Tổ-1 Đ1 HSG 12 Tỉnh Quảng Bình 2019

Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HSG lớp 12 tỉnh Quảng Bình Năm 2019-Tổ ĐỀ HSG 12 TỈNH QUẢNG BÌNH NĂM 2019 MƠN TỐN TIME: 180 PHÚT Câu (2.0 điểm) a Cho hàm số y  � 5� có đồ thị đường cong  C  điểm I � ; � Viết phương trình đường x � 4� thẳng d qua I cắt  C  hai điểm M , N cho I trung điểm MN b Cho hàm số y  x  x  x  m , với m tham số Tìm m để hàm số có cực đại Câu (2.0 điểm) a Giải phương trình sau tập số thực �: x3  x  x  12   x  3  x   x    x   1 b Cho sáu thẻ, thẻ ghi số tập E   1; 2;3; 4;6;8 (các thẻ khác ghi số khác nhau) Rút ngẫu nhiên ba thẻ, tính xác suất để rút ba thẻ ghi ba số số đo ba cạnh tam giác có góc tù t  x sin x  dx Câu (2.0 điểm) Cho tích phân I (t )  � a Tính I (t ) t   b Chứng minh I (t )  I (t )  0, t �� Câu (3.0 điểm) Cho khối tứ diện SABC hai điểm M , N thuộc cạnh SA, SB cho SM SN  ,  Gọi  P  mặt phẳng qua hai điểm M , N song song với đường thẳng MA NB SC a Trong trường hợp SABC tứ diện cạnh a , xác định tính theo a diện tích thiết diện khối tứ diện SABC với mặt phẳng  P  b Trong trường hợp bất kì, mặt phẳng  P  chia tứ diện SABC thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần Câu (1.0 điểm) Chứng minh với số ngun dương n  ta ln có: log n  n  1  log n 1  n    HẾT  Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HSG lớp 12 tỉnh Quảng Bình Năm 2019-Tổ GIẢI CHI TIẾT ĐỀ HSG 12 TỈNH QUẢNG BÌNH NĂM 2019 MƠN TỐN TIME: 180 PHÚT Câu (2.0 điểm) a Cho hàm số y  � 5�  ; � Viết phương trình có đồ thị đường cong  C  điểm I � x � 4� đường thẳng d qua I cắt  C  hai điểm M , N cho I trung điểm MN Lời giải Tác giả:Trần Thị Thúy; Fb: Thúy Minh, Huyen Nguyen Cách 1: � 5�  ; �và có hệ số góc k có phương trình là: + Gọi d qua điểm I � � 4� 12kx  10k  15 � 5� y  k �x  � � y  12 � 6� + Xét phương trình hồnh độ giao điểm  C  d : 12kx  10k  15 �x �0 ��  x 12 �g  x   12kx   10k  15  x  12   * + Đường cong  C  cắt d hai điểm M , N phương trình  * có hai nghiệm phân biệt khác k �0 � � k �0 � � k �0 � 219  84 � � � �� �� 0 ��  10k  15  4.12 k  � ��k  50 �g �0 � � � 219  84 12 �0 �  � �� k 50 ��  1 + Với k thỏa mãn  1 , gọi x1 ; x2 hoành độ hai điểm M , N , với x1 ; x2 hai nghiệm phương trình  * + Theo định lý Vi-et ta có: x1  x2  5  k   12k + I trung điểm MN khi: x1  x2  xI � 5  k     � 2k   4k � k  (thỏa mãn  1 ) 12k Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC + Với k  Đề HSG lớp 12 tỉnh Quảng Bình Năm 2019-Tổ ta có phương trình đường thẳng d là: x  y   Cách 2: � 1� � C  , I trung điểm MN nên ta có: � � m� m; + M� � �5  3m 5m  � �5 N  xI  xM ; yI  yM   �  m;  � � ; � m� � 2m � �3 5 � m �0; m � 5m  � ��  + Vì N � C  suy 2m 5  3m �  5m    5  3m   6m � 5 m  2 � � �m �0; m � � �� � �m  � 3m  5m   � � � 1 � �1 � 2; � ; N � ;3 � + Với m  2 ta có M � � � �3 � + Với m  �1 � � 1 � ; N �2; � ta có M � ;3 � �3 � � � uuuu r �7 � + Đường thẳng d qua hai điểm M , nhận MN  � ; �  2;3 làm vecto phương, hay �3 � r nhận n   3; 2  làm vecto pháp tuyến : � 1�  x    �y  � � x  y   � 2� Vậy phương trình đường thẳng d cần tìm là: x  y   b Cho hàm số y  x  x  2x  m , với m tham số Tìm m để hàm số có cực đại Lời giải Tác giả:Đặng Ân; Fb:Đặng Ân Nguyễn Văn Diệu; Fb Dieupt Nguyên Hàm số y  x  x  2x  m TXĐ: � Trường hợp 1: m �1 � x  x  m �0 với x �� 2 + y  x  x  2x  m  x  x  m , hàm số có đồ thị Parabol nên có cực tiểu, suy m �1 không thỏa mãn Trường hợp 2: m  �x  x  m x � �;1   m ���   m ; � � � � + y  x  x  2x  m  �  x  x  m x �   m ;1   m � �   Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!   Trang Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC  Đề HSG lớp 12 tỉnh Quảng Bình Năm 2019-Tổ    � x  x � �;1   m �   m ; � � � y  + � 2 x  x �   m ;1   m � � 1 +) x   � x  Dễ thấy   m  với m    m  � m  2 3 3 +) 2 x   � x  Dễ thấy   m  với m     m � m  2 +) Với m  , ta có bảng xét dấu y � :  Hàm số đạt cực đại x  +) Với   m  , ta có bảng biến thiên Hàm số khơng có cực đại Dễ thấy m  hàm số cực đại Vậy hàm số có cực đại với m  Câu (2.0 điểm) a Giải phương trình sau tập số thực �: x3  x  x  12   x  3 x   x     x  1 Lời giải Tác giả: Đặng Mai Hương, Ngô Quốc Tuấn, FB: Đặng Mai Hương, Quốc Tuấn  Cách 1: x  x  x  12   x   x   x     �  x   x  3x    x  3 x   x     x   (điều kiện x �3 ) x4 x  1 x40 � � � �2 x  x   x x   15 x  x  3x   � x  1 � � x   Nhan  ��2 �  x  8x  12  x    x  1 � Giải  1 :  x  x  12  x    x Đặt t  x  �0 Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HSG lớp 12 tỉnh Quảng Bình Năm 2019-Tổ Phương trình  1 trở thành: t  2t  2t  3t     (Phân tích phương trình   sau: VT   t  at  b   t  ct  dt  e  Đồng hệ số ) � t  t 1    :  t  t  1  t  t  3  � �3 t  t    vo nghiem t �0  � � 1 t  Nhan  � � � � � 1 t   Loai  � � x 3  1 9 � x  Nhan  2 � 9 5� 4; Vậy tập nghiệm phương trình cho S  � � � � Cách 2: Điều kiện: x �3 Phương trình cho tương đương với:  x    x  3x  3  x  x    x  3 x  x  1 � x   Nhan  � �� x  x    x  3 x  x  3x   � x  1 �  x  4  1 Giải (1): x  3x   x  x    x  3 x  �  x  x  3 x  1  0  x    x  x    x  3 x   �  x   x  8x  12  x     �  x  12 x  46 x  57   x  x  12  x   x     �   x  3  x  x  19    x  x  12  x   x        �   x  3 x   x  x   x    x  x  12  x   x       � x4 x3 �  x  3 x   x    x  x  12  � � � �x 3  x  � � x4 x3 �  � �3  x  x   x � � �   x x   x  �   Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!  2  3 Trang Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HSG lớp 12 tỉnh Quảng Bình Năm 2019-Tổ �x �4 � � 9 � �x �4 9 �� x x   x  � �2 �� �x � �x  x  19  �� 9 �� x �� *Giải (2): *Giải  3 :   x x3  x  �  x  3  x  (vô nghiệm x �3 ) � � 9 5� � 4; Vậy phương trình cho có tập nghiệm S  � � � � Cách 3: Phương trình cho tương đương với:  x    x  3x  3   x  3  x   x 3 � x   Nhan  � � �2 x  3x    x  3 x   x  � �    x4 x  1 x  1  1 Giải (1): x25 x3 x  3x  x   x  x  x    x  3 �  x 3 x  1 x  1  x    5( x  4)    x  3  x   �  x  4 1 x  1 Xét hàm số f  t   f�  t  Suy t  2t   t  1 t  5t  , t �0 t 1  0, t �0 , suy hàm số f  t   t  5t  đồng biến  0; � t 1 � �x �4 x 3  x 4 � � �x    x   �x �4 � � 9 � �x �4 �� x 9 � �2 �� �x � �x  x  19  �� 9 �� x �� � 9 5� 4; Vậy phương trình cho có tập nghiệm S  � � � � b) Cho sáu thẻ, thẻ ghi số tập E   1; 2;3; 4;6;8 (các thẻ khác ghi số khác nhau) Rút ngẫu nhiên ba thẻ, tính xác suất để rút ba thẻ ghi ba số số đo ba cạnh tam giác có góc tù Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TỐN VD VDC Đề HSG lớp 12 tỉnh Quảng Bình Năm 2019-Tổ Lời giải Cách Admin Nguyễn Trung Kiên 3 Lấy ba thẻ từ thẻ có số cách lấy C6 , nên số phần tử không gian mẫu   C6  20 Gọi biến cố A : “rút ba thẻ ghi ba số số đo ba cạnh tam giác có góc tù” Giả sử rút ba số  a; b; c  , với a  b  c , �c , nên c � 4;6;8 � tù a , b , c ba cạnh tam giác ABC , với BC  a , CA  b , AB  c có góc C � a  b2  c2 � a  b2  c cos C  0 � �� � 2ab � � a  b  c  a  b , với c � 4;6;8 � c  a  b � � �c  a  b � +Xét c  có  a; b    2;3  thỏa mãn +Xét c  , a  b  c ,  c  a  b  2b , nên b  a  Suy có  a; b    3;  thỏa mãn +Xét c  , a  b  c ,  c  a  b  2b , nên b  a  a  Suy có hai  a; b    3;6   a; b    4;6  thỏa mãn Suy số phần tử biến cố A  A  Nên xác suất cần tìm p  A    20 t  x sin x  dx Câu (2.0 điểm) Cho tích phân I  t   � a Tính I  t  t   Lời giải Tác giả: Trần Quốc Khang, Hà Lê; Fb: Bi Trần, Ha Le a Khi t   , ta có:  x sin x dx  + I  �    x3 3 x  cos x d x     � x cos x dx   J � 20 20 du  xdx � � u  x2 � x cos x dx Đặt � �� + Với J  � v  sin x dv  cos x dx � � �  du  dx  �   u1  x � � x2 � � 1 x sin x dx   � x sin x dx Đặt � + Ta có J  sin x  � d v  sin x d x v1  cos x � � 0 �    �x � �x 1 �  � J  �  cos x  �cos x dx � � cos x  sin x �  �2 � �2 � 0 � � Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC + Vậy I     Đề HSG lớp 12 tỉnh Quảng Bình Năm 2019-Tổ 3 3  3   J    6 2 b Chứng minh rằng: I  t   I  t   Lời giải Tác giả: Nguyễn Thị Bình; Fb:Nguyễn Bình t ( x sin x) dx Đặt x  u , suy dx  du + Xét I (t )  � Đổi cận: x  � u  ; x  t � u  t t t  x sin x  dx  u sin(u)  du   � Khi đó: I (t )   � 2 t t 0 ( x sin x) dx  � ( x sin x) dx  (đpcm) Vậy I (t )  I (t )  � Nhận xét: Nếu làm trắc nghiệm làm nhanh t ( x sin x) dx  � ( x sin x) dx Do hàm số y  ( x sin x) hàm chẵn nên ta có tính chất: � t t t t 0 0 t ( x sin x) dx  � ( x sin x) dx  � ( x sin x ) dx  � ( x sin x) dx  Khi đó: I (t )  I (t )  � Câu (3.0 điểm) Cho khối tứ diện SABC hai điểm M , N thuộc cạnh SA , SB cho SM SN  ,  Gọi  P  mặt phẳng qua hai điểm M , N song song với đường MA NB thẳng SC a Trong trường hợp SABC tứ diện cạnh a , xác định tính theo a diện tích thiết diện khối tứ diện S ABC với mặt phẳng  P  Lời giải Tác giả: Phạm Thị Phương Thúy, Trần Bạch Mai; Fb: thuypham, Bạch Mai Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HSG lớp 12 tỉnh Quảng Bình Năm 2019-Tổ *) Xác định thiết diện �SC / /  P  � �  P  � SAC   MF  MF / / SC ; F �AC  Ta có: �SC � SAC  � �M � P  � SAC  �SC / /  P  � �  P  � SBC   NE  NE / / SC ; E �BC  Ta có: �SC � SBC  � �N � P  � SBC  � Thiết diện tứ giác MNEF Mặt khác ta có: +) NE / / MF  / / SC  +) SMN  CFE � MN  FE +) NE / / SC � NE BN a   � NE  SC BS 3 +) MF / / SC � MF AM 2a   � MF  SC AS 3 Vậy thiết diện MNEF hình thang cân *) Tính diện tích thiết diện Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HSG lớp 12 tỉnh Quảng Bình Năm 2019-Tổ 2 �  a Xét SMN có MN  SM  SN  2.SM SN cosMSN Kẻ NH  MF , MNEF hình thang cân � MH  MF  NE  a � NH  a 11 6 Vậy diện tích thiết diện là: S MNEF  1 a 2a �a 11 a 11   NE  MF  NH  � � � 2 �3 � 12 b Trong trường hợp bất kì, mặt phẳng  P  chia tứ diện SABC thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần Lời giải Tác giả: Trương Hồng Hà & Vũ Việt Tiến; Fb: Trương Hồng Hà & Vũ Việt Tiến Cách 1: Vì mp  P  qua M , N song song với SC nên:  P  � SAC   MF ,  F �AC , MF / / SC  ;  P  � SBC   NE ,  E �BC , NE / / SC  CF SM CE SN   ;   CA SA CB SB Mặt phẳng  P  chia khối tứ diện SABC thành hai khối: MNEFSC MNEFAB Khi + Gọi VSABC  V , VMNEFSC  V1 , VMNEFAB  V2 + Ta có V1  VMNEFSC  VCSEF  VSFME  VSMNE VCSEF CE CF 2   � VCSEF  V + VCSBA CB CA 9 + VSFME SN    1 VSFAE SA Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 10 Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TỐN VD VDC Đề HSG lớp 12 tỉnh Quảng Bình Năm 2019-Tổ 2 1 d S , AEF   S AEF d  B, AC  AC d  E , AF  FA VSFAE   S AEF    3  + Mà VSABC d S , ABC S d  B, AC  AC d  B, AC  AC    ABC S ABC  V 4 � SFAE  � VSFAE  V   VSABC 9 4 Từ (1) (2) suy VSFME  V  V 27 VSMNE SM SN 2     3 + VSABE SA SB 3 1 d S , ABE   S ABE d  A, BE  BE VSABE   S ABE BE      + Mà VSABC d S , ABC S S ABC BC d  A, BC  BC   ABC   V 1 � SABE  � VSABE  V   VSABC 3 2 Từ (1) (2) suy VSABE  V  V 27 4 + Do V1  VCSEF  VSFME  VSMNE  V  V  V  V � V2  V 27 27 9 V1 V   + Vậy V2 V1 Cách 2: Vì MF / / NE / / SC nên tứ giác MNEF hình thang Gọi I  FE �MN � I �AB Theo định lý Mennelaus, ta có SM AI BN AI IB 1� 4�  + AM BI SN BI IA AB IE FC IE 1�  � E trung điểm FI + IB FE AC FE VIBNE IB IN IE 1 1 15    � V2  VMNEFAB  VIAMF  VIBNE  VIAMF + VIAMF IA IM IF 2 16 VIAMF IA 4   � VIAMF  VBAMF Mặt khác VBAMF BA 3 AM S ABC ;  � VBAMF  VSABC AS 15 4 � V2  VSABC  V � V1  V 16 9 V1 V   + Vậy V2 V1 + S ABF  Câu (1.0 điểm) Chứng minh với số nguyên dương n  ta có: log n  n  1  log n 1  n   Lời giải Tác giả:Hoàng Văn Phiên; Fb:Phiên Văn Hoàng Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang 11 Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HSG lớp 12 tỉnh Quảng Bình Năm 2019-Tổ Cách log n 1  n    log n 1 n.log n 1  n   log n  n  1 + Xét A  + Áp dụng bất đẳng thức AM  GM cho hai số dương log n 1 n log n 1  n   ta được: log n  log n1  n   log n 1 n  n   log n 1 n.log n1  n   � n 1  2 + Mà n  2n  n  2n  nên n  2n   n  1 � log n 1  n  2n  2 log n 1  n  2n  log n 1  n  1  � 1 2 � log n 1 n.log n 1  n    � log n 1  n    � log n 1  n    log n  n  1 log n  n  1 Cách Tác giả:; Fb:Nguyen Trang + Với số nguyên dương n  ta có: ln  n  1 ln  n    log n  n  1  log n 1  n   � ln n ln  n  1 ln  x  1 với x  ln x ln x ln  x  1  x ln x   x  1 ln  x  1 x + Ta có: y �  x 1  2 x  x  1  ln x   ln x  + Xét hàm số y  + Với x  x   x  ; ln  x  1  ln x  � x ln x   x  1 ln  x  1  � y�  0, x  Suy hàm số nghịch biến  1; � + Do với số nguyên dương n  y  n   y  n  1 Vậy log n  n  1  log n 1  n   Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 12