Tổ 19 đ2 đề HSG hà TĨNH 11 năm 2018 2019

Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HỌC SINH GIỎI TOÁN 11 NGHỆ AN NĂM 2019 GIẢI CHI TIẾT HỌC SINH GIỎI LỚP 11-NGHỆ AN NĂM HỌC 2018-2019 MƠN TỐN TIME: 180 PHÚT ĐỀ BÀI Câu a Cho phương trình  sinx  cosx   sin2x  3  sin2x  cos2x +1  2sinx  Hỏi phương trình có nghiệm thuộc khoảng  2018 ; 2019  ? b.Tùy theo giá trị tham số m , tính giới hạn lim  x �� x  x   x  x   mx  Câu 2 a Cho n số nguyên dương thỏa mãn Cn ; Cn ; Cn số hạng thứ nhất, thứ thứ 15 cấp số cộng Chứng minh rằng:  �   C22nn1   C4263 b Cho lưới vng hình vẽ, có kiến di chuyển từ điểm A đến điểm B cách di chuyển cạnh để qua điểm nút lưới (điểm nút đỉnh hình vng nhỏ), bước di chuyển xuống di chuyển sang phải để đến điểm nút gần Biết đến điểm C kiến bị ăn thị Gỉa sử kiến di chuyển cách ngẫu nhiên khơng biết C gặp nguy hiểm Tính xác suất để kiến đến điểm B C  C  C  2 n 1 2 n 1 n 1 Câu Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy hình chữ nhật tâm O , cạnh AB  a, AD  2a Gọi M , N trung điểm cạnh SA, BC Biết  ABCD  SA  SB  SC  SD góc đường thẳng MN mặt phẳng � 60 a Tính diện tích tam giác SBM theo a  SBD  b Tính sin góc đường thẳng MN mặt phẳng Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Câu Đề HỌC SINH GIỎI TOÁN 11 NGHỆ AN NĂM 2019  un  a Cho dãy số u1  � � 2un � u  , n �1, n �� �n 1 u   n thỏa mãn � 2 2 S Đặt S n  u1  u2  u3   un Chứng minh dãy  n  có giới hạn hữu hạn tính giới hạn b Cho tam giác ABC Tìm giá trị lớn biểu thức P  sin A  sin B  12 sin C Hết HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT huunv92@gmail.com; Câu (5.0 điểm)  sinx  cosx   sin2x  3  sin2x  cos2x +1 2sinx  a Cho phương trình Hỏi phương trình có nghiệm thuộc khoảng b Tùy theo giá trị tham số m , tính giới hạn lim  x �� x  x   x  x   mx 0  2018 ; 2019  ?  Lời giải Tác giả: Nguyễn Văn Hữu ; Fb: Nguyễn Văn Hữu  sinx  cosx   sin2x  3  sin2x  cos2x +1 a 2sinx  Xét phương trình: 2sinx  �۹�� sin x 2 �  x �  k 2 � � (k , l � �x �3  l 2 � 0  1a  �) Điều kiện:  1a  trở thành: (sin x  cos x)(sin x  3)  sin x  cos x   Khi � (sin x  cos x)(sin x  3)  2sin x � cos x  2sin x  � (sin x  cos x)(sin x  3)  2sin x(sin x  cos x)  � (sin x  cos x)(sin x  2sin x  3)   � sin x  cos x   2a  �� sin x  2sin x    3a  � �   2a  � sin � �x  � � x   k � 4� Phương trình Dựa vào điều kiện x  5  k 2 (k ��) đầu ta được:  3a  � sin x  sin x  Phương trình Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HỌC SINH GIỎI TOÁN 11 NGHỆ AN NĂM 2019 Vì 1 �sin2x �1 2 �sinx �2 nên 3 �sin x  2sin x �3 Dấu “  ” xảy  � �  x   k 2 x   k � � � � � � � x �� � � sin x  �   �x   l 2 �x   l 2 sin x  2sin x  � � � � 2 �sin x  x Vậy Mà 5  k 2 (k ��) x �( 2018 ; 2019 ) � 2018  5  k 2  2019 � 2018   2k  2019 4 k � 1009, 1008, �,1008 Do k �� nên suy ta có 2018 nghiệm b Tính lim  x �� x  x   x  x   mx lim   x3  x   x  x   3x  Nếu m  3  lim �3 x  x   x  x  x   x � � x ��� 2 � � 3 x  x   x x  x    2x  � �  lim �  � x �� 3 3 2 x2  x   x � � x  2x 1  x �x  2x 1  x � � � � � x3  x   x3 4x2  2x   4x2 �  lim �  � x � � 3 3 2 x �4    x � � x  2x 1  x �x  2x   x x x � � � � x2  x 2 x x �  lim  x ��� �   1 �   1�  x  x   �x �3  � � x x x x x � � �     x ��                   lim   x  x   x  x   mx Nếu m  3  lim �3 x  x   x  x ���  � x ��    lim         x  x   x  (m  3) x � � x  x   x  x   mx Nếu m  3 x ��  lim �3 x3  x   x  x ���  �  � � � � � �   x  x   x  (m  3) x � � Conghanh.tn.1995@gmail.com Câu Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HỌC SINH GIỎI TOÁN 11 NGHỆ AN NĂM 2019 a Cho n số nguyên dương thỏa mãn Cn ; Cn ; Cn số hạng thứ nhất, thứ thứ 15 cấp số cộng Chứng minh rằng:  �   C22nn1   C4263 b Cho lưới vng hình vẽ, có kiến di chuyển từ điểm A đến điểm B cách di chuyển cạnh để qua điểm nút lưới (điểm nút đỉnh hình vng nhỏ), bước di chuyển xuống di chuyển sang phải để đến điểm nút gần Biết đến điểm C kiến bị ăn thị Gỉa sử kiến di chuyển cách ngẫu nhiên khơng biết C gặp nguy hiểm Tính xác suất để kiến đến điểm B  C  C  C  2 n 1 2 n 1 n 1 Lời giải Tác giả: Nguyễn Công Hạnh, Fb: Nguyễn Công Hạnh Cn2  Cn1 Cn3  Cn1 �  14 a Theo giả thiết ta có Cn  Cn  4d ; Cn  Cn  14d �  Cn2  Cn1    Cn3  Cn1  � 2Cn3  7Cn2  5Cn1  � n(n  1)(n  2) n(n  1) 7  5n  n  11 � � � � n  (L) � � 2n  27 n  55  Với n  11 , thử lại thỏa mãn cấp số cộng Ta cần chứng minh C  C  C  23 2 23    C2322   C4623 C  C  C  n Ta chứng minh tổng quát Xét khai triển 23 2 n n    Cnn 1   C2nn với n lẻ (1  x) n  (1  x) n ( x  1) n   Cn0  Cn1 x  �  Cnn x n   Cn0 x n  Cn1 x n 1  �  Cnn  n Đồng hệ số x đẳng thức ta có C  C  C  C  n n 2 n n �   Cnn   C2nn n 1 Do n lẻ Nên n 1 Cn0  Cnn ; Cn1  Cnn 1 ; ; Cn  Cn C  C  C  C  n (1) n Thay vào (1) ta có 2 n n C  C  C  n  �   Cnn    Cn0    Cn2    Cn4   �   Cnn 1  2 n n 2 2   �   Cnn 1   C2nn (đpcm) Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HỌC SINH GIỎI TOÁN 11 NGHỆ AN NĂM 2019 b Kiến muốn đến B bắt buộc phải qua D Gọi m số cách từ A đến D Gọi n số cách từ D đến B Gọi k số cách từ D đến B mà khơng qua C Ta có số cách từ A đến B m.n ; số cách từ A đến B mà không qua C mk Ta có xác suất mà kiến đến B p mk k  mn n Các cách từ D đến B mà có qua C : DCEFB; DCIFB; DCIKB; suy số cách từ D đến B mà có qua C Vì tính đối xứng lưới ô vuông 2x2 nên số cách từ D đến B mà không qua C Suy k  3, n  Do p k  n Tientuan194@gmail.com Câu Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy hình chữ nhật tâm O , cạnh AB  a, AD  2a Gọi M , N trung điểm cạnh SA, BC Biết  ABCD  SA  SB  SC  SD góc đường thẳng MN mặt phẳng � 60 a Tính diện tích tam giác SBM theo a  SBD  b Tính sin góc đường thẳng MN mặt phẳng Lời giải Tác giả: Đỗ Tiến Tuấn ; Fb: Đỗ Tiến Tuấn SO   ABCD  a Vì SA  SC nên SO  AC Vì SB  SD nên SO  BD Do MH  AC  H �AC  � MH // SO � MH   ABCD  Trong tam giác SAC , � � Theo giả thiết MNH  60 Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Kẻ HQ //AB Ta có HQ  Đề HỌC SINH GIỎI TOÁN 11 NGHỆ AN NĂM 2019 a a ; QN  2 �3a � �a � 13a a 13 NH  HQ  QN  � � � � NH  �4 � �2 � 16 Suy MH  NH tan 60� Do Ta có S SMB  Suy a 39 a 39 SO  MH  suy 1 39a a 43 SSAB  SK AB; SK  SO  KO   a2  4 SSMB  a 43 SK AB  b Gọi P trung điểm SD , ta có tứ giác MPCN hình bình hành suy MN //CP  SBD  , ta thấy  Gọi  góc đường thẳng MN mặt phẳng  SBD  ` góc đường thẳng CP mặt phẳng Kẻ � CI  BD � CI   SBD  �   CPI Tam giác BCD vuông C có CI đường cao, suy Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HỌC SINH GIỎI TOÁN 11 NGHỆ AN NĂM 2019 1 1 2a      � CI  2 CI CB CD 4a a 4a a 13 CP  MN  NH  Ta có sin   CI  CP 65 dangngocsangthd@gmail.com u1  � � 2un � un 1  , n �1, n �� � u   n thỏa mãn � Đặt  un  Câu 4a Cho dãy số S n  u12  u2  u32   un Chứng minh dãy  S n  có giới hạn hữu hạn tính giới hạn Lời giải Tác giả: Đặng Ngọc Sáng ; Fb: dang ngoc sang Bằng quy nạp ta dễ dàng chứng minh un  0, n �� 2un  5un   un 1  Ta có:   � 5u 5un   25u n1  20un1   20un  � u n 1  Do đó: Thật vậy: uk 1  Vì   u1  un    un 5  un  dãy giảm u2     u 1 5uk    Sn  Giả sử uk  uk 1 Ta chứng minh uk 1  uk  uk    un  dãy giảm mà Do dãy   5un   un  un1  S n  u12  u2  u32   un  u12  Chứng minh n 1  � 5uk 1   uk 1  uk  un  0, n �� nên tồn lim un  l ( l �0 l hữu hạn) có giới hạn hữu hạn Lấy giới hạn vế đẳng thức 5un 1   5un  ta có: 5l   5l  � l  Vậy lim Sn  Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HỌC SINH GIỎI TOÁN 11 NGHỆ AN NĂM 2019 b Cho tam giác ABC Tìm giá trị lớn biểu thức P  sin A  sin B  12 sin C Lời giải Tác giả: Đặng Ngọc Sáng ; Fb: dang ngoc sang Ta có:  sin A  sin B  �2  sin A  sin B   4sin A B A B C A B C cos  cos cos �4 cos 2 2 C C P cos � sin A  sin B �2 cos  � 2 24 sin C � C 2� cos � � � sin C � � � Ta lại có: 2 � C � � 2C � 3 3� 1� cos  sin C � cos  sin C �  cos C    cos C    � cos C  �� � � ��2 � 2� 3� � � 2 � � � cos C  sin C �2 2 P Vậy giá trị lớn biểu thức P �A  B � � C  arccos � � 24 24 3 Dấu "  " xảy khi: -Hết Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Mã đề X