Tổ 10 HSG khối 12 đồng nai 2018 2019

STRONG TEAM TOÁN VD-VDC – TỔ 10 ĐỀ THI HSG 12 – TỈNH ĐỒNG NAI 2018-2019 SỞ GD &ĐT ĐỒNG NAI ĐỀ THI HSG KHỐI 12 (Đề gồm 01 trang) NĂM HỌC 2018 - 2019 MƠN: TỐN Thời gian: 180 phút Họ tên: SBD: Câu (5 điểm) Cho hàm số y = x3 − ( m + 3) x + 18mx + , m tham số a) Tìm m để hàm số cho đồng biến b) Tìm m để đồ thị hàm số cho có hai điểm cực trị nằm hai phía trục tung ¡ c) Tìm m để giá trị nhỏ hàm số cho đoạn Câu (3,5 điểm) a) Giải phương trình 8.25x − 8.10x − 15.22 x+ = b) Giải phương trình ( + 2sin x ) tan x = ABCD có AB AB = a , BC = 2a Câu (3,5 điểm) Cho tứ diện giác 1) Tính góc hai mặt phẳng 2) Tính theo a [ − 1;0] vng góc với mặt phẳng ( ABC ) ( BCD ) Tam giác BCD tam ( BCD ) khoảng cách hai đường AC BD Câu (3,0 điểm) Trong tiết học mơn Tốn, giáo viên mời ba học sinh sau: Mỗi bạn A , B ,C − 24 chọn ngẫu nhiên số nguyên khác A , B ,C thực trò chơi thuộc khoảng ( − 6;6 ) vào ba tham số hàm số y = ax + bx + c , đồ thị hàm số thu có ba điểm cực trị nằm phía trục hồnh nhận thưởng Tính xác suất để ba học sinh A , B ,C nhận thưởng  x − x y − y − x + = ( 1)  Câu (2,5 điểm) Giải hệ phương trình  x − x − = y − − y ( ) Câu (2,5 điểm) 1) Cho ba số thực dương 2) Chứng minh C3nn a, b, c Tìm giá trị nhỏ chia hết cho với n P= a b c + + 2b + 3c 2c + 3a 2a + 3b nguyên dương ******Hết****** Địa truy cập https://facebook.com/groups/900248096852019?ref=share Trang STRONG TEAM TOÁN VD-VDC – TỔ 10 ĐỀ THI HSG 12 – TỈNH ĐỒNG NAI 2018-2019 LỜI GIẢI CHI TIẾT HSG 12 ĐỒNG NAI 2018-2019 Câu Cho hàm số y = x3 − ( m + 3) x + 18mx + , m tham số a) Tìm m để hàm số cho đồng biến b) Tìm m để đồ thị hàm số cho có hai điểm cực trị nằm hai phía trục tung c) Tìm m để giá trị nhỏ hàm số cho đoạn ¡ [ − 1;0] − 24 Lời giải Tác giả: Nguyễn Thị Oanh; Fb: Oanh Nguyen a) Ta có y′ = x − ( m + 3) x + 18m Hàm số đồng biến ¡ ∆ ′y′ ≤ ⇔ ( m + 3) − 108m ≤ ⇔ m2 − 6m + ≤ ⇔ m = b) Đồ thị hàm số cho có hai điểm cực trị nằm hai phía trục tung nghiệm trái dấu ⇔ x − ( m + 3) x + 18m = m c) Tìm có hai nghiệm trái dấu y′ = có hai ⇔ m< để giá trị nhỏ hàm số cho đoạn [ − 1;0] − 24 x = m y ' = ⇔ x − ( m + 3) x + 18m = ⇔  Ta thấy  x = ∉ [ − 1;0] + Nếu m = hàm số đồng biến ¡ hàm số cho đoạn + Nếu m≠ *)TH1: , nên hàm số đồng biến [ − 1;0] [ − 1;0] , suy giá trị nhỏ y ( − 1) = − 66 ≠ − 24 , nên m = không thỏa mãn x = m y' = ⇔  ,  x = ∉ [ −1;0] y = { y ( ) , y ( − 1) } m ∉ [ − 1;0] , ta tính y ( ) = , y ( − 1) = − − 21m , [ − 1;0] Địa truy cập https://facebook.com/groups/900248096852019?ref=share Trang STRONG TEAM TOÁN VD-VDC – TỔ 10 ĐỀ THI HSG 12 – TỈNH ĐỒNG NAI 2018-2019 Để giá trị nhỏ hàm số cho đoạn  m ∉ [ − 1;0] m ∉ [ −1;0]    y ( − 1) = − 24 ⇔ −3 − 21m = −24  −3 − 21m ≤  y ( − 1) ≤ y ( )  *)TH2: [ − 1;0] − 24 − 24 (do y ( ) = ≠ − 24 ) ⇔ m = m ∈ [ − 1;0] , từ bảng biến thiên hàm số y = { y ( ) , y ( − 1) } Suy [ − 1;0] Để giá trị nhỏ hàm số cho đoạn [ − 1;0]  m ∈ [ − 1;0]   y ( − 1) = − 24 m ∈ [ −1;0] ⇔   m = đó, khơng tồn giá trị  y ( − 1) ≤ y ( ) Vậy Câu m m = a) Giải phương trình 8.25x − 8.10x − 15.22 x+ = b) Giải phương trình ( + 2sin x ) tan x = Lời giải Tác giả: Đỗ Hoàng Tú; Fb: Đỗ Hồng Tú   x  ÷ = 2x x  2 5  5 x x x +1 8.25 − 8.10 − 15.2 = ⇔ 8. ÷ − 8. ÷ − 30 = ⇔  ⇔ x =1  x  2  2    ÷ = − a)    Vậy x = b) Điều kiện x≠ π π + k ( k ∈ ¢) Khi đó, Địa truy cập https://facebook.com/groups/900248096852019?ref=share Trang STRONG TEAM TOÁN VD-VDC – TỔ 10 ĐỀ THI HSG 12 – TỈNH ĐỒNG NAI 2018-2019 ( + 2sin x ) tan x = ⇔ sin x + 2sin x.sin x = cos2 x ⇔ sin x + cos2 x − cos6 x = cos2 x ⇔ sin x = cos6 x π  ⇔ cos  − x ÷ = cos6 x 2  π  − x = x + k 2π ⇔   π − x = −6 x + k 2π  π π  x = + k  ( k ∈ ¢ ) ⇔  16 x = − π + k π  π π  x = + k  16  x = − π + k π Vậy phương trình có hai họ nghiệm  Câu Cho tứ diện đều, ABCD có AB ( k ∈¢) ( k ∈¢) vng góc với mặt phẳng ( BCD ) Tam giác BCD tam giác AB = a , BC = 2a 1) Tính góc hai mặt phẳng 2) Tính theo a ( ABC ) ( BCD ) khoảng cách hai đường AC BD Lời giải Tác giả: Yến Lâm; Fb: Yen Lam 1) Ta có AB ⊥ ( BCD ) mà AB ⊂ ( ABC ) ⇒ ( ABC ) ⊥ ( BCD ) Suy góc hai mặt phẳng 2) Gọi E trung điểm ( ABC ) ( BCD ) 900 BD, dựng hình chữ nhật BFCE Gọi H hình chiếu B AF Ta có Suy BD / / FC ⇒ BD / / ( AFC ) d ( BD, AC ) = d ( BD, ( AFC ) ) = d ( B, ( AFC ) ) Địa truy cập https://facebook.com/groups/900248096852019?ref=share Trang STRONG TEAM TOÁN VD-VDC – TỔ 10 Mặt khác ta có: ĐỀ THI HSG 12 – TỈNH ĐỒNG NAI 2018-2019 BH ⊥ AF ( 1) CF ⊥ BF ⇒ CF ⊥ ( ABF ) ⇒ CF ⊥ BH ( )  CF ⊥ AB Từ (1) (2) suy Vậy BH ⊥ ( ACF ) BH = d ( B, ( ACF ) ) = d ( BD, AC ) Xét tam giác vuông ABF BH AF = AB.BF ⇒ BH = Vậy Câu d ( BD, AC ) = ta có: AB.BF AB.BF AB.CE a.a a = = = = AF AB + BF AB + CE a + 3a a Trong tiết học mơn Tốn, giáo viên mời ba học sinh Mỗi bạn A , B ,C chọn ngẫu nhiên số nguyên khác vào ba tham số hàm số A , B ,C thực trò chơi sau: thuộc khoảng ( − 6;6) y = ax + bx2 + c ; đồ thị hàm số thu có ba điểm cực trị nằm phía trục hồnh nhận thưởng Tính xác suất để ba học sinh nhận thưởng A , B ,C Lời giải Tác giả: Phạm Tiến Long; Fb: Long Pham Tien Số phần tử không gian mẫu : Hàm số có ba điểm cực trị n ( Ω ) = 103 ⇔ ab < x = y ' = 4ax + 2bx = ⇔ x ( 2ax + b ) = ⇔  x = ± − b  Ta có : 2a  b b2   b b2  B  − − ; − + c ÷÷ C  − ; − + c ÷÷ 2a 4a  ,  2a 4a  Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị A ( 0; c ) ,  *)Trường hợp 1: Nếu a< hồnh a <  ⇔ b > ⇔ y >  A A điểm cực tiểu nên đồ thị hàm số có ba điểm cực trị nằm phía trục a <  b > ⇔ c >   a ∈ { − 5; − 4; − 3; − 2; − 1}  b ∈ { 1;2;3;4;5}   c ∈ { 1;2;3;4;5} ⇒ có Địa truy cập https://facebook.com/groups/900248096852019?ref=share 5.5.5 = 125 (cách) Trang STRONG TEAM TOÁN VD-VDC – TỔ 10 ĐỀ THI HSG 12 – TỈNH ĐỒNG NAI 2018-2019 *)Trường hợp 2: Nếu a > B , C hai điểm cực tiểu nên đồ thị hàm số có ba điểm cực trị nằm phía trục hồnh a > b <  ⇔ ⇔ y > B   yC > Suy  a >  b <  b2  4a ∈ { 4;8;12;16;20} Ta có khả sau: b2 c = ⇒ < b = − ⇒ a ∈ { 1;2;3;4;5} ⇒ Với có (cách) 4a , Với Với c =1⇒ b2