Tổ 6 d2 hsg hà tĩnh

Sản phẩm Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC ĐỀ HỌC SINH GIỎI HÀ TĨNH 2018 -2019 GIẢI CHI TIẾT ĐỀ HỌC SINH GIỎI THPT CẤP TỈNH SỞ GDĐT HÀ TĨNH – NĂM HỌC 2018 – 2019 MƠN TỐN TIME: 180 PHÚT ĐỀ BÀI Câu ( 5.0 điểm) 2 C  1;4  C  a Cho hàm số y  x  3mx  4m  có đồ thị m điểm Có giá trị C  nguyên m để đồ thị hàm số m có hai điểm cực trị A, B cho diện tích tam giác ABC 4? b Có 10 đội tuyển bóng đá quốc gia khu vực Đông Nam Á tham gia thi đấu AFF Suzuki Cup 2018 có đội tuyển Việt Nam đội tuyển Thái Lan, đội chia làm hai bảng, kí hiệu bảng A bảng B, bảng có đội Việc chia bảng thực cách bốc thăm ngẫu nhiên Tính xác suất để hai đội tuyển Việt Nam Thái Lan nằm hai bảng đấu khác Câu ( 5.0 điểm) log 2018 x  log 2019 y  � � � log x  log 2018 y  m m a Tìm giá trị để hệ phương trình sau có nghiệm � 2019 b Cho hàm số y  f ( x ) xác định f ( 3)  8, f (4)  , f (2)  2 � có Biết hàm số y  f '( x ) có đồ thị hình vẽ bên Hỏi đồ thị hàm số y | f ( x )   x  1 | có điểm cực trị? Câu ( 5.0 điểm) B C có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc A� a Cho hình lăng trụ ABC A��� lên mp  ABC  trùng với trọng tâm tam giác ABC Biết khoảng cách hai đường thẳng AA� a BC Tính thể tích khối lăng trụ cho theo a b Một phễu có dạng hình nón chiều cao phễu h Người ta đổ lượng nước vào phễu cho chiều cao lượng nước phễu h1  h ( hình H1 ) Ta bịt kín miệng phễu Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC ĐỀ HỌC SINH GIỎI HÀ TĨNH 2018 -2019 lật ngược phễu lên ( hình H ), gọi chiều cao cột nước phễu hình H k Tính k h Câu ( 5.0 điểm) a Cho đồ thị hàm số bậc ba y  f ( x ) hình vẽ x y  x  3 x  x x� �f ( x )  f ( x ) � � Hỏi đồ thị hàm số nhiêu đường tiệm cận đứng? có bao b Trên sa mạc có khu đất hình chữ nhật ABCD có chiều dài AB  70 km , chiều rộng AD  10 km Vận tốc trung bình xe máy khu đất 20 km/h , riêng cạnh CD vận tốc 40 km/h Một người xe máy xuất phát tư A lúc 8h sáng muốn đến B sau 3h Hỏi người đến B kịp thời gian khơng? Xây dựng phương án di chuyển khu đất tư A đến B để hết thời gian Hết LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu ( 5.0 điểm) 2 C  1;4  C  a Cho hàm số y  x  3mx  4m  có đồ thị m điểm Có giá trị C  nguyên m để đồ thị hàm số m có hai điểm cực trị A, B cho diện tích tam giác ABC 4? Lời giải x0 � y '  3x  6mx  � � x  2m � TXĐ: D  � Ta có: Để đồ thị hàm số có điểm cực trị điều kiện là: m �0 (*) Tọa độ hai điểm cực trị là: A  0;4m   , B  2m;  4m3  4m   Phương trình đường thẳng AB : 2m x  y  4m    2m uuu r d  C ; AB   AB   2m; 4m  � AB  4m  16m6  m  4m  4m ; m  �1 � S ABC  d  C ; AB  AB  6m  2m  � � (tm(*)) m  �2 � Do đó: Vậy có giá trị nguyên m thỏa mãn yêu cầu toán 2 Câu b Có 10 đội tuyển bóng đá quốc gia khu vực Đông Nam Á tham gia thi đấu AFF Suzuki Cup 2018 có đội tuyển Việt Nam đội tuyển Thái Lan, đội chia làm hai bảng, kí hiệu bảng A bảng B, bảng có đội Việc chia bảng thực cách bốc thăm ngẫu nhiên Tính xác suất để hai đội tuyển Việt Nam Thái Lan nằm hai bảng đấu khác Lời giải Số phần tử không gian mẫu n()  C10  252 Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC ĐỀ HỌC SINH GIỎI HÀ TĨNH 2018 -2019 Gọi C biến cố: “Hai đội tuyển Việt Nam Thái Lan nằm hai bảng đấu khác nhau” TH 1: Đội tuyển Việt Nam bảng A, đội tuyển Thái Lan bảng Số cách xếp thỏa mãn C84  70 TH 2: Đội tuyển Việt Nam bảng B, đội tuyển Thái Lan bảngA Số cách xếp thỏa mãn C84  70 Số phần tử biến cố C n(C )  140 Vậy xác suất để hai đội tuyển Việt Nam Thái Lan nằm hai bảng đấu khác n(C) 140 P (C )    n() 252 Câu log 2018 x  log 2019 y  � � � log x  log 2018 y  m a.Tìm giá trị m để hệ phương trình sau có nghiệm � 2019 Lời giải log 2018 x  log 2019 y  (1) � � � � log 2019 x  log 2018 y  m (2) Điều kiện: x; y �1 Đặt t  log 2019 y ; �t �1 log 2018 x   t �x  20181t � � �� � � t t �y  2019 �y  2019 Phương trình (2) Xét � (1  t )log 2019 2018  t log2018 2019  m f  x   (1  t ) log 2019 2018  t log 2018 2019 ;0 �t �1 f�  x   log 2019 2018 (1  t ) f�  x  �  log 2019 2018 (1  t ) log 2018 2019 t  log 2018 2019 t � t.log 2018 2019    t  log 2019 2018 �t Ta có log 2019 2018  t0 log 2018 2019  log 2019 2018 f    log 2019 2018 f  1  log 2018 2019 f  t0   log 2019 2018  log 2018 2019 Yêu cầu toán   log 2019 2018 � ۣ m log 2019 2018 log 2018 2019 Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC ĐỀ HỌC SINH GIỎI HÀ TĨNH 2018 -2019 Câu f ( 3)  8, f (4)  , f (2)  2 Biết hàm số y  f '( x ) có đồ thị hình vẽ bên Hỏi đồ thị hàm số y | f ( x )   x  1 | có điểm cực trị? b Cho hàm số y  f ( x ) xác định � có Lời giải Tác giả: Tô Minh Trường; Fb: Tô Minh Trường Đặt g ( x )  f ( x )   x  1 Nhận xét: Số điểm cực trị hàm số y | g ( x ) | tổng số điểm cực trị hàm số y  g ( x ) số nghiệm phương trình g (x)  khơng trùng với điểm cực trị Ta có g '( x )  f '( x )   x  1  2[ f '( x )   x  1 ] y  f '( x ) y  x  ta được: Tư đồ thị hàm số đường thẳng x  1 � � x 1 g '( x )  � � x2 � � x3 � Bảng biến thiên Ta thấy hàm số y  g ( x ) có điểm cực trị Theo giả thiết Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang Sản phẩm Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC ĐỀ HỌC SINH GIỎI HÀ TĨNH 2018 -2019 f ( 3)  � g ( 3)  f ( 3)  16  f (2)  � g (2)  f (2)   f (4)  � g (4)  f (4)   Tư suy phương trình g ( x )  có nghiệm phân biệt khác điểm cực trị hàm số y  g ( x ) Vậy hàm số y | f ( x )   x  1 | có điểm cực trị Câu B C có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc A� a Cho hình lăng trụ ABC A��� lên mp  ABC  trùng với trọng tâm tam giác ABC Biết khoảng cách hai đường thẳng AA� a BC Tính thể tích khối lăng trụ cho theo a Lời giải Gọi I trung điểm BC Gọi G trọng tâm tam giác ABC Gọi H hình chiếu vng góc I lên AA� I  � BC  IH G; BC  AI nên suy BC   AA� Ta có BC  A� Suy d  AA� , BC   IH  G  h Ta có: Đặt A� a A� G AI  IH AA� � h a a a2 a  h  �h  3 a a a3 VABC A���  h S   BC ABC 12 Vậy Câu Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC ĐỀ HỌC SINH GIỎI HÀ TĨNH 2018 -2019 b Một phễu có dạng hình nón chiều cao phễu h Người ta đổ lượng nước vào phễu h cho chiều cao lượng nước phễu ( hình H1 ) Ta bịt kín miệng phễu lật ngược phễu lên ( hình H ), gọi chiều cao cột nước phễu hình H k Tính k h h1  Lời giải Cho hình chóp hình vẽ bên Đặt SO1  h1 ; SO  h; AO1  r1 ; CO  r SO1 AO1 h r  t�  t h r Ta có SO CO Gọi V1;V2 thể tích khối nón tròn xoay quay SA; SC quanh trục SO1 Ta có � V1   r12 h1 � � V1 �r1 �h1 3 �  � � t � V � r �h � V1   r h � Áp dụng kết ta có : Thể tích phần chứa nước V1 �h1 � �3 � 7  � � � � � V1  V V �h � �2 � 8 V2  V Chiều cao phần phễu không chứa nước Suy thể tích phần khơng chứa nước V2 �h  k � h k �  � 2 h  k  h � k   � Vậy h hình H h  k Ta có V � h � Câu a Cho đồ thị hàm số bậc ba y  f ( x ) hình vẽ Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang Sản phẩm Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC x y  x  3 x  x x� �f ( x )  f ( x ) � � Hỏi đồ thị hàm số ĐỀ HỌC SINH GIỎI HÀ TĨNH 2018 -2019 có đường tiệm cận đứng? Lời giải y x Tác giả:Lê Thị Mai Hoa ; Fb: Mai Hoa  x  3 x  x 2 x� �f ( x )  f ( x ) � � Xét hàm số: Điều kiện để (1) x �1 � x  x � � � x �0 (*) x  x có nghĩa � a �1 � � a �0 Vậy: Nếu x  a đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số (1) thì: � Xét phương trình: 1) x  x   � x  1 �x  3 ( nghiệm tử thức) 2) x  x  � x  �x  1 (là nghiệm tử thức) 3) x  có nghiệm x1  y x Với x �0 , ta có: y  x  3 x  x� �f ( x )  f ( x ) � � Trường hợp có tiệm cận đứng x  x1  x  x  3  x  x � �f ( x )  f ( x ) � � Khi nghiệm x1  (loại) �f  x   f  x  f  x  � � �f  x   4) f  x  x � 1;0  + Xét có nghiệm x2  3 (là nghiệm bội) loại Trường hợp có Với x � , ta có: tiệm cận đứng: x  x2 f  x  + Xét có nghiệm gồm x4 ; x5 ( x3 ; x4 � x4   1; x5  1 ) x6   (loại tử mẫu thức có nghiệm x   ) Trường hợp có hai tiệm cận đứng: x  x4 , x  x5 Vậy đồ thị có tiệm cận đứng gồm: x  x1 , x  x2 , x  x4 , x  x5 Cách khác Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC ĐỀ HỌC SINH GIỎI HÀ TĨNH 2018 -2019 � x0 � x� �f ( x )  f ( x ) � � � �f  x   �f  x   � Xét phương trình Dựa vào đồ thị đề ta có: f  x  x  a � 1;0  Phương trình có nghiệm kép x  nghiệm đơn lim f  x   � f  x f  x     x  3  x  a  Do hàm số bậc x�� Suy f  x  x   1; b; c c  3; b � 3; 1 Phương trình có ba nghiệm phân biệt , với lim f  x   � f  x f  x      x  1  x  b   x  c  Do hàm số bậc x�� Suy x y  x  3 x  x  x  1  x  3 x  x  1 x� �f ( x )  f ( x ) � � x  x  3  x  a   x  1  x  b   x  c   x  1  x  3 x  x  1 lim y  lim  � x �0 x �0 x x  x  a   x  1  x  b   x  c     Khi đó: 2   lim y  lim x � 3  x �  x  1  x  3 x  x  1 x  x  3  x  a   x  1  x  b   x  c  lim y  lim  x  1  x  3 x  x  1 x  x  3  x  a   x  1  x  b   x  c  lim y  lim  x  1  x  3 x  x  1 x  x  3  x  a   x  1  x  b   x  c  x �c x �b x �c x �b lim y  lim x �1 x �1 lim y  lim x �1 x �1  �  �  �  x  1  x  3 x  x  1 x  x  3  x  a   x  1  x  b   x  c  0  x  1  x  3 x  x  1 x  x  3  x  a   x  1  x  b   x  c  y Vậy đồ thị hàm số x  x  3 x  x không tồn 2 x� �f ( x )  f ( x ) � � có đường tiệm cận đứng x  0, x  3, x  b, x  c Câu b Trên sa mạc có khu đất hình chữ nhật ABCD có chiều dài AB  70 km , chiều rộng AD  10 km Vận tốc trung bình xe máy khu đất 20 km/h , riêng cạnh CD vận tốc 40 km/h Một người xe máy xuất phát tư A lúc 8h sáng muốn đến B sau 3h Hỏi người đến B kịp thời gian khơng? Xây dựng phương án di chuyển khu đất tư A đến B để hết thời gian Lời giải Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC ĐỀ HỌC SINH GIỎI HÀ TĨNH 2018 -2019 Cách Trường hợp: xe máy khơng chạy CD, thời gian ngắn tư A đến B chạy 70 t  3,5  h  20 AB suy Trường hợp: xe máy có chạy CD Giả sử xe chạy tư A đến B qua EF 2 Đặt DE  x, FC  y, �x, y �70 � EF  70  ( x  y ); AE  x  100; BF  y  100 Khi thời gian xe chạy là: y  100 70  ( x  y )  � x  102  y  102  x  y  35 � x  100 t   � � 20 � � 20 20 40 � x y � r v r r � � ( x  y )  400   35 � u 20 � �(áp dụng  v �u  v ) Xét h( a )  a  400  h ' (a )  a a  400  a  35 ; �a �70 20 0�a a h�  a 20 – 70 + h  a    Dựa vào BBT tmin �20 � 30 h( a )  h � � �3� 35 t 72 (h) � xy 10 � �� 20 � x  y  x y a � � Tư trường hợp ta kết luận: Sau 3h xe chạy tư A đến B được, với thời gian 10 72 DE  CF  t (h ) chạy ngắn Cách KN1: Để từ A đến B di chuyển đoạn Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC ĐỀ HỌC SINH GIỎI HÀ TĨNH 2018 -2019 AB hết số S 70 t   3,5 V 20 ( giờ), trường hợp đến B kịp thời gian sau yêu cầu tốn Vì vận tốc khu đất ( trư cạnh CD) 20km/h, theo AB khơng kịp thời gian đường khác mà khơng CD khơng kịp thời gian Do ta xét khả B A D F E KN2: Để từ A đến B có cạnh CD Giả sử tư A đến E, tư E đến F tư F đến B (như hình vẽ) Đặt DE  a , FC  b Khi thời gian để di chuyển tư A đến B t 100  a 100  b2 70  ( a  b)   20 20 40 a  b2  c  d � ( a  c)  (b  d )2 Áp dụng bđt (10  10)  ( a  b) 400  ( a  b) 100  a 100  b2  �  20 20 20 20 Ta có , dấu “=” xảy a  b Vậy t 400  ( a  b)2 70  ( a  b) 100  a 100  b 70  (a  b)   �  20 20 40 20 40 Đặt a  b  x,(0 �x �70) 400  x 70  x  20 40 , �x �70 Xét x f '( x )   ,0 �x �70 40 20 400  x f ( x)  f '( x )  � 400  x  x � x  20 3 BBT x f’(x ) – f(x) 20 3 70 + 37 37 Vậy GTNN f(x) Cách 3: t � x y x y � � � 2  35 �� � ( x  y )  400   35 � � x  10  y  10  20 � 20 � � � Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 10 C Sản phẩm Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC ĐỀ HỌC SINH GIỎI HÀ TĨNH 2018 -2019 a �20 �  5a 2 A  a  400  ; f �  � a � 70 � A   400  a a  400 � � � 4 Xét a a  400  Ta có:  a a� 400 � 1 �4a  a  400 � 5a  400 � 2a a  400 � � � 2� � 5a 100 A2 300 A 10 t  10 35 20 Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!  72 Trang 11