STRONG TEAM TOÁN VD-VDC – TỔ 10 ĐỀ THI HSG 12 – HÀ NỘI 2018-2019 SỞ GD &ĐT HÀ NỘI ĐỀ THI HSG KHỐI 12 (Đề gồm 01 trang) NĂM HỌC 2018 - 2019 MƠN: TỐN Thời gian: 180 phút Họ tên: SBD: Câu (4 điểm) Cho hàm số m y= −x x + có đồ thị ( C ) đường thẳng d có phương trình y = x + m , m để tham số Tìm góc tiếp tuyến với d ( C) cắt ( C) tại hai điểm phân biệt A B A B cho tổng hệ số lớn Câu (5 điểm) 1) Giải phương trình cos x = − x x + y + xy − x − y + = 2) Giải hệ phương trình x − y + = x y + Câu (3 điểm) Cho dãy số ( an ) a) Chứng minh dãy số a2 a1 = , an+1 = n ;n ∈ ¥* an − an + xác định ( an ) dãy số giảm b) Với số nguyên dương Câu (6 điểm) 1) Trong mặt phẳng tọa độ AH Gọi E giác ABC bn n , đặt bn = a1 + a2 + + an Tính xlim → +∞ Oxy , cho tam giác ABC hình chiếu biết B lên tia H ( 6; − ) ; P ( 11;1) AI , HE M ( 10; − ) nội tiếp đường tròn tâm cắt AC ABCD A′ B′C ′D′ Một mặt phẳng ( P ) AC ′ M , N , P , Q có đường cao P Tìm tọa độ đỉnh tam trung điểm 2) Cho hình lập phương I, BC cắt tia AB , AD , AA′ , 1 = + + a) Chứng minh rằng: AQ AM AN AP b) Gọi H Câu (2 điểm) Cho số thực biểu thức A lên ( P ) Chứng minh AQ < AH a, b, c không âm thỏa mãn a + b2 + c = Tìm giá trị lớn hình chiếu P = a + b + c − 4abc ****** Hết****** Địa truy cập https://facebook.com/groups/900248096852019?ref=share Trang STRONG TEAM TOÁN VD-VDC – TỔ 10 ĐỀ THI HSG 12 – HÀ NỘI 2018-2019 LỜI GIẢI CHI TIẾT HSG 12 HÀ NỘI 2018-2019 Câu Cho hàm số tham số Tìm y= m −x x + có đồ thị ( C ) đường thẳng d có phương trình y = x + m , d cắt ( C) ( C) A B để tiếp tuyến với hai điểm phân biệt A B m cho tổng hệ số góc lớn Lời giải Tác giả: Nguyễn Hoàng Huy; Fb: Nguyen Hoang Huy −1 1 − x ′ ⇒ y = D = ¡ \ − y= ( x + 1) Tập xác định Ta có 2x + −x = x + m ⇔ g ( x ) = x + ( m + 1) x + m = (1) Phương trình hồnh độ giao điểm x + ∆ ′ = m + 2m + − 2m = m + > 0, ∀ m 1 g − ÷ = − ≠ 0, ∀ m Ta có: nên đường thẳng điểm phân biệt Gọi x1 , x2 A, B với giá trị thực hoành độ điểm A B d cắt đồ thị ( C) hai m x1 , x2 nghiệm phương trình (1) S = x1 + x2 = − ( m + 1) m P = x1 x2 = Suy tổng hệ số góc tiếp tuyến với ( C) A ( x1; y1 ) B ( x2 ; y2 ) 4S − P + S + K = − + =− = − ( 4m + ) ≤ −2 2 ( P + 2S + 1) ( x1 + 1) ( x2 + 1) Vậy tổng hệ số góc lớn tiếp tuyến với Câu ( C) m = Địa truy cập https://facebook.com/groups/900248096852019?ref=share A B − đạt Trang STRONG TEAM TOÁN VD-VDC – TỔ 10 1) Giải phương trình ĐỀ THI HSG 12 – HÀ NỘI 2018-2019 cos x = − x Lời giải Tác giả: Nguyễn Thanh Giang; Fb: Thanh Giang Xét hàm số f ( x ) = cos x + x − với x∈ ¡ f ′′ ( x ) > ∀ x ∈ ¡ ⇒ f ′ ( x ) Vì f ′ ( x) = có nghiệm Ta có đồng biến ¡ f ′ ( x ) = − sin x + x , f ′′ ( x ) = − cos x + Mà f ′ ( 0) = suy phương trình x= Bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên suy f ( x) = ⇔ x = Vậy phương trình cho có nghiệm x= x + y + xy − x − y + = ( 1) ( 2) 2) Giải hệ phương trình x − y + = x y + Lời giải Tác giả: Nguyễn Hồng Hạnh; Fb: Nguyễn Hồng Hạnh Điều kiện: Từ ( 1) y ≥ −3 x + y + xy − x − y + = ta có: ⇔ x + ( y − 3) x + ( y − 3) + y + y − = ⇔ ( x + y − 3) + y + y − = ⇒ y2 + y − ≤ ⇔ − ≤ y ≤ Từ ( ( 2) ta lại có: ) ( 3) x2 − y + = x y + ⇔ x2 − x y + + y + + ( − y ) = ⇔ x − y + + 2( 1− y) = ⇒ 2( 1− y) ≤ ⇔ y ≥ ( 4) Địa truy cập https://facebook.com/groups/900248096852019?ref=share Trang STRONG TEAM TOÁN VD-VDC – TỔ 10 Từ ( 3) ( 4) ⇒ ĐỀ THI HSG 12 – HÀ NỘI 2018-2019 y = y = vào hệ x = Thay x = Vậy hệ có nghiệm y = (thỏa mãn điều kiện) Câu Cho dãy số ( an ) an2 a1 = , an+1 = ;n∈ ¥* an − an + xác định a) Chứng minh dãy số ( an ) dãy số giảm b) Với số nguyên dương bn n , đặt bn = a1 + a2 + + an Tính xlim → +∞ Lời giải Tác giả: Công Phương; Fb: Nguyễn Công Phương − a ( a − 1) an2 an +1 − an = − an = 2n n an − a n + an − an + a) Xét hiệu Từ cách xác định dãy số ta có Vậy ( an ) an > 0, ∀ n ∈ ¥ * an2 − an + 1> ⇒ an+ − an < 0, ∀ n ∈ Ν * dãy số giảm an2 − an + 1+ an − a −1 an +1 = = 1+ n an − a n + an − an + b) Ta có ⇒ an +1 − 1= ⇒ an = Suy an − an2 − an + 1 ⇒ = = a + n an2 − an + an +1 − an − an − 1 − an + − an − bn = a1 + a2 + + an = Lại có: Dãy số ( an ) 1 − = + an + − a1 − an+ − dãy số giảm, bị chặn ( 1) nên có giới hạn a2 lim a = a ⇒ lim an +1 = a ⇒ a = ⇒a=0 lim a = ( 2) Giả sử x →+∞ n x →+∞ hay x→ +∞ n a − a +1 Từ ( 1) ( 2) ta có lim bn = x → +∞ Địa truy cập https://facebook.com/groups/900248096852019?ref=share Trang STRONG TEAM TOÁN VD-VDC – TỔ 10 Câu 1) Trong mặt phẳng tọa độ AH Gọi E giác ABC Oxy , cho tam giác ABC hình chiếu biết ĐỀ THI HSG 12 – HÀ NỘI 2018-2019 B lên tia H ( 6; − ) ; P ( 11;1) AI , HE nội tiếp đường tròn tâm cắt M ( 10; − ) AC I, có đường cao P Tìm tọa độ đỉnh tam trung điểm BC Lời giải Tác giả: Bui Bai; Fb: Bui Bai Nhận xét: Theo giả thiết Kẻ đường kính AF H khơng thể trùng với đường tròn M ⇒ ∆ ABC ( I ) ⇒ ∆ ACF vuông C ·AEB = ·AHB = 900 Xét tứ giác AEHB có nhìn cạnh AB ⇒ AEHB nội tiếp đường tròn có tâm trung điểm AB Tứ giác tam giác thường ⇒ ·ABH = ·AEP Mà ·AFC = ·ABH (cùng nhìn cạnh AC ) ⇒ ·AFC = ·AEP ⇒ HP P FC Lại có Có FC ⊥ AC ⇒ HP ⊥ AC uuur uuur HP = ( 5;5 ) = ( 1;1) Chọn nAC = ( 1;1) P ( 11;1) ∈ AC ⇒ AC : x + y − 12 = uuuur HM = ( 4;0 ) Địa truy cập https://facebook.com/groups/900248096852019?ref=share Trang STRONG TEAM TOÁN VD-VDC – TỔ 10 Do đường thẳng BC chứa ĐỀ THI HSG 12 – HÀ NỘI 2018-2019 uuur H , M ⇒ nBC = ( 0;1) H ( 6; − ) ∈ BC ⇒ BC : y + = Có C = BC ∩ AC ⇒ x + y − 12 = ⇔ y+ 4= Lại có Có M ( 10; − ) tọa độ C nghiệm hệ phương trình x = 16 ⇒ C ( 16; − ) y = −4 trung điểm uuur AH ⊥ BC ⇒ nAH = ( 1;0 ) BC ⇒ B ( 4; − ) H ( 6; − ) ∈ AH ⇒ AH : x − = Có A = AH ∩ AC ⇒ x + y − 12 = ⇔ x−6= Vậy tọa độ A nghiệm hệ phương trình x = ⇒ A ( 6;6 ) y = A ( 6;6 ) ; B ( 4; − ) ; C ( 16; − ) ABCD A′ B′C ′D′ Một mặt phẳng ( P ) AC ′ M , N , P , Q 2) Cho hình lập phương cắt tia AB , AD , AA′ , 1 = + + a) Chứng minh rằng: AQ AM AN AP b) Gọi H hình chiếu A lên ( P ) Chứng minh AQ < AH Lời giải Tác giả: Bùi Văn Lưu; Fb: Bùi Văn Lưu Địa truy cập https://facebook.com/groups/900248096852019?ref=share Trang STRONG TEAM TOÁN VD-VDC – TỔ 10 ĐỀ THI HSG 12 – HÀ NỘI 2018-2019 a) Theo quy tắc hình hộp ta có: uuur uuuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur ⇒ AC ′ AQ = AB AM + AD AN + AA′ AP AM AN AP AC ′ = AB + AD + AA′ AQ Ta có AC ′ đường chéo hình lập phương ABCD A′ B′C ′D′ ⇒ AB = AD = AA′ = AC ′ AC ′ AB AD AA′ 1 = + + ⇒ = + + Mà M , N , P , Q đồng phẳng nên AQ AM AN AP AQ AM AN AP b) Ta có AMNP tứ diện vuông 1 + + 2 Mà AM AN AP ⇒ Câu ⇒ 1 1 = + + AH AM AN AP 1