Đề KSCL đội tuyển HSG môn Toán 11 năm 2018-2019 có đáp án - Trường THPT Yên Lạc 2

Đề KSCL đội tuyển HSG môn Toán 11 năm 2018-2019 có đáp án - Trường THPT Yên Lạc 2 là tài liệu hữu ích giúp các em ôn tập cũng như hệ thống kiến thức môn học, giúp các em tự tin đạt điểm số cao trong kì thi chọn HSG sắp tới. Mời các em cùng tham khảo đề thi.

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT YÊN LẠC ĐỀ KSCL ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI KHỐI 11 MƠN: TỐN – NĂM HỌC 2018-2019 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề Đề thi gồm: 01 trang Câu (2,0 điểm) cos x sin x cos x sin x cos x )(sin x cos x ) a) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số: y b) Giải phương trình: cos 2x (1 Câu (1,0 điểm) Cho tam giác ABC có BC a, a, AB c, AC b Biết góc BAC 900 b, c theo thứ tự tạo thành cấp số nhân Tính số đo góc B, C Câu (1,0 điểm) Cho n số nguyên dương Gọi a 3n 2)n Tìm n cho a3n 1)n (x thành đa thức (x hệ số x 3n khai triển 26n Câu (1,0 điểm) Cho chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; Từ chữ số lập số tự nhiên có chữ số đôi khác cho tổng chữ số đầu tổng chữ số cuối Câu (1,0 điểm) Cho dãy số (un ) thỏa mãn: u1 2019 un n 1 Tìm cơng thức số hạng 2019n unn tổng quát tính lim un Câu (2,0 điểm) Cho hình chóp AD 2a, AB BC CD hai điểm thỏa mãn 3MB S ABCD ABCD hình thang có 600 , SA vng góc với đáy SA a, BAD MS có đáy 0, 4IS 3ID a M I Mặt phẳng (AMI ) cắt SC N a) Chứng minh đường thẳng SD vng góc với mặt phẳng (AMI ) b) Chứng minh ANI 900 ; AMI 900 c) Tính diện tích thiết diện tạo mặt phẳng (AMI ) hình chóp S ABCD Câu (1,0 điểm) Cho tứ diện ABCD , gọi G trọng tâm tam giác BCD,G ' trung điểm AG Một mặt phẳng ( ) qua G ' cắt cạnh AB, AC , AD B ', C ', D ' Tính AB AB ' AC AC ' AD AD ' Câu (1,0 điểm) Cho n số a1, a2, a3, , an (1 a1 a2 a3 [0;1] Chứng minh rằng: an )2 4(a12 a 22 a 32 an ) -Hết Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh:…………………….……… …….…….….….; Số báo danh…………………… SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT YÊN LẠC ĐÁP ÁN KSCL ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI KHỐI 11 MƠN: TỐN – NĂM HỌC 2018-2019 Đáp án gồm: 05 trang I LƯU Ý CHUNG: - Hướng dẫn chấm trình bày cách giải với ý phải có Khi chấm học sinh làm theo cách khác đủ ý cho điểm tối đa - Điểm tồn tính đến 0,25 khơng làm tròn - Với hình học thí sinh khơng vẽ hình phần khơng cho điểm tương ứng với phần II ĐÁP ÁN: Câu Nội dung trình bày Điể m (2,0 điểm) a.(1,0 điểm) cos x sin x Gọi y giá trị hàm số y Khi phương trình cos x sin x cos x sin x phải có nghiệm y0 0,5 cos x sin x Ta có phương trình cos x sin x y0 (y0 2)sin x (1 2y0 )cos x 4y (1) cos x sin x Phương trình (1) có nghiệm khi: 0,25 (y0 2)2 (1 2y0 )2 (4y0 3)2 11y02 24y0 yo 11 0,25 Vậy max y 2, y 11 b.(1,0 điểm) (cos2 x sin2 x ) (1 cos x )(sin x cos x ) Phương trình (cos x sin x )(cos x sin x ) (cos x sin x )(sin x cos x cos x sin x sin x cos x (1 1) cos x )(sin x cos x ) 0 0,5 k 0,25 +) Với cos x sin x +) Với sin x cos x tan x sin(x x 4 ) Vậy phương trình có họ nghiệm (1,0 điểm) Ta có: b ac Do tam giác ABC vng ta có x k2 ; x k2 0,25 0,25 a sinA b sin B 2 a sin B Suy 900, B Vậy A c sin C b a sin B; c a cos B 0,25 (1,0 điểm) Theo công thức khai triển nhị thức Newton ta có: (x n n 1) (x 2) n k n 2k Số hạng chứa x 2k i 3n k, i n 3n i n i C x2 i n k n 2k 2n iC ni x i ) C x )( ) ( k i (k, i) {(n, n a3n 3);(n C nn 23.C nn 1, n 1)} C nn 1.21.C nn 0,5 1 8C n3 2n n(n 1)(n 2) 26n 2n 26n Theo giả thiết ta có: 8C n 2n 2n 3n 35 n Vậy n thỏa mãn yêu cầu toán (1,0 điểm) Do 28 , nên để tổng chữ số đầu tổng chữ số cuối nhau, điều kiện tổng 14 -Ta lập số có tổng 14 có chữ số là: (0;1;6;7); (0;2;5;7);(0; 3; 4;7);(0; 3;5;6) Với có số ứng khơng có số có tổng 14 -TH1: Bộ có số đứng trước: Có có chữ số 0, ứng với có: +) Xếp chữ số đầu có 3.3! cách +) Xếp chữ số cuối có 4! cách Áp dụng qui tắc nhân có 4.3.3!.4!=1728 số -TH2: Bộ có số đứng sau: Có có chữ số 0, có +) Xếp khơng có chữ số trước có 4! cách +) Xếp có chữ số sau có 4! cách Áp dụng qui tắc nhân có 4.4!.4!=2304 số Vậy có 1728+2304=4032 số thỏa mãn yêu cầu toán (1,0 điểm) 1 unn 11 unn Ta có unn 11 unn n 2019 2019n u22 u11 20191 u 33 u22 Do đó: 20192 unn unn 1 0,25 tương ứng với cặp (k, i ) thỏa mãn: Do hệ số x 3n n i n C x )( ( k 0,5 300 n a cos B 600 B 600, C a sin C 2019n 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 n n 20191 1 Suy ra: u u n Vậy un 2019 20192 n ( ) 2019 2018 1 2019n 1 n ( ) 2019 2018 Ta có a) n un 2019 n ( ) 2019 2018 n n 2020 1.1 1.2020 1 2020 n 0,25 2019 ( Côsi cho n số số 2020) n 2019 ) Vậy lim un Mặt khác lim(1 n (2,0 điểm) 0,75 Đặt AB BC a, AD b, a Ta có: SD b, AS a, b b Suy ra: SD.AI c, AI c Ta có 2a, c b 0, SD.AM a 3, a.b c, AM a , a.c a Do SD 0, b.c 0,25 c AI , SD 0,25 AM Vậy SD (AMI ) b) 0,25 0,5 Ta có: AN a b c, NI a b 28 c 14 AN NI AN NI ANI 900 3 AM a c, MI a b c + 4 28 AM MI AM MI AMI 900 c) Thiết diện tạo mặt phẳng AMI hình chóp S ABCD tứ giác AMNI Ta có 0,25 0,25 0,75 0,25 SAMNI SANI Ta có: AM SANI SAMN a a , AN , NI 2 3a AN NI 28 15a 16 Ta có: AM AN a 42 14 0,25 AM AN AM AN cos MAN sin MAN 14 SAMN Vậy SAMNI 3a AN AM sinMAN 32 2 3a 3a 45a 28 32 224 0,25 (1,0 điểm) Ta có tốn : « Cho tam giác ABC , trung tuyến AM Một đường thẳng d cắt AB, AM , AC B1, M1, C Khi AB AB1 AC AC AM » AM 0,25 Thật : Kẻ BE, CF song song với B1C Ta có BE / /B1M1 nên CF / /C1M1 nên Mặt khác AC AC BME AB AB1 AF AM CMF (g AE AM1 AM ME AM1 AM MF AM c g ) nên ME MF AB AC AM ME AM MF AM AB1 AC AM1 AM1 AM1 Gọi M , N trung điểm CD, BG; M ', N ' giao điểm mặt phẳng Do ( ) với AM , AN Áp dụng toán vào tam giác ACD , ta có: AC AD AM (1) AC ' AD ' AM ' Áp dụng toán vào tam giác ANM , ta có: 0,5 AN AM AG AN AM 2 AN ' AM ' AG ' AN ' AM ' Áp dụng toán vào tam giác ABG, ta có: AB AB ' AB Thay (1), (3) vào (2) ta được: AB ' (1,0 điểm) Xét tam thức f (x ) x (1 a1 a2 a3 AG AG ' AC AC ' an )x AG (2) AG ' AN (3) AN ' AD AG AD ' AG ' (a12 a 22 a 32 f (1) (1 a1 a2 a an ) (a12 a22 a 32 Ta có: a1(a1 1) a2 (a2 1) a (a 1) an (an 1) Mặt khác a1, a2, a3, , an a1(a1 a2 (a2 an (an 1) 1) 0 1) f (1) Suy a1 (1 a1 an ) a2 a2 an ) 0,25 a3 a3 0,25 [0;1] nên: f (1).f (0) Mà f (0) a12 a22 a32 an Do phương trình f (x ) có nghiệm đoạn [0;1] (1 0,25 an )2 an ) 4(a12 4(a a22 a 32 2 a2 a3 0,25 an ) an ) 0,25 ... C 20 19n 0 ,25 0 ,25 0 ,25 0 ,25 0 ,25 0 ,25 0,5 n n 20 191 1 Suy ra: u u n Vậy un 20 19 20 1 92 n ( ) 20 19 20 18 1 20 19n 1 n ( ) 20 19 20 18 Ta có a) n un 20 19 n ( ) 20 19 20 18 n n 20 20 1.1 1 .20 20 1 20 20... VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT YÊN LẠC ĐÁP ÁN KSCL ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI KHỐI 11 MÔN: TOÁN – NĂM HỌC 20 1 8 -2 019 Đáp án gồm: 05 trang I LƯU Ý CHUNG: - Hướng dẫn chấm trình bày cách giải với ý phải có Khi... nhân có 4.4!.4! =23 04 số Vậy có 1 728 +23 04=40 32 số thỏa mãn yêu cầu toán (1,0 điểm) 1 unn 11 unn Ta có unn 11 unn n 20 19 20 19n u 22 u11 20 191 u 33 u 22 Do đó: 20 1 92 unn unn 1 0 ,25 tương ứng với