Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HỌC SINH GIỎI TOÁN 11 NGHỆ AN NĂM 2019 GIẢI CHI TIẾT HỌC SINH GIỎI LỚP 11-NGHỆ AN NĂM HỌC 2018-2019 MƠN TỐN TIME: 180 PHÚT ĐỀ BÀI Câu a Cho phương trình sinx cosx sin2x 3 sin2x cos2x +1 2sinx Hỏi phương trình có nghiệm thuộc khoảng 2018 ; 2019 ? b.Tùy theo giá trị tham số m , tính giới hạn lim x �� x x x x mx Câu 2 a Cho n số nguyên dương thỏa mãn Cn ; Cn ; Cn số hạng thứ nhất, thứ thứ 15 cấp số cộng Chứng minh rằng: � C22nn1 C4263 b Cho lưới vng hình vẽ, có kiến di chuyển từ điểm A đến điểm B cách di chuyển cạnh để qua điểm nút lưới (điểm nút đỉnh hình vng nhỏ), bước di chuyển xuống di chuyển sang phải để đến điểm nút gần Biết đến điểm C kiến bị ăn thị Gỉa sử kiến di chuyển cách ngẫu nhiên khơng biết C gặp nguy hiểm Tính xác suất để kiến đến điểm B C C C 2 n 1 2 n 1 n 1 Câu Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy hình chữ nhật tâm O , cạnh AB a, AD 2a Gọi M , N trung điểm cạnh SA, BC Biết ABCD SA SB SC SD góc đường thẳng MN mặt phẳng � 60 a Tính diện tích tam giác SBM theo a SBD b Tính sin góc đường thẳng MN mặt phẳng Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Câu Đề HỌC SINH GIỎI TOÁN 11 NGHỆ AN NĂM 2019 un a Cho dãy số u1 � � 2un � u , n �1, n �� �n 1 u n thỏa mãn � 2 2 S Đặt S n u1 u2 u3 un Chứng minh dãy n có giới hạn hữu hạn tính giới hạn b Cho tam giác ABC Tìm giá trị lớn biểu thức P sin A sin B 12 sin C Hết HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT huunv92@gmail.com; Câu (5.0 điểm) sinx cosx sin2x 3 sin2x cos2x +1 2sinx a Cho phương trình Hỏi phương trình có nghiệm thuộc khoảng b Tùy theo giá trị tham số m , tính giới hạn lim x �� x x x x mx 0 2018 ; 2019 ? Lời giải Tác giả: Nguyễn Văn Hữu ; Fb: Nguyễn Văn Hữu sinx cosx sin2x 3 sin2x cos2x +1 a 2sinx Xét phương trình: 2sinx �۹�� sin x 2 � x � k 2 � � (k , l � �x �3 l 2 � 0 1a �) Điều kiện: 1a trở thành: (sin x cos x)(sin x 3) sin x cos x Khi � (sin x cos x)(sin x 3) 2sin x � cos x 2sin x � (sin x cos x)(sin x 3) 2sin x(sin x cos x) � (sin x cos x)(sin x 2sin x 3) � sin x cos x 2a �� sin x 2sin x 3a � � 2a � sin � �x � � x k � 4� Phương trình Dựa vào điều kiện x 5 k 2 (k ��) đầu ta được: 3a � sin x sin x Phương trình Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HỌC SINH GIỎI TOÁN 11 NGHỆ AN NĂM 2019 Vì 1 �sin2x �1 2 �sinx �2 nên 3 �sin x 2sin x �3 Dấu “ ” xảy � � x k 2 x k � � � � � � � x �� � � sin x � �x l 2 �x l 2 sin x 2sin x � � � � 2 �sin x x Vậy Mà 5 k 2 (k ��) x �( 2018 ; 2019 ) � 2018 5 k 2 2019 � 2018 2k 2019 4 k � 1009, 1008, �,1008 Do k �� nên suy ta có 2018 nghiệm b Tính lim x �� x x x x mx lim x3 x x x 3x Nếu m 3 lim �3 x x x x x x � � x ��� 2 � � 3 x x x x x 2x � � lim � � x �� 3 3 2 x2 x x � � x 2x 1 x �x 2x 1 x � � � � � x3 x x3 4x2 2x 4x2 � lim � � x � � 3 3 2 x �4 x � � x 2x 1 x �x 2x x x x � � � � x2 x 2 x x � lim x ��� � 1 � 1� x x �x �3 � � x x x x x � � � x �� lim x x x x mx Nếu m 3 lim �3 x x x x ��� � x �� lim x x x (m 3) x � � x x x x mx Nếu m 3 x �� lim �3 x3 x x x ��� � � � � � � � x x x (m 3) x � � Conghanh.tn.1995@gmail.com Câu Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HỌC SINH GIỎI TOÁN 11 NGHỆ AN NĂM 2019 a Cho n số nguyên dương thỏa mãn Cn ; Cn ; Cn số hạng thứ nhất, thứ thứ 15 cấp số cộng Chứng minh rằng: � C22nn1 C4263 b Cho lưới vng hình vẽ, có kiến di chuyển từ điểm A đến điểm B cách di chuyển cạnh để qua điểm nút lưới (điểm nút đỉnh hình vng nhỏ), bước di chuyển xuống di chuyển sang phải để đến điểm nút gần Biết đến điểm C kiến bị ăn thị Gỉa sử kiến di chuyển cách ngẫu nhiên khơng biết C gặp nguy hiểm Tính xác suất để kiến đến điểm B C C C 2 n 1 2 n 1 n 1 Lời giải Tác giả: Nguyễn Công Hạnh, Fb: Nguyễn Công Hạnh Cn2 Cn1 Cn3 Cn1 � 14 a Theo giả thiết ta có Cn Cn 4d ; Cn Cn 14d � Cn2 Cn1 Cn3 Cn1 � 2Cn3 7Cn2 5Cn1 � n(n 1)(n 2) n(n 1) 7 5n n 11 � � � � n (L) � � 2n 27 n 55 Với n 11 , thử lại thỏa mãn cấp số cộng Ta cần chứng minh C C C 23 2 23 C2322 C4623 C C C n Ta chứng minh tổng quát Xét khai triển 23 2 n n Cnn 1 C2nn với n lẻ (1 x) n (1 x) n ( x 1) n Cn0 Cn1 x � Cnn x n Cn0 x n Cn1 x n 1 � Cnn n Đồng hệ số x đẳng thức ta có C C C C n n 2 n n � Cnn C2nn n 1 Do n lẻ Nên n 1 Cn0 Cnn ; Cn1 Cnn 1 ; ; Cn Cn C C C C n (1) n Thay vào (1) ta có 2 n n C C C n � Cnn Cn0 Cn2 Cn4 � Cnn 1 2 n n 2 2 � Cnn 1 C2nn (đpcm) Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HỌC SINH GIỎI TOÁN 11 NGHỆ AN NĂM 2019 b Kiến muốn đến B bắt buộc phải qua D Gọi m số cách từ A đến D Gọi n số cách từ D đến B Gọi k số cách từ D đến B mà khơng qua C Ta có số cách từ A đến B m.n ; số cách từ A đến B mà không qua C mk Ta có xác suất mà kiến đến B p mk k mn n Các cách từ D đến B mà có qua C : DCEFB; DCIFB; DCIKB; suy số cách từ D đến B mà có qua C Vì tính đối xứng lưới ô vuông 2x2 nên số cách từ D đến B mà không qua C Suy k 3, n Do p k n Tientuan194@gmail.com Câu Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy hình chữ nhật tâm O , cạnh AB a, AD 2a Gọi M , N trung điểm cạnh SA, BC Biết ABCD SA SB SC SD góc đường thẳng MN mặt phẳng � 60 a Tính diện tích tam giác SBM theo a SBD b Tính sin góc đường thẳng MN mặt phẳng Lời giải Tác giả: Đỗ Tiến Tuấn ; Fb: Đỗ Tiến Tuấn SO ABCD a Vì SA SC nên SO AC Vì SB SD nên SO BD Do MH AC H �AC � MH // SO � MH ABCD Trong tam giác SAC , � � Theo giả thiết MNH 60 Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Kẻ HQ //AB Ta có HQ Đề HỌC SINH GIỎI TOÁN 11 NGHỆ AN NĂM 2019 a a ; QN 2 �3a � �a � 13a a 13 NH HQ QN � � � � NH �4 � �2 � 16 Suy MH NH tan 60� Do Ta có S SMB Suy a 39 a 39 SO MH suy 1 39a a 43 SSAB SK AB; SK SO KO a2 4 SSMB a 43 SK AB b Gọi P trung điểm SD , ta có tứ giác MPCN hình bình hành suy MN //CP SBD , ta thấy Gọi góc đường thẳng MN mặt phẳng SBD ` góc đường thẳng CP mặt phẳng Kẻ � CI BD � CI SBD � CPI Tam giác BCD vuông C có CI đường cao, suy Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HỌC SINH GIỎI TOÁN 11 NGHỆ AN NĂM 2019 1 1 2a � CI 2 CI CB CD 4a a 4a a 13 CP MN NH Ta có sin CI CP 65 dangngocsangthd@gmail.com u1 � � 2un � un 1 , n �1, n �� � u n thỏa mãn � Đặt un Câu 4a Cho dãy số S n u12 u2 u32 un Chứng minh dãy S n có giới hạn hữu hạn tính giới hạn Lời giải Tác giả: Đặng Ngọc Sáng ; Fb: dang ngoc sang Bằng quy nạp ta dễ dàng chứng minh un 0, n �� 2un 5un un 1 Ta có: � 5u 5un 25u n1 20un1 20un � u n 1 Do đó: Thật vậy: uk 1 Vì u1 un un 5 un dãy giảm u2 u 1 5uk Sn Giả sử uk uk 1 Ta chứng minh uk 1 uk uk un dãy giảm mà Do dãy 5un un un1 S n u12 u2 u32 un u12 Chứng minh n 1 � 5uk 1 uk 1 uk un 0, n �� nên tồn lim un l ( l �0 l hữu hạn) có giới hạn hữu hạn Lấy giới hạn vế đẳng thức 5un 1 5un ta có: 5l 5l � l Vậy lim Sn Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HỌC SINH GIỎI TOÁN 11 NGHỆ AN NĂM 2019 b Cho tam giác ABC Tìm giá trị lớn biểu thức P sin A sin B 12 sin C Lời giải Tác giả: Đặng Ngọc Sáng ; Fb: dang ngoc sang Ta có: sin A sin B �2 sin A sin B 4sin A B A B C A B C cos cos cos �4 cos 2 2 C C P cos � sin A sin B �2 cos � 2 24 sin C � C 2� cos � � � sin C � � � Ta lại có: 2 � C � � 2C � 3 3� 1� cos sin C � cos sin C � cos C cos C � cos C �� � � ��2 � 2� 3� � � 2 � � � cos C sin C �2 2 P Vậy giá trị lớn biểu thức P �A B � � C arccos � � 24 24 3 Dấu " " xảy khi: -Hết Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Mã đề X