STRONG TEAM TOÁN VD-VDC – TỔ 10 ĐỀ THI HSG 12 CHUYÊN – BẢNG A - ĐỒNG NAI 20182019 SỞ GD &ĐT ĐỒNG NAI NĂM HỌC 2018 - 2019 ĐỀ HSG KHỐI 12 CHUN MƠN: TỐN (Đề gồm 01 trang) Thời gian: 180 phút Họ tên: SBD:…………………… Câu (5 điểm) 1) Chứng minh phương trình x x x có nghiệm thực phân biệt 3 x1 , x2 , x3 Tính giá trị biểu thức T x1 x1 x2 x2 x3 x3 3 C , C2 m 2) Cho hai hàm số y x x x 1, y x x mx có đồ thị C C tham số thực Tìm m để cắt điểm phân biệt có tung độ y1 , y2 , y3 thỏa 1 y1 y2 y3 Câu (3 điểm) Cho a, b, c số thực không âm thỏa mãn a b c �abc Chứng minh a b c �abc \ Câu (4 điểm) Cho dãy xn xác định x1 x2 1, xn xn xn21 1 1) Chứng minh số hạng dãy lim 2) Tính xn n 1 số nguyên xn 1 x1 x2 xn O có trực tâm H , K trung điểm BC G Câu (4 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn hình chiếu vng góc H AK Lấy D đối xứng G qua BC I đối xứng C qua D Tia � � phân giác ACB cắt AB F tia phân giác BID cắt BD M , MF cắt AC E O 1) Chứng minh D nằm đường tròn O cắt BC X , XE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác EBM điểm 2) Tiếp tuyến A O thứ hai Y Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác EYD tiếp xúc đường tròn 3 Câu (4 điểm) Cho m, n số tự nhiên thỏa mãn 4m m 12n n , chứng minh m n lập phương số nguyên ******Hết****** Địa truy cập https://facebook.com/groups/900248096852019?ref=share Trang STRONG TEAM TOÁN VD-VDC – TỔ 10 ĐỀ THI HSG 12 CHUYÊN – BẢNG A - ĐỒNG NAI 20182019 LỜI GIẢI CHI TIẾT HSG 12 CHUYÊN - BẢNG A - ĐỒNG NAI 2018-2019 Câu 1) Chứng minh phương trình x x x có nghiệm thực phân biệt x1 , x2 , x3 Tính giá trị biểu thức T x13 x12 x23 x22 x33 x32 3 C , C2 m 2) Cho hai hàm số y x x x 1, y x x mx có đồ thị C C tham số thực Tìm m để cắt điểm phân biệt có tung độ y1 , y2 , y3 thỏa 1 y1 y2 y3 Lời giải f x x3 x x 1) Phương trình cho tương đương x x x Xét hàm số liên tục f 3 f 0, f f 1 0, f 1 f � có nên phương trình có nghiệm x1 � 3;0 x2 � 0;1 , x3 � 1; , Mặt khác, phương trình bậc nên tất nghiệm phương trình cho f x x x1 x x2 x x3 Do phương trình có nghiệm x1 , x2 , x3 nên T x1 x2 x3 6 1 x1 1 x2 1 x3 63 f 1 63.9 Ta có: 2) Giả sử A , B ,C giao điểm hai đồ thị hàm số cho tọa độ A , B ,C thỏa hệ �y x x 3x � �y x x mx Nên thỏa phương trình hệ hệ là: Khi đó, ta có: y m 6 x y1 m x1 , y2 m x2 , y3 m x3 trình hồnh độ giao điểm Theo Vi-et ta có x3 x m x �x1 x2 x2 x3 x3 x1 m � �x1 x2 x3 3 Và từ giả thiết thì: với x1 , x2 , x3 nghiệm phương 1 1 x1 x2 x2 x3 x3 x1 m3 y1 y2 y3 m x1 x2 x3 3 m 6 Từ giải m Thử lại, m phương trình x x x có nghiệm phân biệt theo câu nên m giá trị cần tìm Câu Cho a,b,c số thực không âm thỏa mãn a b c �abc Chứng minh Địa truy cập https://facebook.com/groups/900248096852019?ref=share Trang STRONG TEAM TOÁN VD-VDC – TỔ 10 ĐỀ THI HSG 12 CHUYÊN – BẢNG A - ĐỒNG NAI 20182019 a b c �abc Lời giải Nếu tồn ba số a,b,c điều cần chứng minh Do cần chứng minh cho trường hợp a, b, c 2 2 Giả sử ngược lại a b c abc Khi abc a � a bc Tương tự b ca, c ab 2 Do abc �a b c �ab bc ca a b c (mâu thuẫn) Do ta có đpcm x Câu Cho dãy n xác định x1 x2 1, xn xn xn21 1 1) Chứng minh số hạng dãy lim 2) Tính xn n 1 số nguyên xn 1 x1 x2 xn Lời giải 1) Ta có từ giả thiết xn xn xn21 3. 1 n 1 , xn 1.xn 1 xn2 1 n2 từ suy xn xn xn21 xn2 xn 1.xn 1 , n 2,3, xn xn xn 1 xn 1 xn xn x x xn xn 1 x2 Hay suy xn 1 Từ ta có: xn xn 1 xn , n 1, 2,3, Mà x1 1, x2 nên ta có xn ��, n 1, 2,3, 2) Dãy cho dãy sai phân cấp hai nên có phương trình đặc trưng x x với n n hai nghiệm t1 t2 1 nên có cơng thức tổng quát xn At1 Bt2 Khi đó, x1 x2 xn A lim Từ ta có t1n 1 t n 1 B t1 t2 xn 1 lim x1 x2 xn At1n 1 Bt2n 1 13 t1 n 1 n 1 t 1 t 1 A B t1 t2 O có trực tâm H , K trung điểm BC G Câu (4 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn hình chiếu vng góc H AK Lấy D đối xứng G qua BC I đối xứng C qua D Tia � � phân giác ACB cắt AB F tia phân giác BID cắt BD M , MF cắt AC E O 1) Chứng minh D nằm đường tròn O cắt BC X , XE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác EBM điểm 2) Tiếp tuyến A Địa truy cập https://facebook.com/groups/900248096852019?ref=share Trang STRONG TEAM TOÁN VD-VDC – TỔ 10 ĐỀ THI HSG 12 CHUYÊN – BẢNG A - ĐỒNG NAI 20182019 O thứ hai Y Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác EYD tiếp xúc đường tròn Lời giải AH với H1; H2 chân 1) Do G thuộc đường tròn đường kính AH KH1 , KH tiếp xúc đường cao hạ từ B lên AC , C lên AB 2 Từ ta có đẳng thức KB KC KH1 KG.KA � � � � Từ suy KBG KAB, KCG KAC Kết hợp tính đối xứng, suy ABDC nội tiếp 2) Theo câu 1) ta có ABDC nội tiếp AD đối trung tam giác ABC Hay ta có tứ giác ABDC điều hòa IB CB Điều dẫn đến BDI đồng dạng BAC theo trường hợp cạnh – góc – cạnh Suy ID CA , MB FB IM,CF mà hai đường phân giác nên ta có MD FA hay MF / /AD � � � Do MF / /AD nên BMF BDA BCA , dẫn đến BMCE nội tiếp O Khi đó, lại có tứ giác ABDC điều hòa nên XD tiếp xúc XE XY XA2 XB XC XD Điều suy DEY DEY tiếp xúc O D tiếp xúc XD hay 3 Câu (4 điểm) Cho m, n số tự nhiên thỏa mãn 4m m 12n n , chứng minh m n lập phương số nguyên Địa truy cập https://facebook.com/groups/900248096852019?ref=share Trang STRONG TEAM TOÁN VD-VDC – TỔ 10 ĐỀ THI HSG 12 CHUYÊN – BẢNG A - ĐỒNG NAI 20182019 Lời giải Ta có 4m3 m 12n3 n � m n 4m2 4mn 4n 1 8n3 2 Giả sử p ước nguyên tố chung m n,4m 4mn 4n p số lẻ 4m 4mn 4n lẻ 2 Mà 8n Mp nên suy n Mp hay từ ta có mMp m n Mp Mà 4m 4mn 4n chia hết cho p nên 1Mp , điều vô lý m n , 4m Vậy 4mn 4n3 1 hay suy m n lập phương số nguyên Địa truy cập https://facebook.com/groups/900248096852019?ref=share Trang