Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC TỔ 3- LẦN 2- HSG Hậu Lộc ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HẬU LỘC THANH HÓA NĂM HỌC 2018 – 2019 Mơn: Tốn Lớp: 11 ĐỀ BÀI Câu 1: (4,0 đ1ểm) Cho hàm số y x x (*) đường thẳng d : y 2mx P tạ1 ha1 đ1ểm Lập bảng b1ến th1ên vẽ đồ thị ( P) hàm số (*) Tìm m để d cắt x1 m x2 m x , x x x 1 2 phân b1ệt có hồnh độ thỏa mãn (1 x x 3) �4 G1ả1 bất phương trình ( x x 1) � Câu 2: (4,0 đ1ểm) � � � � cosx s in x cos2x sin � �x G1ả1 phương trình 1+tanx � � x 1 y 1 x 5y �2 �x y x y 1 3x 2 G1ả1 hệ phương trình � Câu 3: x, y �� (4,0 đ1ểm) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn abc Chứng m1nh bc ca a b � a b c 3 a b c u1 2018 � � � 3n 9n un 1 n 5n un , n �1 � Cho dãy số (un) xác định bở1 �3n � lim � un � �n � Tính g1ớ1 hạn Câu 4: (4,0 đ1ểm) Tìm m để hệ phương trình sau có ngh1ệm � x x y 18 y � I � 3x y 6m � A 3;1 Trong mặt phẳng vớ1 hệ tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD , có đỉnh , đỉnh C nằm đường thẳng : x y Trên t1a đố1 t1a CD lấy đ1ểm E cho CE CD , b1ết N 6; 2 hình ch1ếu vng góc D lên đường thẳng BE Xác định tọa độ đỉnh lạ1 hình chữ nhật ABCD Câu 5: (4,0 đ1ểm) Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC TỔ 3- LẦN 2- HSG Hậu Lộc u1 � � � un 1 un un2 un , n �1 � u 2018 Cho dãy số n xác định � Tính g1ớ1 hạn sau �u un � u lim � � un 1 � �u2 u3 Trong mặt phẳng vớ1 hệ tọa độ Oxy , cho tam g1ác ABC nộ1 t1ếp đường tròn C : x y 25 , đường thẳng AC đ1 qua đ1ểm K 2;1 Gọ1 M , N chân đường cao kẻ từ đỉnh B C Tìm tọa độ đỉnh tam g1ác ABC , b1ết phương trình đường thẳng MN x y 10 đ1ểm A có hồnh độ âm HƯỚNG DẪN G1Ả1 Câu 1: (4,0 đ1ểm) Cho hàm số y x x (*) đường thẳng d : y 2mx P tạ1 ha1 đ1ểm Lập bảng b1ến th1ên vẽ đồ thị ( P) hàm số (*) Tìm m để d cắt x1 m x2 m x1 , x2 x x phân b1ệt có hồnh độ thỏa mãn (1 x x 3) �4 G1ả1 bất phương trình ( x x 1) � Lờ1 g1ả1 Xét hàm số y x x (*) đường thẳng d : y 2mx + Lập bảng b1ến th1ên vẽ đồ thị ( P) hàm số y x x 3(*) b 1 2a Hàm số bậc ha1 y x x 3(*) có a 1, b 2, c 3, Vớ1 x 1 y 4 Bảng b1ến th1ên hàm số (*) sau Đồ thị ( P) parabol có bề lõm hướng lên trên, có trục đố1 xứng đường thẳng x 1 , cắt trục hồnh tạ1 ha1 đ1ểm (xem hình vẽ sau) 1;0 , 3; , cắt trục tung tạ1 đ1ểm 0; 3 , có đỉnh P + Xét phương trình hồnh độ đ1ểm chung d I ( 1; 4) Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC TỔ 3- LẦN 2- HSG Hậu Lộc x x 2mx � x m 1 x 1 P tạ1 ha1 đ1ểm phân b1ệt có hồnh độ x1 , x2 kh1 kh1 phương Đường thẳng d cắt m2 � � � m 1 � � (2) x ,x m0 � trình (1) có ha1 ngh1ệm phân b1ệt �x1 x2 m 1 (3) � x1.x2 � Kh1 đó, theo định lí V1ète, ta có Như x1 m x2 m 6 x2 x1 x12 x22 m 1 x1 x2 2m � 6 x1 x2 x1 x2 x x � 2 x1 x2 m 1 x1 x2 2m 6 x1 x2 x1 x2 m 1 m 1 2m � 6 m 1 2 3 m 1 m 1 2m � 6 2m � m 1 2m 6 2m � �� �4 2m �0 �� m2 � � � 3m 13m 14 7 � �� � �� m �m �m �2 �� � �m �2 G1á trị m 7 m thỏa mãn đ1ều k1ện (2) Vậy g1á trị cần tìm Xét bất phương trình ( x x 1) � (1 x x 3) �4 1 Đ1ều k1ện x �1 (2) Nhận thấy có 1 ۳ x x 0, x �1 Do đó, vớ1 mọ1 x thỏa mãn (2) ta 4� (1 x x 3) x x 1 � x2 x � x x 1 � x x x x �x x ( x 3)( x 1) x �2 � � x �0 � � x �2 � Kết hợp vớ1 đ1ều k1ện (2) suy tập ngh1ệm bất phương trình (1) Câu 2: (4,0 đ1ểm) S 2; � � Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC TỔ 3- LẦN 2- HSG Hậu Lộc � � � � cosx s in x cos2x sin � �x 1+tanx G1ả1 phương trình � � x 1 y 1 x 5y �2 �x y x y 1 3x x, y �� G1ả1 hệ phương trình � Lời giải � s in x cos2x sin � �x � � � cosx (1) 1+tan x Xét phương trình cosx �0 cosx �0 � � �� � tanx �0 �tanx �1 (2) Đ1ều k1ện � Vớ1 đ1ều k1ện (2) (1) � � � � � cos x s inx cos2 x sin � �x s inx cos x cos x s inx cos2 x cos x s inx � cos x cos x s inx 2 � s inx cos x 1 1 � s inx � 2s in x + s inx � � � sin x � Vớ1 s inx cos x 0, không thõa mãn đ1ều k1ện (2) 1 cos x � �0, tan x � �1 sin x Vớ1 nên (2) thỏa mãn � x k 2 � �� (k ��) � � � 7 sin x � s in x sin � � x k 2 � �6 � � Ta có: 7 x k 2 x k 2 6 Vậy phương trình (1) có ngh1ệm , , k �� � (1) � x 1 y 1 x y �2 �x y x y 1 3x (2) Xét hệ phương trình � � x � , y �1 � � � x y �0 � � x y �0 (3) Đ1ều k1ện � Vớ1 x, y thỏa mãn hệ đ1ều k1ện (3), ta có x, y �� Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC TỔ 3- LẦN 2- HSG Hậu Lộc x 1 y 1 x y x 1 y 1 � x x 1 y 1 y 1 (1) � x y � x y 1 � x 1 y 1 x 1 y 1 � x 1 Thay y x vào phương trình (2) ta có x x x 3x y � x y � x x x x x 3x x2 x 1 x2 x 1 0 5x x 3x x 1 � � � x x 1 � 1 � 3x x � � 5x x 1 1 � x x (do 0, x � ) 5x x 3x x � x2 x 1 � 1 1 x �y � 2 �� � 1 1 x �y � � 2 Đố1 ch1ếu vớ1 hệ đ1ều k1ện (3) suy hệ phương trình cho có ha1 ngh1ệm � �� 1 1 � ; ; �� �� ; � � 2 � �� � x, y � � Câu 3: (4,0 đ1ểm) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn abc Chứng m1nh bc ca a b � a b c 3 a b c u1 2018 � � � 3n 9n un1 n2 5n un , n �1 Tính g1ớ1 hạn Cho dãy số (un) xác định bở1 � �3n � lim � un � �n � Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có b c bc bc � 2 a a a ca ca a b ab �2 ; �2 b c c Tương tự ta b Cộng theo vế bất đẳng thức ta được: � bc bc ca a b ca ab � �2 � � � b c � a b c � a � Cũng theo bất đẳng thức Cauchy ta lạ1 có bc ca �2 a b bc ca � 2 c a b Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC ca ab �2 a ; b c Áp dụng tương tự ta TỔ 3- LẦN 2- HSG Hậu Lộc ab bc �2 b c a bc ca ab � a b c a b c Cộng theo vế bất đẳng thức ta bc ca ab �2 a b c b c Do ta suy a Ta cần chứng m1nh a b c � a b c � a b c �3 Đánh g1á cuố1 đánh g1á theo bất đẳng thức Cauchy g1ả th1ết abc Bà1 toán g1ả1 xong Dấu xảy kh1 kh1 a b c Ta có Đặt un 1 un 1 ( n 1) 3( n 1) un un � 2 n 3n (n 1) 3(n 1) n 3n un 1 � 1 q n 3n � (vn) cấp số nhân có cơng bộ1 số hạng đầu n 1 n 1 u 2018 1009 � v 1009 �1 � � u 1009 �1 � n 3n v1 n n �� �� �3 � �3 � 4 n � �3n � 1009 �1 � 3n � �3n � � � n 3n � lim � un � lim � un � lim � � �3 � n � �n � �n � � � Kh1 �3027 n 3n � 3027 � � 3027 lim � lim � � � n � n� �2 � Câu 4: (4,0 đ1ểm) � x x y 18 y � I � x y m � Tìm m để hệ phương trình sau có ngh1ệm A 3;1 Trong mặt phẳng vớ1 hệ tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD , có đỉnh , đỉnh C nằm đường thẳng : x y Trên t1a đố1 t1a CD lấy đ1ểm E cho CE CD , b1ết N 6; 2 hình ch1ếu vng góc D lên đường thẳng BE Xác định tọa độ đỉnh lạ1 hình chữ nhật ABCD Lời giải �x �2 � Đ1ều k1ện: �y �6 � x y �x � �y � 1 2 3 � � 1� � � 2 � �2 � �3 � �� �x � �y � � � 1� � � m � I � �� � � Ta có HPT Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC TỔ 3- LẦN 2- HSG Hậu Lộc � x 1 �a � � y � b 2 � Đặt � , đ1ều k1ện a, b �0 Ta có hệ phương trình trở thành � a b 2a 2b �2 a b2 m � II Hệ phương trình I cho có ngh1ệm � hệ II có ngh1ệm a; b vớ1 a, b �0 II vô ngh1ệm � hệ phương trình cho vơ ngh1ệm - Nếu m �4 hệ II ta có: - Nếu m Chọn hệ tọa độ Oab từ hệ PT (1) cho ta cung trịn phần tư thứ a, b �0 C � phần đường tròn C tâm I 1;1 , R 1 1 C� O 0;0 , R C PT (2) cho ta cung tròn đường tròn tâm 2 m4 thuộc góc thuộc góc phần tư thứ a, b �0 I có ngh1ệm � C1�, C2� g1ao khác rỗng dựa vào hình vẽ Để hệ phương trình ta có OH �R2 �OK ۣ �3+� ۣ m + 5 m 10 Vậy hệ cho có ngh1ệm � �m �3 10 � � � � Tứ g1ác ADBN nộ1 t1ếp � AND ABD ABD ACD (do ABCD hình chữ nhật) � � Suy AND ACD hay tứ g1ác ANCD nộ1 t1ếp đường tròn, mà � ADC 900 � � ANC 900 � AN CN uuur uuur 2c c � c � C 7;1 G1ả sử , từ AN CN � Tứ g1ác ABEC hình bình hành, suy AC / / BE C 2c 5; c Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC TỔ 3- LẦN 2- HSG Hậu Lộc Đường thẳng NE qua N song song vớ1 AC nên có phương trình y � b � B �N 6; 2 �� uuur uuu r b 2 � B 2; 2 � B b; AB CB � b 4b 12 � G1ả sử , ta có D 6; Từ dễ dàng suy C 7;1 B 2; 2 D 6; Vậy , , Câu 5: (4,0 đ1ểm) u1 � � � un 1 un un2 un , n �1 � u 2018 Cho dãy số n xác định � Tính g1ớ1 hạn sau �u un � u lim � � un 1 � �u2 u3 Trong mặt phẳng vớ1 hệ tọa độ Oxy , cho tam g1ác ABC nộ1 t1ếp đường tròn C : x y 25 , đường thẳng AC đ1 qua đ1ểm K 2;1 Gọ1 M , N chân đường cao kẻ từ đỉnh B C Tìm tọa độ đỉnh tam g1ác ABC , b1ết phương trình đường thẳng MN x y 10 đ1ểm A có hồnh độ âm Lời giải �u un � u lim � � un 1 � �u2 u3 1 Tính g1ớ1 hạn *) Đặt x x 1 f (x) x 2018 Theo g1ả th1ết ta có un 1 f (un ), n �1 (1) u 2 Nhận thấy x �2 f (x) 2, mà nên từ (1) suy un �2,n �1 Do un 1 un G1ả sử dãy un un un 1 0, n �1 u 2018 , nên dãy n dãy tăng bị chặn trên, kh1 dãy un có g1ớ1 hạn hữu hạn Đặt L �2 un �2, n �1 Lấy g1ớ1 hạn ha1 vế (1), ta L0 � un un 1 � L L 1 � lim un 1 lim � un �� �� L L L 1 2018 � 2018 � � (vơ lí L �2 ) lim un �� lim u un Như dãy n khơng bị chặn trên, *) Ta có: � un 1 un un2 un � un un 1 2018 un 1 un 2018 un un 1 2018 un 1 un 2018 un 1 1 un 1 un un 1 un 1 1 un 1 un1 1 un 1 un1 1 un 1 lim un L , ta có Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC TỔ 3- LẦN 2- HSG Hậu Lộc �1 � 2018 � � �un un 1 � Đặt Sn un u1 u u2 u3 un 1 �1 � � � � S n 2018 � 1 � 2018 � �� lim S n 2018 �u1 un 1 � � un 1 � Tìm tọa độ đỉnh tam g1ác ABC C Gọ1 I , J g1ao đ1ểm BM , CN vớ1 đường tròn � � � � Do tứ g1ác BCMN nộ1 t1ếp nên MBC CNM , lạ1 có CJI IBC (cùng chắn cung IC ) � � CJI CNM � MN / / IJ � ACI � ABI (c� ngch� ncung AI ) �� � � � ABI ACJ (dot�gi� c BCMN n� i ti� p) Mặt khác: � �� ACI � ACJ � AI AJ � AO IJ � AO MN Từ ta có O 0; +) Do OA đ1 qua vng góc vớ1 MN : x y 10 nên phương trình đường thẳng OA : x y � A 4; 3 3x y � � � �2 x y 25 � A 4; 3 (lo� i x A 0) Tọa độ đ1ểm A ngh1ệm hệ � A 4;3 K 2;1 +) Vì AC đ1 qua , nên phương trình đường thẳng AC : x y � C 4;3 �A (lo� i) �x y �� �2 C 5;0 � Tọa độ đ1ểm C ngh1ệm hệ �x y 25 +) Do M g1ao đ1ểm AC MN nên tọa độ đ1ểm M ngh1ệm hệ x y 10 � � M 1; � �x y M 1; +) Đường thẳng BM đ1 qua vng góc vớ1 AC nên phương trình đường thẳng BM : x y Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC TỔ 3- LẦN 2- HSG Hậu Lộc B 0;5 3x y � � �� �2 x y 25 B 3; 4 � Tọa độ đ1ểm B ngh1ệm hệ � A 4;3 , B 3; 4 , C 5; A 4;3 , B 0;5 , C 5;0 Vậy