Đề thi vào lớp 10 THPT chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định năm 2020 môn Toán chung

Tính chiều cao của hình nón đó. a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì phương trình luôn có nghiệm... Ta có điều phải chứng minh.[r]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN NĂM 2020 NAM ĐỊNH Môn thi: Toán (Chung)

Thời gian làm 150 phút, không kể thời gian phát đề Câu (2,0 điểm)

a) Tìm điều kiện xác định biểu thức

2

P

x x



 

b) Tìm tất giá trị tham số m để đường thẳng y  x m cắt parabol yx2 hai điểm phân biệt c) Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC, biết độ dài cạnh tam giác cm

d) Cho hình nón tích ,

V  cm biết bán kính đáy R2cm Tính chiều cao hình nón Câu (1,5 điểm) Cho biểu thức

1

1

x x x

P

x

x x x x

 

  



   (với x0; x1) a) Rút gọn biểu thức P

b) Chứng minh

P với x0 x1 Câu (2,5 điểm)

1 Cho phương trình x2m1x2m 2 với m tham số

a) Chứng minh với giá trị m phương trình ln có nghiệm

b) Tìm tất giá trị tham số m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt x x1, 2 thỏa mãn:

1 2

x   x  

2 Giải phương trình: x33x23x2 x13 0

Câu (3,0 điểm) Từ điểm A nằm ngồi đường trịn  O kẻ tiếp tuyến AB AC, đến đường tròn với B C, tiếp điểm Đoạn thẳng AO cắt BC đường tròn  O M I Gọi D điểm thuộc cung lớn BC đường tròn  O cho DBDC

a) Chứng minh ABOC tứ giác nội tiếp I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC

b) Gọi E F, hình chiếu vng góc A đường thẳng DB DC, Chứng minh DM vng góc với EF

c) Gọi K giao điểm DM với đường tròn  O Chứng minh KI phân giác AKM Câu (1,0 điểm)

a) Giải hệ phương trinh  

2

2

1 1

9 1

x y x x y

x x y x

     



     



b) Xét a b c, , số thực dương thỏa mãn a 1 b 1 c 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

2 2 2

LỜI GIẢI ĐỀ TOÁN CHUYÊN LỚP 10/2020

THPT LÊ HỒNG PHONG – NAM ĐỊNH

THUVIENTOAN.NET

Câu a) Ta có:

 

2

1 1

6 3

P

x

x x x

  



  

Do điều kiện xác định P x   3 x

b) Phương trình hồnh độ giao điểm đường thẳng  d :y  x m parabol  P :yx2 là:  

2

3

x    x m

 d cắt  P hai điểm phân biệt phương trình  1 có hai nghiệm phân biệt

 2   13

1 4 13

4

m m m

            

Vậy 13

m giá trị cần tìm

c) Gọi O tâm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC O trọng tâm tam giác Gọi Hlà hình chiếu A lên BC, ta có:

2

2 2 3

3 ( )

4

BC

AH AB BH  AB     cm

Ta có: 2 ( )

3

AO AH    cm

Vậy bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC (cm)

d) Gọi h chiều cao hình nón ta có: 2 42 ( )

3

V

V R h h cm

R

 

 



    



Vậy chiều cao hình nón (cm) Câu

Cho biểu thức

1

x x x

P

x

x x x x

 

  



     

       

      

  

  

1 2

1

1 1 1 1

1

1

1 1 1

1

1

1 1

1 1

1

x x x x x x

P

x

x x x x x x x x x x x

x x x x x

x x

x x x x x x x x x

x x x

x x x x

x x x x x x

x x x

x x

x x x

                                                                

Vậy x P x x    

b) Ta có

P với x0 x1 Thật bất đẳng thức cần chứng tương đương:

   

 2

1

3

3

2 1

x

x x x

x x

x x x

      

 

      

Bất đẳng thức cuối x0 x1 Ta có điều phải chứng minh Câu

1 a) Phương trình cho có  2    2

1 2

m m m m m

           nên phương trình cho ln có nghiệm

b) Phương trình cho có hai nghiệm dương phân biệt x x1, 2

0

1

1

3 2

m m m m                   Ta có: x1 2 x2  2 nên x1x2

Ta thấy x2 nghiệm phương trình với m, xét hai trường hợp:  x1 2 x2  2 x2 1 vô lý x20

 x2  2 x1  2 x17 Khi ta có: x x1 22m 2 14 m So với điều kiện ban đâu m8 giá trị cần tìm

  2 

3

3 2

2

x y

x xy y x y x y

x y

  

       

  

 Với x2y0, ta có: 2

4

x

x x x

x x

  

         



Với xy, ta có: 2

1

x

x x x

x x

 

 



       



So với điều kiện ban đầu, phương trình cho có hai nghiệm 8; S   

 

 

 

Câu

a) Do AB AC, tiếp tuyến cùa đường tròn  O nên ABOACO900 tứ giác ABOC nội tiếp

Mặt khác ABACnên tam giác ABC cân A lại có AOBC nên AO phần giác BAC hay AI phân giác BAC 1

Ngoài AI trung trực BCIBIC hay tam giác IBC cân IIBCICA Mà ICBIBA theo tính chất góc tạo tiếp tuyến dây cung

Suy ra: IBCIBA Hay BI phân giác ABC 2

Từ  1  2 suy I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC

b) Gọi G giao điểm EM với DC, H giao điểm FM với DB Tứ giác AEBM nội tiếp có AEBAMB900 BEMBAOOCB Suy ra:   



 

90

BOC

DEGEDGOCB OCBMOC Do EM DC

c) Ta có BMKDMC (hai góc đối đỉnh) MBKCBKCDM Do MBK MDC MK MC MK MD MB MC MB2  3

MB MD

        

Tam giác OBA vng B có BM đường cao MO MA MB2  4 Từ  3  4 suy MK MD MO MA Hay MK MO

MA MD Kết hợp với OMDKMA, ta có: MODMKA

Suy AKM OMDIOD2IKD

Hay AKM 2IKM hay KI phân giác AKM Câu

a) Điều kiện: x1, y1

Đặt a 1    y y a2 Phương trình thứ hệ trở thành:

   

     

  

  

2 2 2

2

2

2 3

3

1 1

1

1

1

1 1

x a x x a x a a x

x a a x a a

x x

a a

x x

a a

x x

        

         

 



      



     

   

          

   

Đặt b 1 0, x

   phương trình trở thành:

a1a  2 b 1b2  ab a     b 1 a b a  b Với ab ta có: y 1,

x

   thay vào phương trình thứ hai hệ ta được:

 

  

 

2

2

1

9 1

6

5

1

1

5

1

x x x

x

x x x x x x

x

x x

x

x x

x x

 



     

            



    

 

 



     

   

Với x5, ta có: 11

5 25

y y

So với điều kiện ban đầu ta thấy thỏa mãn, hệ cho có nghiệm  ;  5; 11 25 x y   



b) Với x y z, , 0 ta có: x y z23x2y2z2

Thật bất đẳng thức cần chứng minh tương đường xy 2 y z 2 z x20 Áp dụng bất đẳng thức ta có:

 2    

36 a 1 b 1 c1 3 a     1 b c a  b c Suy a  b c

Mặt khác 2 3 2 1 2 3 2 2 3 

4 4

a abb  ab  ab  ab  a abb  ab Viết hai bất đẳng thức tương tự cộng lại ta P 3a  b c

Đẳng thức xảy a  b c