Website:tailieumontoan.com ĐỀ THI CHỌN HSG THÀNH PHỐ HÀ NỘI NĂM HỌC 2018-2019 Câu 1: (5,0 điểm) a) Giải phương trình: x 1 x S 1 1 1 2.3 3.4 2020.2021 tích 2019 thừa số Tính S b) Cho (kết để dạng phân số tối giản) Câu 2: (5,0 điểm) 2 a) Biết a; b số nguyên dương thỏa mãn a ab b chia hết cho 9, chứng minh a b chia hết cho n b) Tìm tất số nguyên dương n cho 11 tích k tự nhiên liên tiếp k ¥ , k 2 số Câu 3: (3,0 điểm) a) Cho x; y; z số thực dương nhỏ Chứng minh số 1 1 , , 1 x y y z z x ln tồn số lớn 2 b) Với số thực dương a, b, c thay đổi thỏa mãn điều kiện a b c 2abc , tìm giá trị lớn biểu thức P ab bc ca abc Câu 4: (6,0 điểm) AB AC Đường tròn I nội tiếp tam giác ABC Cho tam giác ABC vuông A tiếp xúc với cạnh BC , CA, AB D, E , F Gọi S giao điểm AI DE a) Chứng minh tam giác IAB đồng dạng với tam giác EAS b) Gọi K trung điểm AB O trung điểm BC Chứng minh ba điểm K , O, S thẳng hàng c) Gọi M giao điểm KI AC Đường thẳng chứa đường cao AH tam giác ABC cắt đường thẳng DE N Chứng minh AM AN Câu 5: (1,0 điểm) Xét bảng ô vuông cỡ 10 10 gồm 100 hình vng có cạnh đơn vị Người ta điền vào ô vuông bảng số nguyên tùy ý cho hiệu hai số điền hai chung cạnh có giá trị tuyệt đối không vượt Chứng minh tồn số nguyên xuất bảng lần -HẾT Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Cán coi thi khơng giải thích thêm! Họ tên thí sinh:…………………………………………….….Số báo danh: ………………… Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com LỜI GIẢI ĐỀ ĐỀ THI CHỌN HSG THÀNH PHỐ HÀ NỘI NĂM HỌC 20182019 Câu 1: (5,0 điểm) a) Giải phương trình: x 1 x S 1 1 1 2.3 3.4 2020.2021 tích 2019 thừa số Tính S b) Cho (kết để dạng phân số tối giản) Lời giải a) Phương trình: x x (*) ĐKXĐ: x a x b x 1 Đặt với a 1, b a x b x a b Từ * ta có: a b b a a a a a 2a b a a b Thay vào thệ thức 2 a a 2a a a a a a a 1 2 x x2 * Nếu a (Thỏa mãn) b Ta x (Thỏa mãn ĐKXĐ) 2 x 8 x 10 * Nếu a a 2 b Ta x (Thỏa mãn ĐKXĐ) 2 x x 1 * Nếu a a b Ta x (Thỏa mãn ĐKXĐ) Vậy phương trình có tập nghiệm S 1; 2;10 S 1 1 1 2.3 3.4 2020.2021 b) Với n ¥ ta có: 1 n n n 1 n n n 1 n n 1 n n 1 Áp dụng kết ta có: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com S 1.4 2.5 3.6 2019.2022 1.2.3 2019 4.5.6 2022 1.2022 337 2.3.4 2020 3.4.5 2021 2.3 3.4 4.5 2020.2021 2020.3 1010 Vậy S 337 1010 Câu 2: (5,0 điểm) 2 a) Biết a; b số nguyên dương thỏa mãn a ab b chia hết cho 9, chứng minh a b chia hết cho n b) Tìm tất số nguyên dương n cho 11 tích k nhiên liên tiếp a) Ta có: a ab b M9 a ab b M9 k ¥ , k 2 số tự Lời giải 2a b 3b M9 1 2a b M3 mà số nguyên tố nên 2a b M3 Mà 3b M3 nên 2a b M3 Từ nên 1 2a b M3 2a b M9 2 3b M9 b M3 mà số nguyên tố bM3 2;3 nên a M3 b M3 2a M3 mà Vậy a b chia hết cho b) Ta có tích từ ba số tự nhiên liên tiếp trở lên chia hết cho n n Theo đề 11 tích k số tự nhiên liên tiếp mà 11 không chia hết k Đặt 9n 11 a a 1 với a số nguyên dương 9n 11 a a 1 4.9n 45 4a 4a 2a 1 2.3n 45 2a 2.3n 2a 2.3n 45 2 n Vì a, n nguyên dương 2a 2.3 nên xảy trường hợp sau: 2a 2.3n 2a 2.3n Trường hợp 1 2 Liên hệ tài 039.373.2038 tốn: liệu word mơn TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Từ 1 n n ta có 4a 14 a 11 12 n (Loại) 2a 2.3n 15 2a 2.3n Trường hợp Từ 3 4 n n ta có 4a 18 a 11 20 n (Thỏa mãn) 2a 2.3n 45 2a 2.3n Trường hợp Từ 5 6 3 4 5 6 n n ta có 4a 46 a 11 11 132 121 n Vậy n Câu 3: (3,0 điểm) a) Cho x, y, z số thực dương nhỏ Chứng minh số 1 1 , , 1 x y y z z x ln tồn số lớn 2 b) Với số thực dương a, b, c thay đổi thỏa mãn điều kiện a b c 2abc , tìm giá trị lớn biểu thức P ab bc ca abc Lời giải 1 1 0; 0; x y y z z 4 x a) Ta có Theo bất đẳng thức Cauchy Schwarz ta có: 1 1 36 x y y z z x 4 y y 4 z z x 4 x 1 1 1 x y y z z x x 4 y y 4 z z 4 x 1 1 1 36 12 x 4 y y 4 z z 4 x 1 1 1 x 4 y y 4 z z 4 x * 1 1 , , 1 Giả sử ba số x y y z z x nhỏ Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com 1 1 1 * ) x 4 y y 4 z z 4 x (Trái với 1 1 , , 1 Do số x y y z z x ln tồn số lớn b) Ta có P ab bc ca 2abc ab bc ca a b c a b c 1 2 (Vì 2abc a b c ) 2 Mặt khác: a b c 2abc a 2b 2abc c a b a 2b ab c a b 2 2 2 2 Từ a b c 2abc a , b a , b 2 Theo bất đẳng thức AM – GM với hai số a , 1 b ta có: ab c 1 a 1 b 2 a2 b2 a2 b2 ab c 2 a b c 1 a 1 ta có: Mặt khác theo bất đẳng thức AM – GM với hai số a b a b a b ab Từ 1 Do 2 2P 2 a b 1 2 ta có: a b abc 1 a b 2 2 5 1 P 4 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com 1 a b abc a b 2 a b c abc Dấu “=” xảy Vậy MaxP abc Câu 4: (6,0 điểm) AB AC Đường tròn I nội tiếp tam giác ABC Cho tam giác ABC vuông A tiếp xúc với cạnh BC , CA, AB D, E , F Gọi S giao điểm AI DE a) Chứng minh tam giác IAB đồng dạng với tam giác EAS b) Gọi K trung điểm AB O trung điểm BC Chứng minh ba điểm K , O, S thẳng hàng c) Gọi M giao điểm KI AC Đường thẳng chứa đường cao AH tam giác ABC cắt đường thẳng DE N Chứng minh AM AN Lời giải 1· · IAB BAC a) Ta có AI tia phân giác góc BAC nên , · IBA ·ABC BI tia phân giác góc ABC nên Theo tính chất tổng ba góc AIB ta có: · BAC ·ABC ·AIB 180 IAB · · IBA 180 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com 180 90 µ 180 C · · µ (Do BAC ABC 180 C theo tính chất tổng ba góc tam giác) µ C Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt ta có: CE CD CED cân C µ 180 C · DEC · · Lại có: AES 180 DEC (Hai góc kề bù) 180 µ µ 180 C C 90 2 ·AIB ·AES 90 µ C · · Mặt khác EAS IAB (Tính chất tia phân giác) Do đó: IAB #EAS (g - g) · · · b) Ta có: IAB #EAS ASE ABI IBD · · · · Tứ giác IBDS có IBD ISD ASE ISD 180 Tứ giác IBDS nội tiếp 1· · IAB BAC 45 · IDB · º ISB 90 (Góc nội tiếp chắn BI nhỏ) mà (Tính chất tia phân giác) ASB vuông cân S ASB vuông cân S có SA đường trung tuyến nên SA đường trung trực * AB Mặt khác ABC vng có AO trung tuyến nên OA OB BC O thuộc đường trung trực AB ** Từ * ** Ba điểm K , O, S thẳng hàng AK IK c) Vì AI tia phân giác AMK nên AM IM 1 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com IK FK IF //AM (Cùng vng góc với AB ) IM FA (Định lý Ta lét) 2 Từ 1 2 AK FK AK AM AM FA FK AF 3 AN SA Mặt khác ID //AN (Cùng vng góc với BC ) ID SI (Hệ định lý Ta lét) SA AK AN AK mà IF //KS (Cùng vng góc với AB ) SI FK nên ID FK 4 Từ 3 AM AN ID ta có AF · · · Tứ giác AEIF có EAF AFI AEI 90 nên tứ giác AEIF hình chữ nhật AF EI ID AM AN ID nên AM AN Ta có AF ID AF Câu 5: (1,0 điểm) Xét bảng ô vuông cỡ 10 10 gồm 100 hình vng có cạnh đơn vị Người ta điền vào ô vuông bảng số nguyên tùy ý cho hiệu hai số điền hai chung cạnh có giá trị tuyệt đối không vượt Chứng minh tồn số nguyên xuất bảng lần Lời giải Ta thấy hai ô vuông hai góc đối hình vng 10 10 xa Gọi số điền vào ô vuông a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a1 , a2 , a3 , , a19 a10 a11 a12 a13 a14 a15 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com a16 a17 a18 a19 Ta có 1 a1 a2 Tương tự ta có: 1 a2 a3 1; .; a1 a2 1 a18 a19 Cộng vế bất đẳng thức ta có: 18 a1 a19 18 a1 a19 18 a , a , a , , a19 Vì số nguyên nên có tối đa 19 số nguyên khác điền vào bảng Có 100 ô vuông bảng nên theo nguyên lý Dirichle có số 100 19 xuất bảng (lần) …………… HẾT…………… Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC ... a3 1; .; a1 a2 1 a18 a19 Cộng vế bất đẳng thức ta có: 18 a1 a19 18 a1 a19 18 a , a , a , , a19 Vì số nguyên nên có tối đa 19 số nguyên khác điền vào bảng Có 100... vuông bảng số nguyên tùy ý cho hiệu hai số điền hai chung cạnh có giá trị tuyệt đối không vượt Chứng minh tồn số nguyên xuất bảng lần Lời giải Ta thấy hai vng hai góc đối hình vng 10 10 xa Gọi... ĐỀ ĐỀ THI CHỌN HSG THÀNH PHỐ HÀ NỘI NĂM HỌC 20182 019 Câu 1: (5,0 điểm) a) Giải phương trình: x 1 x S 1 1 1 2.3 3.4 2020.2021 tích 2 019 thừa số Tính