Đang tải... (xem toàn văn)
Biết rằng đường kính của nửa hình tròn cũng là cạnh phía trên của hình chữ nhật và tổng độ dài các khuôn gỗ (các đường in đạm trong hình vẽ bên dưới, bỏ qua độ rộng của khuôn gỗ) là 8m[r]
(1)BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Độc lập – Tự – Hạnh phúc
ĐỀ THI TUYỂN SINH
VÀO TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUN NĂM 2020
Mơn thi: Tốn (Dùng cho tất thí sinh)
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian phát đề
Bài (2,0 điểm) Cho biểu thức
2
x x x
P
x
x x x x x
với x0, x4 x9
a) Rút gọn biểu thức P
b) Tìm tất số thực m cho bất đẳng thức m( x3)Px1 với x9 Bài (3,0 điểm)
a)Trong hệ tục toạn độ Oxy, cho hai đường thẳng ( ) : 7d1 5x9 (d2) :y(m24)x3m với m tham số Tìm tất giá trị m để hai đường thẳng ( ), (d1 d2) song song với
b) Cho phương trình
2( 1)
x m x m với m tham số Tìm tất giá trị m để phương trình có hai nghiệm thực x x1, 2 thỏa mãn
1 2 2
x x m x
c) Hai ô tô khởi hành lúc quãng đường từ A đến B dài 120km Vì tơ thứ chạy nhanh ô tô thứ hai 10km nên ô tô thứ đến B trước ô tơ thứ hai 0.4 Tính vận tốc ô tô, biết vận tốc ô tô không đổi quãng đường AB
Bài (1,5 điểm) Bác An muốn làm số khn gỗ, phía có dạng nửa hình trịn, phía có dạng hình chữ nhật Biết đường kính nửa hình trịn cạnh phía hình chữ nhật tổng độ dài khn gỗ (các đường in đạm hình vẽ bên dưới, bỏ qua độ rộng khuôn gỗ) 8m Em hay giúp bác An tính độ dài cạnh hình chữ nhật để cửa sổ có diện tích lớn
Bài (3,0 điểm) Cho đường tròn O điểm A nằm bên đường tròn Qua A kẻ tiếp tuyến AB đến đường tròn O (B tiếp điểm) Kẻ đường kính BC đường tròn O Trên đoạn CO lấy điểm I khác C D Đường thẳng IA cắt đường tròn O hai điểm D E (D nằm A E) Gọi H trung điểm đoạn DE
a) Chứng minh AB BE BD AE
b) Đường thẳng d qua E song song với AO cắt đường thẳng BC K Chứng minh HK CD
c) Tia CD cắt đường thẳng AO điểm P, tia EO cắt đường thẳng BP điểm F Chứng minh tứ giác BECF hình chữ nhật
Bài (0,5 điểm) Tìm tất số thực x y z, , với 0x y z, , 1 thỏa mãn:
1 1
x y z
y zx z xy x yz x y z
(2)LỜI GIẢI ĐỀ TOÁN CHUYÊN LỚP 10/2020 THPT CHUYÊN ĐHSP HÀ NỘI
THUVIENTOAN.NET Bài
a) Với điều kiện xo x, 4 x9, ta có
4 8 (2 ) (2 )
4
2 (2 )(2 ) (2 )(2 ) (2 )(2 )
x x x x x x x x x x
x
x x x x x x x x x
Ngoài ra:
1 2 2( 2)
2 ( 2) ( 2) (2 )
x x x x x
x x x x x x x x x x
Do 4
2 (2 )
x x x
P
x x x x
Vậy với x0,x4 x9 x P
x
b) Theo câu a), ta cần tìm tất số thực m cho bất đẳng thức ( 3)
x
m x x
x
với
9
x , hay ta phải có
1
4m x 4m
x x
(1)
Trước hết, ta chứng minh với 18
m bất đẳng thức thỏa mãn với số thức x9
Thật vậy, với 18
m ta có 1 10 1
9
x m
x x x
, x
Tiếp theo, ta chứng minh không tồn số thực 18
m để bất đẳng thức (1) với x9
Thật vậy, giả sử tồn 18
o
m cho bất đẳng thức (1) với x9 Rõ ràng 4mo 1
Chọn
4
o o
x x m
rõ ràng
1
9
4
18
o
x
Khi đó, theo bất đẳng thức (1), ta phải có:
0
1
4mo 4mo
x
, mâu thuẫn
Từ lý luận trên, ta suy 18
(3)Bài
a) Để ( )d1 (d2) song song với thi ta phải có
4
3
m m
Hệ có nghiệm m 3 Vậy có giá trị m thỏa mãn m 3 b) Phương trình cho phương trình bậc hai ẩn x Vì biệt thức phương trình
' 2
(m 1) (2m 5) (m 2)
với m nên phương trình ln có hai nhiệm phân biệt x x1, 2 Do x1 nghiệm phương trình nên ta có
1 ( 1)
x x m x m , hay
2
1 2 2( 2)
x mx m x x
Do đó, điều kiện cho viết lại thành 2(x12)(x22)0, hay (x12)(x22)0 Một cách tương đương, ta phải có
1 2( 2)
x x x x (1)
Áp dụng định lý Viete, ta có x1x2 2(m1) x x1 2 2m5 Do đó, bất đẳng thức (1) viết lại thành 2m 5 4(m1) 4 0, từ ta phải có
2 m
Vậy
m điều kiện cần tìm
c) Gọi vận tốc ô tô thứ hai x (km/h) (điều kiện: x0) Khi đó, vận tốc tơ thứ x10 (km/h) Khi đó,
Thời gian để ô tô thứ từ A đến B 120 10 x
Thời gian để ô tô thứ hai từ A đến B 120 x Vì tơ thứ đến sớm ô tô thứ hai 0,4 nên ta có
2
120 120 1200
0, ( 10) 3000 ( 5) 3025
10 ( 10) x x x
x x x x
Từ x 5 55, tức x50 (km/h), thỏa mãn điều kiện x0 Vậy vận tốc hai ô tô cho 60 (km/h) 50 (km/h)
Bài
Gọi a (m) đường kính nửa hình trịn (điều kiện: a0) Gọi b (m) độ dài cạnh lại hình chữ nhật Theo giả thiết, ta có a
2
b a , hay
2 a b
(4)Diện tích cửa sổ mà bác An muốn làm
2
1
2
2
1
8
2 2
a
S ab a a b a a b
a a a a a
Sử dụng bất đẳng thức AM-GM dạng
2
, x y xy
ta có:
2
1
4
1 16
4
a a
a a
Do 16 64
4 1
4 a
x
Từ đây, ta suy 32 S
Dấu đẳng thức xảy (1 ) (1 )
4 a a
, tức 16 a
x
(m) Khi
16 16
2 8
2 4
b a b
Vậy diện tích cửa sổ bác An muốn làm lớn 32
(m
2), điều đạt 16
4 a
(m)
4 b
(m) Bài
a) Hai tam giác ABD AEB có góc chung BAD ABD AEB (góc tạo tiếp tuyến dây góc nội tiếp chắn cung đó) nên tam giác ABD đồng dạng với tam giác AEB Suy AB AE
(5)b) Theo đề bài, ta có ABO90o (AB tiếp tuyến ( )O ) AHO90o (H trung điểm dây cung DE ( )O ) nên ABO AHO90o, suy tứ giác ABHO nội tiếp đường trịn đường kính AO Từ
OBH OAH
Mặt khác, với ý EK AO, ta có KEH OAH OBH KBH Suy tứ giác BEKH nội tiếp Kết hợp với tứ giác BECD nội tiếp, ta có HKB HEB DEB DCB
Suy HK CD
c) Gọi Y giao điểm EK CD, X giao điểm EC AO Vì tứ giác BEKH nội tiếp nên EKB EHB
Khi đó, hai tam giác EKC BHD có ECK ECB EDB HDB
180o 180o
EKC EKB EHB BHD
nên đồng dạng với (g-g) Suy EK BH
KC HD
Vì KCY BCD BED BEH CKY EKB EHB nên hai tam giác CKY EHB đồng dạng với (g-g) Suy
KY HB KC HE Vì Hlà trung điểm DE nên HB BH
HE HD Do
EK KY
KC KC , suy KEKY
Sử dụng định lý Thales, với ý EY XP (do EK AO) KEKY , ta suy OPOX Do đó, tứ giác BPCX hình bình hành, suy BD CX hay BP CE Mà CEBE nên BPBE
Do F giao điểm BP EO nên 90o
EBF
, dẫn đến EF đường kính ( )O Vậy tứ giác BFCE hình chữ nhật
Bài
Từ giả thiết, ta có
1yzxx xyxzx x( yz) Suy ra:
1 ( )
x x
y zx x x y z x y z
Chứng minh tương tự, ta có
1
,
1
y z
z xy x y z x yz x y z
Do
1 1
x y z
y zx z xy x yz x y z
Mặt khác, theo giả thiết dấu đẳng thức bất đẳng thức tren phải xảy Nghĩa là, dấu đẳng thức đánh giá phụ phải xảy ra, tức ta phải có x yz1 Thử lại, ta thấy thỏa mãn