Tổ 3 d2 l12 HSG HUYEN CAO BANG NAM 2018 2019

Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC TỔ 3- LẦN 2- HSG HUYỆN CAO BẰNG 2019 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN CAO BẰNG NĂM HỌC 2018 – 2019 Mơn: Tốn Lớp: 12 Câu 1: Câu 2: ĐỀ BÀI y  x  x  (4 điểm) Cho hàm số có đồ thị (C ) a) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C ) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng có phương trình y  3 x   C  Tìm tọa độ điểm M thuộc Parabol ( P) : y  x b) Gọi A, B điểm cực trị cho tam giác AMB vuông M (4 điểm) �2 x  � y  ln �  3� x  � � a) Tìm tập xác định hàm số Câu 4: b) Giải phương trình: sin x   6sin x  cos x (3 điểm) Một đội ngũ cán khoa học gồm nhà Toán học nam, nhà Vật lý nữ nhà Hóa học nữ Người ta chọn từ người để cơng tác, tính xác suất cho người chọn phải có nữ có đủ ba môn (3 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có phương trình cạnh Câu 5: AB : x  y   , phương trình cạnh AC : x  y   Biết trọng tâm tam giác G  3;  Xác định tọa độ điểm A viết phương trình cạnh BC � (4 điểm) Cho hình chóp S ABC có ABC tam giác vuông B , AB  a , ACB  60 , Câu 3: ABC  hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng  trọng tâm tam giác ABC , gọi E trung điểm AC biết SE  a Tính thể tích khối chóp S ABC khoảng cách từ C đến mặt Câu 6: SAB  phẳng  (2 điểm) Một khách sạn có 50 phòng Nếu phòng cho thuê với giá 400 ngàn đồng ngày tồn phòng th hết Biết lần tăng giá lên 20 ngàn đồng có thêm hai phòng bỏ trống khơng có người thuê Hỏi giám đốc khách sạn phải chọn giá phòng để thu nhập khách sạn ngày lớn nhất? Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Câu 1: TỔ 3- LẦN 2- HSG HUYỆN CAO BẰNG 2019 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT (4 điểm) Cho hàm số y  x  x  có đồ thị (C ) a) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C ) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng có phương trình y  3 x   C  Tìm tọa độ điểm M thuộc Parabol ( P) : y  x b) Gọi A, B điểm cực trị cho tam giác AMB vuông M Lời giải  3x  x a) Ta có y�  C  song song với đường thẳng y  3x  nên hoành độ tiếp điểm Vì tiếp tuyến nghiệm phương trình: 3x  x  3 � x  Với x  � y  Phương trình tiếp tuyến: y  3( x  1)  hay y  3x  (thỏa mãn song song với đường thẳng y  3x  ) x0 � y�  � 3x  x  � � x  � b) A  0;  B  2;0  Ta có điểm cực trị (C) là: uuuur uuuu r 2 M  x; x  AM   x; x   BM   x  2; x  P  Gọi thuộc Khi đó: Vì A, B khơng thuộc ( P) nên uuuur uuuu r � AM BM  � x  x    x  x    � x  x3  3x    AMB M tam giác vuông x0 � � � x  x  1  x    � � x  1 � x2 � Câu 2: Vậy có ba điểm thuộc (4 điểm)  P M  0;0  , M  1;1 , M  2;  để tam giác AMB vuông M �2 x  � y  ln �  3� �x  � a) Tìm tập xác định hàm số b) Giải phương trình: sin x   6sin x  cos x Lời giải �2 x  � y  ln �  3� �x  �xác định a) Hàm số �2 x  3  x  10 � �  � 10  x  3 �x  x  � D   10; 3 �x  �0 Vậy tập xác định hàm số b) Ta có: sin x   6sin x  cos x � 2sin x.cos x   6sin x   2sin x � 2sin x  cosx  sin x  3  Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Câu 3: TỔ 3- LẦN 2- HSG HUYỆN CAO BẰNG 2019 sin x  � �� sin x  cos x  (VNo) � x  k Vậy nghiệm phương trình cho x  k � (3 điểm) Một đội ngũ cán khoa học gồm nhà Toán học nam, nhà Vật lý nữ nhà Hóa học nữ Người ta chọn từ người để cơng tác, tính xác suất cho người chọn phải có nữ có đủ ba môn Lời giải Chọn ngẫu nhiên nhà khoa học 16 nhà khoa học có C164 cách Chọn người công tác thỏa mãn yêu cầu tốn có trường hợp sau: 1 Chọn nhà Toán học nam, nhà Vật lỹ nữ, nhà Hóa học nữ có C8 C5 C3 cách Chọn nhà Toán học nam, nhà Vật lỹ nữ, nhà Hóa học nữ có C8 C5 C3 cách 1 Chọn nhà Toán học nam, nhà Vật lỹ nữ, nhà Hóa học nữ có C8 C5 C3 cách 1 1 Số cách chọn đồn cơng tác C8 C5 C3  C8 C5 C3  C8 C5 C3 cách P Vậy, xác suất cần tìm là: Câu 4: C82 C51.C31  C81.C52 C31  C81.C51.C32  C164 (3 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có phương trình cạnh AB : x  y   , phương trình cạnh AC : x  y   Biết trọng tâm tam giác G  3;  Xác định tọa độ điểm A viết phương trình cạnh BC Lời giải �x  y   � Tọa độ điểm A nghiệm hệ phương trình: �x  y   �x  � A  3;1 Giải hệ phương trình ta �y  Do đó: Gọi B  b; b   �AB C   2c; c  �AC ,  b   2c  � b  2c  � �� � 1 b   c  bc  � Do G trọng tâm tam giác ABC nên: � b5 � �� c  Hay B  5;3 ; C  1;  � r uuur u  BC   4; 1 BC Một vectơ phương cạnh Phương trình cạnh BC là: x  y   Câu 5: � (4 điểm) Cho hình chóp S ABC có ABC tam giác vuông B , AB  a , ACB  60 , ABC  hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng  trọng tâm tam giác ABC , gọi E Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC TỔ 3- LẦN 2- HSG HUYỆN CAO BẰNG 2019 trung điểm AC biết SE  a Tính thể tích khối chóp S ABC khoảng cách từ C đến mặt phẳng  SAB  Lời giải Gọi G trọng tâm tam giác ABC , M , N trung điểm BC AB Theo giả thiết có: SG   ABC  a) Xét tam giác ABC tam giác vuông B có: AC  AB AB  2a BC   a GE  BE  a � � sin ACB tan ACB 3 , , SABC  a2 AB.BC  2 Xét tam giác SGE vng G có: SG  SE  GE  3a  a a 26  1 a 26 a a3 78 VS ABC  SG.S ABC   3 18 (đvtt) Khi đó: d  C ,  SAB   b) Ta có: d  G,  SAB    CN  � d  C ,  SAB    3.d  G,  SAB   GN �AB  SG � AB   SGK  � Dựng GK // BM với K �AB Ta có: �AB  GK GH  AB � � GH   SAB  � SGK   GH  SK H � SK GH  SK � Trong dựng với Ta có: Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Suy Ta có: d  G,  SAB    GH GK P BM � Do TỔ 3- LẦN 2- HSG HUYỆN CAO BẰNG 2019 d  C ,  SAB    3.GH GK AG 2 BC a   � GK  BM   BM AM 3 3 Tam giác SGK vng G có đường cao GH nên: 1 9 243 a 78      � GH  2 2 GH GS GK 26a a 26a 27 a 78 Vậy: (2 điểm) Một khách sạn có 50 phòng Nếu phòng cho th với giá 400 ngàn đồng ngày tồn phòng thuê hết Biết lần tăng giá lên 20 ngàn đồng có d  C ,  SAB    3.GH  Câu 6: thêm hai phòng bỏ trống khơng có người th Hỏi giám đốc khách sạn phải chọn giá phòng để thu nhập khách sạn ngày lớn nhất? Lời giải Gọi x ( ngàn đồng) giá phòng khách sạn cần đặt ra, x �400 Giá thuê phòng chênh lệch sau tăng là: x  400 ( ngàn đồng) Số lượng phòng cho thuê giảm chọn mức giá thuê phòng là: x  400 x  400  20 10 (phòng) Số phòng cho thuê với giá x là: 50  x  400 900  x  10 10 900  x x2 x    90 x 10 10 Tổng doanh thu ngày là: x2 f  x     90 x 10 Xét hàm số với x �400 x f�  x     90 � f �  x   � x  450 Qua bảng biến thiên ta thấy f  x đạt giá trị lớn x  450 Vậy thuê với giá 450 ngàn đồng khách sạn có doanh thu cao ngày