Đang tải... (xem toàn văn)
- Với bài hình học nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng với phần đó.[r]
(1)SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC —————— ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10 NĂM HỌC 2011-2012 ĐỀ THI MƠN: TỐN
Dành cho học sinh THPT chuyên Vĩnh Phúc Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề
———————————— Câu (3,0 điểm)
1 Giải hệ phương trình:
(2 3) (2 3) (2 3)(2 3)
x x y y x y
y x xy
2 Tìm tất hàm số f : thoả mãn:
( ) ( ) ,
f x y f x y x y ( )
0 f x
f x
x x
.
Câu (2,0 điểm)
Tìm tất số nguyên tố p q, cho 7 7
p p q q
chia hết cho pq Câu (2,0 điểm).
Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn Một đường thẳng đường qua A cắt đoạn thẳng BC, tia đối tia CD tương ứng E, F (E, F không trùng với B, C) Gọi I I1, 2 I3 lần lượt tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABE, ECF FAD Tiếp tuyến đường tròn
1
( )I song song với CD (gần CD hơn) cắt H Chứng minh H trực tâm tam giác
I I I
Câu (2,0 điểm).
Xét số thực dương a b c, , thỏa mãn a2b3c20. Tìm giá trị nhỏ biểu thức
3 L a b c
a b c
Câu (1,0 điểm).
Tìm tất tập hợp X tập tập số nguyên dương thoả mãn tính chất: X chứa ít hai phần tử với m n X m n, , tồn kX cho n mk
—Hết—
Cán coi thi khơng giải thích thêm.
(2)SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC NĂM HỌC 2011-2012
HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN: TỐN ——————————— I LƯU Ý CHUNG:
- Hướng dẫn chấm trình bày cách giải với ý phải có Khi chấm học sinh làm theo cách khác đủ ý cho điểm tối đa
- Điểm toàn tính đến 0,25 khơng làm trịn
- Với hình học thí sinh khơng vẽ hình phần khơng cho điểm tương ứng với phần II ĐÁP ÁN:
Câu Ý Nội dung trình bày Điểm
1 1 2,0 điểm
(2 3) (2 3) (2 3)(2 3) (1)
4 (2)
x x y y x y
y x xy
Điều kiện xác định:
1
;
4
x y
(2) x y x(4 1) x 4x y 4y
y x
thay vào (1) ta
0,5
(2x 3) x (2y 3) y (2x 3)(2y 3)
y x
0,5
Do
(2x 3) x (2y 3) y (2x 3)(2x 3)
y x
0,5
Suy (1) x x(2 3)y y(2 3) (x y )(2x2y3) 0 xy thay vào (2) ta
được
0 ( )
2 1 1
2
x
x x
x y
lo¹i
Vậy hệ phương trình có nghiệm 1
; 2
.
0,5
2 1,0 điểm
Ta có: f x y f x y f y( )f(0)y y f x( ) a x với af(0) 0,25
1 1
(0)
f f a x
x x x
Mặt khác 2
1 ( ) (0)
0
f x f x a x
f x
x x x x
0,25
2
1
0 0
a x
a x ax a x a
x x
0,25
(3)2 2,0 điểm ,
p q khác 2, 7 Khơng tính tổng qt ta giả sử qp Khi từ giả thiết ta 7p 4pp 7q 4qp
0,5 TH1 7p 4pp, theo định lí Fermat ta có:
7p 4p modp modp p
0,5 TH2 7q 4qp, ta có p1,q 1 tồn số nguyên dương u v, cho
1
qv p u 7q 4 modq p 7qv 4qvmod p 71p1u 41p1umod p
7 mod p mod p p
0,5
Với p 3, từ giả thiết ban đầu ta được:
73 43 7q 4q 3q 9.31 7 q 4q 3q
q3,q31. Vậy p q , 3, , 31, , 3, 31
0,5
3 2,0 điểm
Giả sử tiếp tuyến qua H song song với CD đường tròn I1 cắt BC K đường thẳng qua H song song với BC cắt đường thẳng CD L, suy CKHL hình bình hành
0,5 Do tứ giác ABCD, ABKH ngoại tiếp, nên
AD HL AD CK AD BC BK
AB CD BK AB BK CD AH HK CD
AH LC CD AH DL
Suy tứ giác ADLH ngoại tiếp, hay HL tiếp xúc với ( )I3
0,5
Vì FD KH FH; HA
nên đường phân giác HI1 góc AHK FI3 của góc HFD vng góc với nhau; hay I H1 I I2 3 (Do F I I, ,2 3 thẳng hàng) (1)
0,5 Chứng minh tương tự, HI3 EI2 hay I H3 I I1 (2)
(4)4 2,0 điểm
Theo bất đẳng thức AM-GM, ta có
4 4
2 · 3,
4
a a a
a a a
dấu đẳng thức xảy a 2
9 9
2 · 3,
2
b b b
b b b
dấu đẳng thức xảy b 3
16 16 16
2 · 2,
4
c c c
c c c
dấu đẳng thức xảy c 4
0,5
Cộng ba bất đẳng thức chiều, thu
3
8
4
a b c
a b c
(1) Mặt khác, a2b3c20 nên
3 4
a b c
(chia hai vế cho 4) (2)
0,5
Cộng (1) (2), vế đối vế, ta
3 13
L a b c
a b c
0,5
Dấu đẳng thức xảy a2,b3,c4 Vậy giá trị nhỏ biểu thức L 13, đạt a2,b3,c4 0,5
5 1,0 điểm
Giả sử tìm tập hợp X thỏa mãn m n hai phần tử bé X Khi đó,
cách xác định X nên tồn kX cho n mk 2 Suy m k n k m
hoặc k n .
Với k n n m n m n 1 vơ lí.
0,25
Với k m m n m 3 m1
+) Nếu |X | tập hợp 1 ,
X m m m
+) Nếu |X | 3, gọi q phần tử bé thứ ba X (tức m n q ) Khi tồn X
cho q m 2
0,25
Do q nên m n.
Nếu m q m n, vơ lý Vậy n m3 q m 2 m7 0,25 Nhưng tồn t X cho q nt 2, t m 2 Mà m m m3 m2 X , vô lý.
Vậy |X | 1 ,
X m m m