De HSG k12 ha noi 2018 2019

STRONG TEAM TOÁN VD-VDC – TỔ 10 Câu ĐỀ THI HSG 12 – HÀ NỘI 2018-2019 [DS12.C3.1.E03.b] (HSG Toán 12 - Hà Nội năm 1819) thị  C Cho hàm số y x x  có đồ  C đường thẳng d có phương trình y  x  m , m tham số Tìm m để d cắt  C  A hai điểm phân biệt A B cho tổng hệ số góc tiếp tuyến với B lớn Lời giải 1 � 1�  x � y�  D  �\ �  � y  x  1 � Ta có 2x 1 Tập xác định x  x  m � g  x   x   m  1 x  m  (1) x  Phương trình hồnh độ giao điểm ��  m  2m   2m  m   0, m � ��1�  �  �0, m �g �  C  hai 2� � � Ta có: nên đường thẳng d ln cắt đồ thị điểm phân biệt A , B với giá trị thực m Gọi x1 , x2 �S  x1  x2 � � �P  x1 x2  � hoành độ điểm A B x1 , x2 nghiệm phương trình (1)    m  1 m Suy tổng hệ số góc tiếp tuyến với  C A  x1 ; y1  B  x2 ; y2  � � S  P  4S  K  �      4m   �2 2�  x1  1  x2  1 �  P  2S  1 � � � Vậy tổng hệ số góc lớn tiếp tuyến với m0 Câu  C A B 2 đạt [DS12.C2.1.E03.c] (HSG Toán 12 - Hà Nội năm 1819) Giải phương trình cos x   x Lời giải Xét hàm số f  x   cos x  x  � f�  x    sin x  x , f �  x    cos x  với x �� Ta có � f�  x   x ��� f �  x  đồng biến � Mà f �    suy phương trình Vì f�  x   có nghiệm x  Bảng biến thiên: Địa truy cập https://facebook.com/groups/900248096852019?ref=share Trang STRONG TEAM TOÁN VD-VDC – TỔ 10 Từ bảng biến thiên suy ĐỀ THI HSG 12 – HÀ NỘI 2018-2019 f  x  � x  Vậy phương trình cho có nghiệm x  Câu [DS12.C1.2.E11.c] (HSG Toán 12 - Hà Nội năm 1819) Giải hệ phương trình 2 � �x  y  xy  x  y    1 �2  2 �x  y   x y  Lời giải Điều kiện: y �3  Từ  1 2 ta có: x  y  xy  x  y   � x   y  3 x   y  3  y  y   �  x  y  3  y  y   � y  y  �0 � 3 �y �1  Từ  2 ta lại có:  � x y3 �2�۳ 1 y Từ  3   4  3 x2  y   x y  � x2  x y   y     y    2 1 y  y  4 � y 1 Thay y  vào hệ x  �x  � Vậy hệ có nghiệm �y  (thỏa mãn điều kiện) Câu [DS12.C2.3.E02.b] (HSG Toán 12 - Hà Nội năm 1819) Cho dãy số  an  xác định a2 a1  , an 1  n ; n ��* a  an  a n  Chứng minh dãy số n dãy số giảm Lời giải  a  a  1 a2 an 1  an  n  an  2n n a  a  a  a  n n n n Xét hiệu a  0, n ��* a  an   � an 1  an  0, n � * Từ cách xác định dãy số ta có n n a  Vậy n dãy số giảm Địa truy cập https://facebook.com/groups/900248096852019?ref=share Trang STRONG TEAM TOÁN VD-VDC – TỔ 10 Câu ĐỀ THI HSG 12 – HÀ NỘI 2018-2019 [DS12.C2.3.E03.c] (HSG Toán 12 - Hà Nội năm 1819) Cho dãy số  an  xác định a2 a1  , an 1  n ; n ��* an  a n  Với số nguyên dương n , đặt bn  a1  a2   an Tính lim bn x �� Lời giải Ta có an1  an2  an   an  a 1  1 n an  an  an  an  � an 1   � an  Suy an  an2  an  1 �   an  an  an  an1  an  an  1 an 1  an  bn  a1  a2   an  Lại có: Dãy số Giả sử Từ Câu  1   an  1   an 1  a1  an 1   dãy số giảm, bị chặn nên có giới hạn lim an  a � lim an 1  a � a  x ��  2 x �� ta có  1 lim bn  x �� a2 �a 0 lim an    a2  a  hay x�� [HH12.C1.3.E01.c] (HSG Toán 12 - Hà Nội năm 1819) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm I , có đường cao AH Gọi E hình chiếu B lên tia AI , HE cắt AC P Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC biết H  6;   ; P  11;1 M  10;   trung điểm BC Lời giải Nhận xét: Theo giả thiết H khơng thể trùng với M � ABC tam giác thường  I  � ACF vuông C Kẻ đường kính AF đường tròn Địa truy cập https://facebook.com/groups/900248096852019?ref=share Trang STRONG TEAM TOÁN VD-VDC – TỔ 10 ĐỀ THI HSG 12 – HÀ NỘI 2018-2019 � � Xét tứ giác AEHB có AEB  AHB  90 nhìn cạnh AB � Tứ giác AEHB nội tiếp đường tròn có tâm trung điểm AB �� ABH  � AEP � � Mà AFC  ABH (cùng nhìn cạnh AC ) �� AFC  � AEP � HP P FC Lại có FC  AC � HP  AC uuur uuur HP   5;5    1;1 nAC   1;1 Có Chọn P  11;1 �AC � AC : x  y  12  uuuur HM   4;0  uuur � n H , M BC   0;1 Do đường thẳng BC chứa H  6;   �BC � BC : y   Có C  BC �AC � tọa độ C nghiệm hệ phương trình �x  y  12  �x  16 �� � C  16;   � �y   �y  4 � B  4;   trung điểm BC uuur AH  BC � nAH   1;0  Có Lại có M  10;   H  6;   �AH � AH : x   Có A  AH �AC � tọa độ A nghiệm hệ phương trình �x  y  12  �x  �� � A  6;6  � �x   �y  Vậy Câu A  6;6  ; B  4;   ; C  16;   [HH12.C2.1.E03.b] (HSG Toán 12 - Hà Nội năm 1819) Cho hình lập phương ABCD A���� B C D Một mặt phẳng  P cắt tia AB , AD , AA� , AC �lần lượt M , N , P 1    , Q Chứng minh rằng: AQ AM AN AP Lời giải Địa truy cập https://facebook.com/groups/900248096852019?ref=share Trang STRONG TEAM TOÁN VD-VDC – TỔ 10 ĐỀ THI HSG 12 – HÀ NỘI 2018-2019 Theo quy tắc hình hộp ta có: uuur AB uuuu r AD uuur AA� uuu r AC � AQ  AM  AN  AP uuuu r uuu r uuur uuur � AM AN AP AC �  AB  AD  AA� AQ � AB  AD  AA�  AC � � ���� AC ABCD A B C D Ta có đường chéo hình lập phương AC � AB AD AA� 1    �    AQ AM AN AP Mà M , N , P , Q đồng phẳng nên AQ AM AN AP Câu [HH12.C2.1.E03.b] (HSG Toán 12 - Hà Nội năm 1819) Cho hình lập phương ABCD A���� B C D Một mặt phẳng  P cắt tia AB , AD , AA� , AC �lần lượt M , N , P  P  Chứng minh AQ  AH , Q Gọi H hình chiếu A lên Lời giải Ta có AMNP tứ diện vuông � 1 1    2 AH AM AN AP 1 1 � �1   �   � 2 AN AP �AM AN AP � Mà AM � Câu 1 1    �  � AQ  AH AH AM AN AP AH AQ [DS12.C1.3.E03.d] (HSG Toán 12 - Hà Nội năm 1819) Cho số thực a, b, c không 2 âm thỏa mãn a  b  c  Tìm giá trị lớn biểu thức P  a  b  c  4abc Lời giải Địa truy cập https://facebook.com/groups/900248096852019?ref=share Trang STRONG TEAM TOÁN VD-VDC – TỔ 10 ĐỀ THI HSG 12 – HÀ NỘI 2018-2019     1 a b c Khơng tính tổng quát giả sử a �b �c từ Mặt khác: 2 2bc �b c�  � a2 2bc 1 3 bc 3a a2 3 Ta có: 2 2 � P2  � a   4bc    b  c  1� a   b  c  ��   2bc  �   4bc   1�   4bc   1� � ��� �� � � � a  b  c  * Dấu xảy  bc Đặt t � bc  t 2 3 Suy P �  2t   16t  8t    32t  4t  � t � � 1� � f  t   32t  4t  2, t �� 0; � ; f  t   96t   � � � � 3� t � � Xét hàm số �1 � 50 f    2; f � � ; f �3 � 27 12   l 12 �6� � �12 � ��1, 4556 � � � ac � b0 � t  � � �� c0 � � ab � f  t  � Suy GTLN  * 2 � ab � � � c0 Kết luận: max P  , đạt � , hoán vị Địa truy cập https://facebook.com/groups/900248096852019?ref=share Trang ... cập https://facebook.com/groups/9002480968 52019? ref=share Trang STRONG TEAM TOÁN VD-VDC – TỔ 10 Câu ĐỀ THI HSG 12 – HÀ NỘI 2018- 2019 [DS12.C2.3.E03.c] (HSG Toán 12 - Hà Nội năm 1819) Cho dãy số... tròn Địa truy cập https://facebook.com/groups/9002480968 52019? ref=share Trang STRONG TEAM TOÁN VD-VDC – TỔ 10 ĐỀ THI HSG 12 – HÀ NỘI 2018- 2019 � � Xét tứ giác AEHB có AEB  AHB  90 nhìn cạnh AB... giải Địa truy cập https://facebook.com/groups/9002480968 52019? ref=share Trang STRONG TEAM TOÁN VD-VDC – TỔ 10 ĐỀ THI HSG 12 – HÀ NỘI 2018- 2019 Theo quy tắc hình hộp ta có: uuur AB uuuu r AD uuur