ax  bx  c  có nghiệm Câu �x  xy  x  y  � 2 �x  x y  3x  y  Giải hệ phương trình: � Câu Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A  1;3 , B  5; 3 Xác định tọa độ điểm M uuur uuur đường thẳng d : x  y   cho 2MA  MB đạt giá trị nhỏ Câu Tam giác ABC có góc thoả mãn hệ thức: cot A  cot C   cot B Xác định góc hai đường trung tuyến AA1 CC1 tam giác ABC   Tìm giá trị lớn góc B   Câu Ba số dương a, b, c thỏa mãn: 1    a b2 c2 Tìm giá trị lớn biểu thức: P 5a  2ab  2b 2  5b  2bc  2c 2  5c  2ca  2a 2 http://dethithpt.com – Website chuyên Đề thi – Tài liệu file Word ĐỀ SỐ 03 Câu 1 Ta có:  x    x   x  (*) Điều kiện x �5 Khi (*) �   x   x   x  �   x  �   x    x   x   48  x 6 x 0 (1) � x   x   4  x � � � x   x   (2)  Từ (1) � x  thỏa mãn điều kiện Từ (2) � 29 x� � 29  x �0 � 17  � �  x    x    29  x � � �� �x �x  17 x  61  �x  17 �3 � � Nghiệm phương trình x  6, x  17  2 Các số a, b, c thỏa mãn điều kiện a  2b  5c  Chứng minh phương trình ax  bx  c  (1) có nghiệm Trường hợp 1: a  suy 2b  5c  phương trình (1) trở thành bx  c  (2) +) Nếu b  � c  : Phương trình (2) có nghiệm (vơ định) +) Nếu b �0 phương trình (2) có nghiệm (duy nhất) Trường hợp 2: a �0 Ta có b   a  5c   b2  4ac � 4  4b  16ac   a  5c   16ac  a  6ac  25c   a  3c   16c �0 2 Vậy phương trình (1) ln có nghiệm � x  xy  x  y  (1) 2 �x  x y  3x  y  (2) Câu Ta có: � � �x  xy  x  y  � �x  y  xy  x �� �4 2 2 �x  y   12 x y  3x �x  x y  3x  y  � 2 � � �x  y  xy  x �x  y  xy  x �� �� 2  xy  x   12 x y  3x �x  y  1  3x  y  1 � �x  y  xy  x � � �2 �x  y  1  y    http://dethithpt.com – Website chuyên Đề thi – Tài liệu file Word Trường hợp 1: x  � y  �  x; y    0;0  nghiệm hệ Trường hợp 2: y  � x  3x   �  x; y    1;1 � x; y    2;1 Trường hợp 3: y  � x   (loại) Vậy hệ có nghiệm  0;0  ,  1;1 ,  2;1 Câu Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A  1;3 , B  5; 3 Xác định tọa độ điểm uuur uuur M đường thẳng d : x  y   cho 2MA  MB nhỏ uu r uur r Gọi I  x0 ; y0  điểm thỏa mãn IA  IB  uu r uur �   x0   x0  �x0  1 � � IA  BI � � ��   y0   y0  �y0  � Vậy I  1;1 Ta có uuur uuur uuu r uu r uuu r uur 2MA  MB  MI  IA  MI  IB uuu r uu r uur uuu r  3MI  IA  IB  MI  3MI   uuur uuur Như 2MA  MB nhỏ MI nhỏ Suy M hình chiếu I d �x  2t  Gọi tọa độ M  2t0  1; t0  �y  t Phương trình tham số d � uuur uuur uu r Suy IM   2t0 ; t0  1 Ta có IM ud  � 2.2t0  t0   � t0  �3 � � � Vậy M � ; � 5 Câu Ta có: cot A  b2  c  a a  c  b2 b2  a2  c2 ;cot B  ;cot C  4s 4s 4s Khi   Ta có: cot A  cot C  cot B � b2  c  a a  b2  c c  a  b   4s 4s 4s � 5b  a  c Ta có: http://dethithpt.com – Website chuyên Đề thi – Tài liệu file Word AG  4 �b  c a � 4 �a  b c � AA1  �  � ; CG  CC12  �  � 9� � 9� 4� 4� 9� 2 Suy AG  CG  �b  a  c � �5b  4b � � � � b � AA1  CC1 � 9� � Vậy góc AA1 CC1 90° cot A  cot C  2cot B � Ta có cos B  b2  c2  a2 a  b2  c c  a  b2  2 � a  c  2b 4s 4s 4s a  c  b a  c 2ac � �60�  �  Suy B 2ac 4ac 4ac Dấu = xảy tam giác ABC Câu Cho a, b, c số dương thỏa mãn 1   1 a b c Tìm giá trị lớn biểu thức: P 5a  2ab  2b  5b  2bc  2c  5c  2ca  2a Ta có: 5a  2ab  2b2   2a  b    a  b  � 2a  b  Suy (vì 2 1 �2 � � � � � 5a  2ab  2b 2a  b �a b � (1) 1 1 9     �  ) a b a a b a  a  b 2a  b 1 �2 � � � � 5b  2bc  2c �b c � Tương tự (2) 1 �2 � � � � � 2c  a �c a � 5c  2ca  2a (3) �1 1� Cộng theo vế (1), (2) (3) suy P � �   � a b c � Mặt khác � 1 1 �1 1 � �1 1 � 1   � �   �� �   ��1 �   � a b c �a b c � �a b c � a b c Suy P � Dấu = xảy a  b  c  http://dethithpt.com – Website chuyên Đề thi – Tài liệu file Word ... � b2  c  a a  b2  c c  a  b   4s 4s 4s � 5b  a  c Ta có: http://dethithpt.com – Website chuyên Đề thi – Tài liệu file Word AG  4 �b  c a � 4 �a  b c � AA1  �  � ; CG  CC12  �...  3x  y  1 � �x  y  xy  x � � �2 �x  y  1  y    http://dethithpt.com – Website chuyên Đề thi – Tài liệu file Word Trường hợp 1: x  � y  �  x; y    0;0  nghiệm hệ Trường hợp... b c �a b c � �a b c � a b c Suy P � Dấu = xảy a  b  c  http://dethithpt.com – Website chuyên Đề thi – Tài liệu file Word