Đề thi HSG lớp 10, vĩnh phúc, hệ THPT chuyên, năm học 2010 – 2011 file word có lời giải

ĐỀ SỐ 02 (Đề thi HSG lớp 10, Vĩnh Phúc, Hệ THPT chuyên, năm học 2010 – 2011) Thời gian làm bài: 180 phút Câu (4,0 điểm)  xy + y + x − y =  x + xy − = Giải hệ phương trình  Giải phương trình 18 x + 16 + x + x − = x + x − + x + x + Câu (1,0 điểm) Tìm tất ba số hữu tỷ dương (m; n; p) cho số m + p+ 1 ;n + ; np pm số nguyên mn Câu (2,0 điểm) Giả sử a, b, c số thực dương thỏa mãn a 2012 b 2012 c 2012 + + < 2011 Chứng minh b 2010 c 2010 a 2010 tồn số tự nhiên n cho a n + b n + c n+3 2011 a n + b n + c n+ + + ≤ + + n + n b n +1 c n +1 a n +1 2010 b n c a Cho a, b, c số thực dương Chứng minh với số tự nhiên m ta có bất đẳng thức a m + b m + c m+ a m + b m + c m + + + ≥ m + m + m b m +1 c m +1 a m +1 b c a Câu (2,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn với ba đường cao AD, BE, CF cắt điểm H Tiếp tuyến B, C đường tròn ( O ) ngoại tiếp tam giác ABC cắt điểm T, đường thẳng TD EF cắt điểm S Gọi X, Y giao điểm đường thẳng EF với đường thẳng TB, TC; M trung điểm cạnh BC Chứng minh H, M tâm đường tròn nội tiếp ∆DEF ∆XTY Chứng minh đường thẳng SH qua trung điểm đoạn thẳng BC Câu (1,0 điểm) Kí hiệu N tập hợp số tự nhiên Giả sử f : ¥ → ¥ hàm số thỏa mãn điều kiện f ( 1) > f ( m + 2n ) = ( f ( m ) ) + ( f ( n ) ) 2 với m, n ∈ ¥ Tính giá trị f ( ) f ( 2011) http://dethithpt.com – Website chuyên Đề thi – Tài liệu file Word ĐỀ SỐ 02 Câu 1 3  xy + y + x − y =  xy + y = y − x ⇔   x + xy − =  x + xy = Nhân chéo vế, ta có: ( xy + y ) = ( y − 3x ) ( x + xy ) ⇔ 3xy + y = x y − 3x + xy − 3x y ⇔ 3x3 − xy − x y + y = ⇔ x − xy − x y + y =  x = y ( tm ) ⇔ x ( x2 − y2 ) − y ( x2 − y ) = ⇔ ( x − y ) ( x2 − y ) = ⇔   x = − y ( l )  3  3 ; ; − ; − ÷  ÷ ÷ 2÷  2   Hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) =  Chú ý: Học sinh giải toán tổng quát  ax3 + bx y + cxy + dy = mx + ny  2  a ' x + b ' xy + c ' y = p Nhân chéo vế, ta có phương trình đẳng cấp x y: p ( ax + bx y + cxy + dy ) = ( mx + ny ) ( a ' x + b ' xy + c ' y ) Chúng ta biến đổi phương trình phương trình tích (trong trường hợp phương trình đơn giản) Trong trường hợp phức tạp, ta làm sau Trường hợp 1: Xét y = Trường hợp 2: Xét y ≠ , chia hai vế cho y đặt t = x , ta có phương trình bậc ẩn t, y từ tính x theo y Tương tự, giải số hệ phương trình dạng sau  ax + bx y + cx y + dxy + ey = mx + ny  2  a ' x + b ' x y + c ' xy + d ' y = p Điều kiện x ≥ 18 x + 16 + ⇔2 ( với điều kiện phương trình đưa dạng ( x + 3) ( x − 1) ) =7 ( x + ) ( x − 1) + ( x + ) ( x + ) x + + 2x −1 − 2x + ( ) x + + 2x −1 + 6( 2x + 2) = Đặt a = x + + x − 1; b = x + thay vào phương trình ta 2a − ab + 6b = ⇔ ( 2a − 3b ) ( a − 2b ) = ⇔ 2a = 3b; a = 2b http://dethithpt.com – Website chuyên Đề thi – Tài liệu file Word +) a = 2b ⇔ x + + x − = 2 x + phương trình vô nghiệm +) 2a = 3b ⇔ x + + 2 x − = x + giải phương trình nghiệm x = Vậy nghiệm phương trình cho x = Câu Giả sử tìm ba số (m; n; p) m, n, p số hữu tỉ dương cho số nguyên dương a, b, c thỏa mãn a = m + 1 ;b = n + ;c = p + np pm mn Từ mnp + = anp = bpm = cmn Suy abc ( mnp ) = ( mnp + 1) Đặt mnp = u + u , v ∈ ¢ , ( u , v ) = ta được: v abc u2  u  =  + 1÷ ⇔ abcu v = ( u + v ) (1) v2  v  Do ( u , v ) = nên p số nguyên tố cho p | u v p | u p | v u + v khơng chia hết cho p Do ( 1) ⇔ abc = ( u + v) u 2v  abc = ( u + v ) ⇔ u v = Suy u = v = 1, abc = 8, mnp = Từ tìm ( a; b; c ) = ( 1;1;8 ) , ( 1; 2;4 ) , ( 2;2;2 ) hoán vị 1  1  ( m; n; p ) = ( 1;1;1) ;  ; ;4 ÷;  ;1;2 ÷ hoán vị 2  2  Câu Ta chứng minh phản chứng Giả sử không tồn số tự nhiên n thỏa mãn với số tự nhiên n ta ln có a n + b n + c n+3 2011 a n + b n + c n+ + + > + + n + n b n +1 c n +1 a n +1 2010 b n c a Lần lượt cho n = 0,1, 2, , 2009 cộng vế 2010 bất đẳng thức ta a 2012 b 2012 c 2012 2011 + 2010 + 2010 > 2010 + a + b + c > 2011 2010 b c a 2010 Mâu thuẫn với giả thiết nên ta có ĐPCM Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho số Tương tự ta b m+ cm a m+ m số b ta có: m b a m+ + mb ≥ ( m + ) bm + mc ≥ ( m + ) m + 2 a 2( m + 2) b m = ( m + 2) a2 b2m b 2( m + 2) c m = ( m + ) b2 c2m http://dethithpt.com – Website chuyên Đề thi – Tài liệu file Word cm+2 c 2( m + 2) a m m+ + ma ≥ m + = ( m + 2) c2 ( ) am a2m a m+ bm+ c m+ + m + m ≥ a + b + c (1) m b c a Cộng vế bất đẳng thức ta Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho m số m Tương tự ta có m a m +3 a ta được: b m +1 a m+3 a m( m +3) a am+2 m +1 + a ≥ m + = m + ( ) ( ) bm+ bm b m( m +1) c m +3 b m( m +3) b bm + 2 m +1 + b ≥ m + = m + ( ) ( ) m a m +1 c c m( m +1) m c m +3 c m( m + 3) c cm+2 m +1 + c ≥ m + = m + ( ) ( ) a m +1 am a m( m +1) Cộng vế bất đẳng thức ta  a m + bm + c m+   a m+2 b m+2 c m+2 m  m +1 + m +1 + m +1 ÷ ≥ m  m + m + m c a  c a b  b  a m+2 bm+ c m+2 2 ÷+ m + m + m − a − b − c b c a  Kết hợp với (1) ta có điều phải chứng minh Dấu đẳng thức xảy ⇔ a = b = c Câu +) Do tứ giác BFHD, DHEC CBFE nội tiếp nên · · · · · · FDH = FBH = FBE = FCE = HCE = HDE · Suy DH phân giác góc EDF Tương tự EH phân giác góc · · FH phân giác góc EFD Từ DEF H tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF a · · · = MCT = BAC ; MB = MC = +) Do MBT ⇒ d ( M ; BT ) = d ( M ; CT ) = a.sin A +) Ta có · · · · · MEF = HEF + HEM = HAB + HEM · · µ + 90° − C µ = µA = HAB + HBM = 90° − B ME = BC a a.sin A = ⇒ d ( M ; EF ) = 2 a Do d ( M ;TB ) = d ( M ;TC ) = d ( M ; EF ) = sin A nên M tâm đường tròn nội tiếp ∆XTY http://dethithpt.com – Website chuyên Đề thi – Tài liệu file Word · · · · · +) Do tứ giác AFDC nội tiếp TX tiếp xúc với ( O ) nên FDB = FAC = BAC = CBT = DBT Suy TX || DF Tương tự có TY || DE DF phép vị tự tâm S tỉ số k biến tam giác DEF thành tam giác TYX Và TX +) Từ đó, với k = biến H (tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF) thành M (tâm đường tròn nội tiếp tam giác TYX) suy S, H, M thẳng hàng Câu Đặt f ( ) = a Cho m = n = ⇒ f ( ) = ( f ( ) ) ⇒ f ( ) = Cho m = 1; n = ⇒ f ( 1) = ( f ( 1) ) ⇒ f ( 1) = Cho m = n = ⇒ f ( 3) = 2 Cho n = ⇒ f ( m ) = ( f ( m ) ) , ∀m ∈ ¥ nên f ( ) = a Mặt khác với số tự nhiên k ≥ ⇒ ( k + 1) + ( k − ) = ( k − 3) + 2k 2 2 ⇒ ( f ( k + 1) ) + ( f ( k − ) ) = ( f ( k − 3) ) + ( f ( k ) ) 2 2 (1) Từ (1) cho k = ta có ( f ( 4) ) + ( f ( 1) ) = ( f ( ) ) + ( f ( 3) ) ⇒ a = 16 ⇒ a = ⇒ f ( ) = 2 2 Theo ta chứng minh f ( n ) = n với n = 0;1; 2;3;4 Ta chứng minh quy nạp f ( n ) = n Thật vậy, với n ≥ từ đẳng thức (1) ta có: ( f ( n + 1) ) + ( f ( n − ) ) = ( f ( n − 3) ) + ( f ( n ) ) ⇒ ( f ( n + 1) ) = ( n − 3) + 2n − ( n − ) = ( n + 1) ⇒ f ( n + 1) = n + 2 2 2 2 Do f ( n ) = n, ∀n ∈ ¥ ⇒ f ( 2011) = 2011 http://dethithpt.com – Website chuyên Đề thi – Tài liệu file Word ... 2a = 3b; a = 2b http://dethithpt.com – Website chuyên Đề thi – Tài liệu file Word +) a = 2b ⇔ x + + x − = 2 x + phương trình vô nghiệm +) 2a = 3b ⇔ x + + 2 x − = x + giải phương trình nghiệm... http://dethithpt.com – Website chuyên Đề thi – Tài liệu file Word · · · · · +) Do tứ giác AFDC nội tiếp TX tiếp xúc với ( O ) nên FDB = FAC = BAC = CBT = DBT Suy TX || DF Tương tự có TY || DE... + 2) b m = ( m + 2) a2 b2m b 2( m + 2) c m = ( m + ) b2 c2m http://dethithpt.com – Website chuyên Đề thi – Tài liệu file Word cm+2 c 2( m + 2) a m m+ + ma ≥ m + = ( m + 2) c2 ( ) am a2m a m+