63 HSG 18 HA NOI AMSTEDAM BUI TIEN DOAN

Website:tailieumontoan.com ĐỀ CHỌN ĐỘI TUYỂN TOÁN – AMSTERDAM LẦN NĂM HỌC 2017 – 2018 Câu 1: Câu 2: Tìm tất ba số nguyên dương p  p    q  q  3  n  n   mãn:  p; q; n  , p , q số nguyên tố thỏa Gọi a , b , c ba nghiệm phương trình x  x  x   Khơng giải phương trình, tính tổng: S Câu 3: a5  b5 b5  c5 c5  a   a b b c ca  AB  AC  , với ba đường cao AD , BE , CF đồng quy H Các Cho tam giác ABC , đường thẳng EF , BC cắt G , gọi I hình chiếu H GA Chứng minh tứ giác BCAI nội tiếp Gọi M trung điểm BC Chứng minh GH  AM Câu 4: Cho a , b , c ba số thực dương thỏa mãn a  b  c  Chứng minh rằng: 1    a  b2  c 2 a b c Dấu đẳng thức xảy nào? Câu 5: Mỗi điểm mặt phẳng tô ba màu Đỏ, Xanh, Vàng Chứng minh tồn hai điểm A , B tô màu mà AB  LỜI GIẢI ĐỀ CHỌN ĐỘI TUYỂN TOÁN – AMSTERDAM LẦN NĂM HỌC 2017 - 2018 Câu 1: Tìm tất ba số nguyên dương mãn:  p; q; n  , p , q số nguyên tố thỏa p  p  3  q  q  3  n  n  3 Lời giải p Khơng tính tổng qt, giả sử  q Trường hợp 1: p   p  p  3    3  2.5  10  10  q  q  3  n  n  3  10  n  3n  q  3q   n  q    3n  3q  Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word môn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com  10   n  q   n  q    n  q   10   n  q   n  q  3 p  p    q  q  3  n  n   Vì mà p ; q ; n số nguyên dương  n  q   nq3 223 Mà 10  1.10  2.5 n  q   10 n  q  n      n q 1 n q 1 q  So với điều kiện thỏa mãn  p; q; n  cần tìm  2;3;  Vậy ba số nguyên dương Trường hợp 2: p   p  p  3      3.6  18  18  q  q  3  n  n  3  18  n  3n  q  3q   n  q    3n  3q   18   n  q   n  q    n  q   18   n  q   n  q  3 p  p    q  q  3  n  n   Vì mà p ; q ; n số nguyên dương  n  q   n  q   3 3  Mà 18  1.18  2.9  3.6 n  q   18 n  q  15 n      n  q 1  nq 1 q  So với điều kiện thỏa mãn  p; q; n  cần tìm  3;7;8 Vậy ba số nguyên dương Trường hợp 3: p  a  a  3 Ta chứng minh với số ngun a khơng chia hết cho tích ln chia dư Thật vậy: Nếu a : dư  a  3k   a   3k   a  a  3   3k  1  3k    9k  15k  : dư Nếu a : dư  a  3k   a   3k   a  a  3   3k    3k    9k  21k  10 : dư Trở lại tốn chính: 3; q Œ Vì q  p   p Œ  p  p  3  q  q  3 : dư n  n  3 : 3) n  n  3 M3 nM3 Mà dư (nếu n Œ  p  p  3  q  q  3  n  n  3 Suy khơng có ba số ngun dương Câu 2:  p; q; n  thỏa mãn yêu cầu toán Gọi a , b , c ba nghiệm phương trình x  x  x   Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Khơng giải phương trình, tính tổng: a5  b5 b5  c5 c5  a S   a b bc ca Lời giải Vì a , b , c ba nghiệm phương trình x3  x  x   Khi phân tích đa thức x  x  x  thừa số ta được: x3  x  x    x  a   x  b   x  c    x  a   x  b   x  c   x3  x  3x  2  x   a  b  c  x   ab  bc  ca  x  abc  x  x  3x  2   abc     ab  bc  ca    abc   57 9  a  b  c   a  b  c    ab  bc  ca      2.3  2 2 2 2 Tính a b  b c  c a : 2 2 a 2b  b c  c a   ab  bc  ca    ab bc bc  ca ca ab   a 2b  b c  c a   ab  bc  ca   2abc  a  b  c  9  a 2b  b 2c  c a  32     2 3 Tính a  b  c : a  b3  c3   a  b  c   a  b  c  ab  bc  ca   3abc  57 417   a  b3  c3       2  Vậy:  a  b  c    ab  bc  ca    abc     57 2  a b c    a 2b2  b c  c a     a  b3  c  417  Khi ta có: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com a5  b5 b5  c5 c  a   a b bc c a 2  S   a  a b  a b  ab3  b    b  b3c  b 2c  bc  c  S   c  c3 a  c a  ca3  a   S  2a  2b4  2c  a 3b  b3a  b3c  c 3b  a 3c  c 3a  a 2b  b 2c  c a  S   a  b  c  a b  2b c  c a    a  a b  a c    b  b a  b c    c  c a  c 3b    a b  b c  c a   S   a  b2  c   a  a  b  c   b3  a  b  c   c3  a  b  c    a 2b  b c  c a   S   a  b  c    a  b  c   a  b  c    a 2b  b c  c a  2  57  417 3465 S         Câu 3:  AB  AC  , với ba đường cao AD , BE , CF đồng quy H Các Cho tam giác ABC , đường thẳng EF , BC cắt G , gọi I hình chiếu H GA Chứng minh tứ giác BCAI nội tiếp Gọi M trung điểm BC Chứng minh GH  AM Lời giải Chứng minh tứ giác BCAI nội tiếp Dễ dàng chứng minh tứ giác AIFH nội tiếp tứ giác AFHE nội tiếp  điểm A , F , H , E , I thuộc đường trịn Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com  tứ giác AIFE nội tiếp  GI GA  GF GE    1  GF GE  GB.GC     Dễ dàng chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp  1   suy ra: GI GA  GB.GC    tứ giác BCAI nội tiếp (điều phải chứng Từ minh) Chứng minh GH  AM  O  đường trịn ngoại tiếp ABC Kẻ đường kính AA '  O  Gọi  I   O   ·AIA  90  AI  AI Vì tứ giác BCAI tứ giác nội tiếp hay AI  AG Mà HI  AG (giả thiết)  AI  HI  A , I , H thẳng hàng Mà dễ dàng chứng minh A ' H qua trung điểm M BC (tứ giác BHCA ' hình bình hành)  M , I , H thẳng hàng Xét AGM có: AD  AM , MI  AG AD cắt MI H  H trực tâm tam giác AGM  GH  AM Suy điều phải chứng minh Câu 4: Cho a , b , c ba số thực dương thỏa mãn a  b  c  Chứng minh rằng: 1    a  b2  c 2 a b c Dấu đẳng thức xảy nào? Lời giải  1  0;  Trường hợp 1: Nếu tồn ba số a , b , c thuộc nửa khoảng   ta có 1      a  b  c   a2  b2  c2 a b c Khi bất đẳng thức cần chứng minh 1 1 a b c abc 3 a   a  3; 3; ta có 3 tương tự Trường hợp 2: 1 7 7 a; b; c   ;  b c 3 3 3; Vậy 1 7  x  4 x  x   ;   3  (*) Ta chứng minh x Thật 4   x  1 (*)   x  4 x  x  x  x  x   1 7 2 x   ;    x  1  x  1   3 3 với  x  x  1   1  a  4a   b  4b   c  4c  Vậy a ; b ; c Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com 1    a  b  c  4  a  b  c   12  Từ suy a b c 1     a  b2  c a b c (đpcm)  Dấu “ ” xảy a  b  c  Câu 5: Mỗi điểm mặt phẳng tô ba màu Đỏ, Xanh, Vàng Chứng minh tồn hai điểm A , B tô màu mà AB  Lời giải Giả sử khơng có điểm mặt phẳng tô màu mà khoảng cách chúng đơn vị độ dài Xét điểm O bất kỳ có màu vàng mặt phẳng O,  O Vẽ đường tròn Lấy điểm P bất kỳ Dựng hình thoi OAPB có cạnh có đường chéo OP Dễ thấy OA  OB  AB  AC  BC  Theo giả thiết, A, B phải tô khác màu vàng khác màu Do P phải tô vàng Từ suy tất điểm ( O ) phải tô vàng Điều trái với giả thiết dễ thấy tồn hai điểm ( O ) có khoảng cách đơn vị độ dài P/s: Số thay bất kỳ số thực dương  Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word  mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC ... p   p  p  3      3.6  18  18  q  q  3  n  n  3  18  n  3n  q  3q   n  q    3n  3q   18   n  q   n  q    n  q   18   n  q   n  q  3 p  p... 3  n  n   Vì mà p ; q ; n số nguyên dương  n  q   n  q   3 3  Mà 18  1 .18  2.9  3.6 n  q   18 n  q  15 n      n  q 1  nq 1 q  So với điều kiện thỏa mãn... Từ suy tất điểm ( O ) phải tơ vàng Điều trái với giả thiết dễ thấy tồn hai điểm ( O ) có khoảng cách đơn vị độ dài P/s: Số thay bất kỳ số thực dương  Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word  mơn